L'alarme qui se souvient : de la porte rebouclée à la bascule RS

La stratégie. Pour chaque circuit, on applique la méthode « couper la boucle » : on suppose connue la valeur $s$ renvoyée sur l'entrée, on calcule la sortie $Q^{+}$ que les portes produisent, et l'on cherche les valeurs de $s$ qui se reproduisent ($Q^{+}=s$) : ce sont les états stables. Leur nombre — deux, un ou aucun — classe le circuit en bistable, monostable ou astable, et l'on va voir qu'il dépend de l'entrée de commande.

1) La porte OU rebouclée : la mémoire d'un 1. La porte calcule $Q^{+}=a+s$. Si $a=0$ : $Q^{+}=s$, et les deux valeurs $s=0$ et $s=1$ se reproduisent : deux états stables. Si $a=1$ : $Q^{+}=1$ quel que soit $s$ : un seul état stable, $s=1$. Le scénario : avant l'effraction, $S=0$ et $s=0$, état stable. La fenêtre s'ouvre : $S=1$, le seul état possible est $s=1$, la sirène sonne. Elle se referme : $S=0$, les deux états redeviennent stables, et le circuit reste dans celui où il se trouve, $s=1$ : la sirène continue de sonner, l'effraction est mémorisée. Mais rien ne l'arrête plus, sauf la coupure de l'alimentation ; et à la mise sous tension, avec $S=0$, le circuit démarre au hasard dans l'un des deux états, et peut sonner sans raison. Une mémoire n'est utile que si l'on sait aussi y écrire un 0.

2) La porte ET rebouclée : la mémoire d'un 0. $Q^{+}=a\cdot s$. Si $a=1$ : $Q^{+}=s$, deux états stables. Si $a=0$ : $Q^{+}=0$, un seul, $s=0$. C'est le comportement dual : une impulsion $a=0$ remet la sortie à 0, et elle y reste quand $a$ revient à 1. La porte OU sait écrire un 1, la porte ET un 0 ; il faut les deux.

3) La table du montage complet. La porte OU délivre $S+s$, la porte ET la multiplie par $\overline{R}$ : $$Q^{+}=\overline{R}(S+s).$$

Pour $S=R=0$, $Q^{+}=s$ : deux états stables, le montage mémorise. Pour $S=1$, $R=0$ : on écrit un 1, la sirène se déclenche. Pour $S=0$, $R=1$ : on écrit un 0, c'est l'acquittement. Pour $S=R=1$, $Q^{+}=0$ : l'acquittement l'emporte tant que l'on appuie ; mais si l'on relâche le bouton alors que la fenêtre est encore ouverte, la sirène repart : on n'éteint pas une alarme dont la cause persiste.

Le chronogramme : $s$ passe à 1 à $1\mathrm{s}$ et y reste après la fermeture de $3\mathrm{s}$ ; l'appui de $5\mathrm{s}$ le remet à 0 ; à $8\mathrm{s}$, $s=1$ ; pendant l'appui de $9$ à $10\mathrm{s}$, fenêtre ouverte, $s=0$ ; au relâchement, $S$ vaut encore 1 et $s$ remonte, puis reste à 1 après la fermeture de $11\mathrm{s}$, jusqu'à l'appui de $12\mathrm{s}$.

Les fronts de $s$ coïncident avec le début des ordres, non avec leur fin : la sortie retient le dernier ordre reçu.

4) C'est une bascule RS à portes NOR. Par la loi de De Morgan, $\mathrm{NOR}(R,X)=\overline{R+X}=\overline{R}\cdot \overline{X}$ ; avec $X=\mathrm{NOR}(S,s)=\overline{S+s}$, on a $\overline{X}=S+s$, d'où $$\mathrm{NOR}(R,\mathrm{NOR}(S,s))=\overline{R}(S+s).$$ On le vérifie aussi ligne à ligne sur les huit cas de la table. Le montage OU-ET équivaut donc à deux portes NOR croisées : la première calcule $P=\mathrm{NOR}(S,s)$, la seconde $s=\mathrm{NOR}(R,P)$, et $s$ revient sur la première. En position mémoire ($S=0$), $P=\overline{s}$ : le nœud intermédiaire est la sortie complémentaire $\overline{Q}$, et $s$ est la sortie $Q$. L'entrée $S$ attaque la porte qui produit $\overline{Q}$ : $S=1$ force $\overline{Q}=\mathrm{NOR}(1,s)=0$, puis la seconde porte, qui reçoit $R=0$ et $\overline{Q}=0$, donne $Q=1$. Réciproquement, $R$ attaque la porte qui produit $Q$. C'est le réflexe de lecture d'un schéma fourni : l'entrée qui met $Q$ à 1 est celle qui entre dans la porte de l'autre sortie.

Le cas $S=R=1$, qui donnait « l'acquittement l'emporte », se lit sur la bascule : $Q=\mathrm{NOR}(1,\overline{Q})=0$ et $\overline{Q}=\mathrm{NOR}(1,Q)=0$. Les deux sorties valent 0 : elles ne sont plus complémentaires, c'est l'état interdit du cours. Il n'est dangereux que si $S$ et $R$ reviennent à 0 en même temps : les deux portes reçoivent alors $(0,0)$, tendent toutes deux vers 1, et l'état final dépend de la plus rapide.

5) NAND et deux inverseurs : un oscillateur commandé. Les deux inverseurs transmettent $s$ sans le changer, d'où $Q^{+}=\mathrm{NAND}(E,s)=\overline{E\cdot s}$. Si $E=0$ : $Q^{+}=1$ pour tout $s$ : un seul état stable, $s=1$. Si $E=1$ : $Q^{+}=\overline{s}$, et aucune valeur ne se reproduit : aucun état stable. La boucle compte alors trois étages inverseurs — la NAND, d'entrée $E=1$, se comporte en inverseur — : c'est un anneau de $N=3$ inverseurs. Un changement d'état met $3t_p$ à faire le tour et revient inversé ; il faut deux tours pour retrouver l'état de départ : $$T=2N{t}_p=6t_p=60\mathrm{ns},f=\frac{1}{T}\approx 16,7\mathrm{MHz}.$$ Le circuit est un oscillateur commandé : il bat tant que $E=1$ et s'arrête, sortie à 1, dès que $E=0$. Commandé par la mémoire et ralenti par un circuit $RC$, il ferait clignoter le voyant de l'alarme. Avec un seul étage inverseur dans la boucle, il n'oscillerait pas : il en faut au moins trois, comme l'établit l'exercice suivant.

Ce que l'exercice installe. La méthode « couper la boucle » : $Q^{+}=g(s,\text{entreˊes})$, et les états stables sont les solutions de $Q^{+}=s$. Le nombre d'états stables dépend de l'entrée de commande : la même boucle est bistable (mémoire) pour une valeur de l'entrée, monostable (écriture) pour une autre, astable (oscillateur) pour une troisième. La bascule RS est la réunion d'une mémoire du 1 et d'une mémoire du 0 ; dans son schéma, $S$ entre dans la porte qui produit $\overline{Q}$, et le cas $S=R=1$ est celui où les deux sorties cessent d'être complémentaires.