L'alarme d'un local : contacts en série, sécurité positive

La stratégie. On lit chaque boucle comme une association d'interrupteurs reliée à une résistance de rappel (ici vers la masse), on en déduit la fonction, puis on compare les deux installations non plus sur leur table, qui est la même, mais sur ce qu'elles font quand le câblage est défaillant.

1) La boucle série, une porte AND. $N$ est relié à $V_{DD}$ si et seulement si les trois contacts sont fermés ; sinon, $R$ le tire à la masse. Donc $N=c_1{c}_2{c}_3$ : la boucle est une porte AND à trois entrées. La sirène sonne si l'alarme est en service et si un ouvrant au moins est ouvert : $$A=M\cdot \overline{c_1{c}_2{c}_3}.$$ Pour $M=1$, $A=1$ sur les huit combinaisons des $c_i$ sauf $111$ : sept lignes sur seize ; pour $M=0$, jamais.

2) La variante parallèle, une porte OR. $N^{\prime }$ est relié à $V_{DD}$ dès qu'un contact conduit : $N^{\prime }=\overline{c_1}+\overline{c_2}+\overline{c_3}$, une OR à trois entrées des contacts inverses. Par De Morgan, généralisé à trois variables, $\overline{c_1}+\overline{c_2}+\overline{c_3}=\overline{c_1{c}_2{c}_3}$ : $A=M\cdot N^{\prime }$ est la même fonction. Les deux installations ont la même table de vérité.

3) Même table, pas même sûreté. Fil coupé. Dans la boucle série, $N$ n'est plus jamais relié à $V_{DD}$ : $N=0$, comme si un ouvrant était ouvert, et l'alarme se déclenche dès sa mise en service. La panne est signalée : c'est la sécurité positive. Dans la variante parallèle, la branche coupée ne peut plus jamais conduire : l'ouvrant correspondant n'est plus surveillé, et rien ne le signale ; la panne est muette. Contact ponté. Dans la boucle série, le contact ponté est vu toujours fermé : l'ouvrant correspondant n'est plus surveillé, en silence. Dans la variante parallèle, la branche pontée conduit toujours : $N^{\prime }=1$, l'alarme sonne. La boucle série résiste à la coupure, pas au pontage ; les centrales réelles emploient une boucle équilibrée (une résistance connue en fin de ligne), qui distingue par le courant les états normal, coupé et ponté. La sûreté ne se lit pas sur la table : il faut se demander ce que devient le circuit quand un fil ou un contact se trompe.

4) Le prix. Au repos, ouvrants fermés, la boucle série relie $V_{DD}$ à la masse à travers $R$ : $I=\frac{5\mathrm{V}}{10^5\Omega }=50\mu \mathrm{A}$ en permanence. Une pile de $2\mathrm{A}\mathrm{h}$ dure $\frac{2\mathrm{A}\mathrm{h}}{50\times 10^{-6}\mathrm{A}}=4\times 10^4\mathrm{h}$, soit $4,6$ ans (les portes CMOS au repos ne consomment presque rien). La variante parallèle ne consomme rien au repos : aucune branche ne conduit. La sécurité positive se paie par un courant permanent, faible mais non nul, comme toute résistance de rappel au niveau actif.

5) Un seul boîtier. On écrit $A$ comme une suite de NAND :

• $g_1=\mathrm{NAND}(c_1,c_2,c_3)=\overline{c_1{c}_2{c}_3}$ ;
• $g_2=\mathrm{NAND}(M,g_1,1)=\overline{M{g}_1}$, la troisième entrée étant reliée au niveau $1$, élément neutre du ET (ou reliée à $M$, par idempotence) ;
• $g_3=\mathrm{NAND}(g_2,g_2,g_2)=\overline{g_2}=M{g}_1=A$, la porte montée en inverseur.

Donc $A=\overline{\overline{M\cdot \overline{c_1{c}_2{c}_3}}}$ : trois portes NAND à trois entrées, un seul boîtier. On vérifie sur les seize lignes que $g_3$ coïncide avec $A$ (la double barre se simplifie par involution).

6) Ce que le combinatoire ne sait pas faire. $A$ ne dépend que de l'état présent des contacts : si l'intrus referme la fenêtre, $c_1{c}_2{c}_3$ revient à $1$ et la sirène se tait. Il faudrait que la sirène, une fois déclenchée, le reste jusqu'à une remise à zéro volontaire : il faut mémoriser un événement passé, ce qu'aucun circuit combinatoire ne fait. C'est l'objet de la logique séquentielle (circuits bouclés, bascule), qui reprendra ce même local.

Ce que l'exercice installe. Lire une boucle de contacts : série = AND, parallèle = OR, et De Morgan pour passer de l'une à l'autre. Deux associations de même table peuvent ne pas avoir la même sûreté : on examine le circuit en panne (fil coupé, contact ponté), et la sécurité positive se paie par un courant permanent. Une porte à $n$ entrées se plie à tous les usages, entrées inutilisées à l'élément neutre ; et un circuit combinatoire n'a pas de mémoire.