Stroboscopie : la roue qui recule, le moteur qu'on « arrête », le tour qui semble immobile

La stratégie. Entre deux éclairs, l'objet tourne de $f_{\text{rot}}/f_e$ tour. Seule compte la partie de ce nombre qui dépasse l'entier le plus proche : c'est elle que l'œil voit avancer ou reculer. Pour un objet qui a $p$ motifs identiques, la configuration se répète tous les $1/p$ tour : la fréquence échantillonnée est $p{f}_{\text{rot}}$.

1) La vitesse du moteur. La tache paraît unique et fixe si elle revient au même endroit à chaque éclair, c'est-à-dire si $f_{\text{rot}}/f_e$ est un entier : $f_e=f_{\text{rot}}$, $f_{\text{rot}}/2$, $f_{\text{rot}}/3$… Les valeurs observées, $25$ ; $12,5$ ; $8,33\mathrm{Hz}$, sont bien dans les rapports $1$, $1/2$, $1/3$ ; à $50\mathrm{Hz}$, la tache fait un demi-tour entre deux éclairs (deux positions opposées), à $100\mathrm{Hz}$ un quart de tour (quatre positions). Donc $f_{\text{rot}}=25tr/s=1500tr/min$. Il faut la plus haute fréquence : à $12,5\mathrm{Hz}$, le moteur fait deux tours entre deux éclairs, et l'on verrait la même image fixe pour un moteur à $12,5$ ou $25tr/s$. Les fréquences $f_{\text{rot}}$ et $f_{\text{rot}}+k{f}_e$ donnent les mêmes images : c'est exactement l'indiscernabilité des alias.

2) Avance et recul. À $24,5\mathrm{Hz}$, le moteur fait $25/24,5=1,0204$ tour entre deux éclairs : un tour complet, invisible, plus $0,0204$ tour ($7,3^{\circ }$) vers l'avant. La tache avance de $0,0204\times 24,5=0,5tr/s$, soit $30tr/min$, dans le sens réel. À $25,5\mathrm{Hz}$ : $25/25,5=0,9804$ tour, soit un tour moins $0,0196$ tour ; la tache recule de $0,0196\times 25,5=0,5tr/s$, $30tr/min$ à l'envers. Dans les deux cas, la vitesse apparente est $f_a=f_{\text{rot}}-k{f}_e$ avec $k=1$ : $+0,5\mathrm{Hz}$ puis $-0,5\mathrm{Hz}$. Le signe de la fréquence apparente donne le sens apparent : une fréquence de rotation porte un sens que la valeur absolue $|f_0-k{f}_e|$ du cours ne dit pas. Le stroboscope réglé un peu au-dessous de $f_{\text{rot}}$ est d'ailleurs un outil d'atelier : il montre au ralenti un mouvement trop rapide pour l'œil.

3) La roue de diligence. Les 8 rayons étant identiques, l'image de la roue est la même chaque fois qu'elle a tourné de $1/8$ de tour : la fréquence du motif est $8f_{\text{rot}}$, la fréquence de passage des rayons. La caméra l'échantillonne à $f_e=24\mathrm{Hz}$. La roue paraît immobile quand $8f_{\text{rot}}=24\mathrm{Hz}$ pour la première fois : $f_{\text{rot}}=3tr/s$, et la diligence roule à $$v=\pi D{f}_{\text{rot}}=\pi \times 1,2\times 3=11,3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}=40,7km/h.$$ Elle paraît tourner à l'envers quand $f_a=8f_{\text{rot}}-24$ est négatif, c'est-à-dire pour $8f_{\text{rot}}$ entre $12$ et $24\mathrm{Hz}$ : $f_{\text{rot}}$ entre $1,5$ et $3tr/s$, $v$ entre $20,4$ et $40,7km/h$. Juste au-dessous de $40,7km/h$, elle recule lentement : la vitesse de galop d'un attelage, d'où le célèbre effet des westerns. Au-delà, elle avance de nouveau lentement, puis recule encore entre $61,1$ et $81,4km/h$.

4) Le mandrin du tour. Trois mors identiques : motif de fréquence $3f_{\text{rot}}$, échantillonné à $100\mathrm{Hz}$. Le mandrin paraît immobile quand $3f_{\text{rot}}=100\mathrm{Hz}$, soit $f_{\text{rot}}=33,3tr/s=2000tr/min$, une vitesse courante sur un tour (et aussi à $4000tr/min$ ; à $1000tr/min$, on croit voir un mandrin immobile à six mors). L'opérateur peut croire la machine arrêtée et y porter la main. On s'en prémunit en alimentant les lampes voisines sur des phases différentes du réseau triphasé (les papillotements se décalent et se compensent), ou par un éclairage local à lumière continue sur la machine.

5) Cas limite : $f_{\text{rot}}=f_e/2$. Entre deux éclairs, la marque fait exactement un demi-tour : on voit deux positions opposées qui alternent, ou, si l'œil ne suit pas, deux taches fixes. Un disque qui tourne dans un sens ou dans l'autre à cette vitesse donne exactement la même suite d'images : le sens est indécidable, $f_a=+f_e/2$ et $f_a=-f_e/2$ sont confondues. Pour qu'une rotation soit restituée sans ambiguïté, il faut $f_{\text{rot}}<f_e/2$, strictement : c'est la condition de Nyquist-Shannon appliquée au stroboscope.

Ce que l'exercice installe. La fréquence apparente signée $f_a=f_0-k{f}_e\in [-f_e/2,f_e/2]$ : sa valeur dit la vitesse apparente, son signe le sens. Un objet à $p$ motifs identiques est un signal de fréquence $p{f}_{\text{rot}}$. Les sous-multiples de la vraie fréquence donnent la même image : on lève l'ambiguïté en prenant la plus haute fréquence d'échantillonnage qui fige l'image. Et l'inégalité de Nyquist est stricte.