L'horloge d'un montage : astable à porte à seuils et circuit RC

La stratégie. Tant que la sortie est fixe, le condensateur se charge ou se décharge à travers $R$ vers la tension de sortie : c'est un circuit $RC$ du premier ordre, de solution exponentielle. La sortie bascule quand $v_C$ atteint un seuil. Chaque demi-période est donc la durée d'un arc d'exponentielle entre deux valeurs connues : si $v_C$ part de $v_i$ et tend vers $v_{\infty }$, il atteint $v_f$ au bout de $$t=RC\ln \frac{v_i-v_{\infty }}{v_f-v_{\infty }}.$$

1) Aucun état stable. Supposons $s=V_{DD}$ : $C$ se charge vers $V_{DD}$ ; il atteint forcément $V_{T+}<V_{DD}$, et la sortie passe à 0. Supposons $s=0$ : $C$ se décharge vers 0, atteint forcément $V_{T-}>0$, et la sortie repasse à $V_{DD}$. Aucun des deux états ne se maintient : le montage est astable. Sans $C$, l'inverseur à seuils serait rebouclé sur lui-même et basculerait au rythme de ses seuls retards internes, à une fréquence élevée et mal définie. Avec un inverseur de seuil unique, l'entrée se stabiliserait au seuil $V_{DD}/2$, la sortie à mi-tension, comme l'inverseur rebouclé étudié plus haut : le circuit $RC$ ne ferait que ralentir la contre-réaction, il ne créerait pas d'oscillation. L'hystérésis est indispensable : elle fournit les deux états entre lesquels le circuit $RC$ fait alterner la sortie.

2) Le chronogramme. Première charge : $s=V_{DD}$, $v_C(0)=0$ ; la loi des mailles et $i=C\frac{\mathrm{d}{v}_C}{\mathrm{d}t}$ donnent $$RC\frac{\mathrm{d}{v}_C}{\mathrm{d}t}+v_C=V_{DD},v_C(t)=V_{DD}(1-{\mathrm{e}}^{-t/RC}),$$ qui atteint $V_{T+}$ à l'instant $$t_1=RC\ln \frac{V_{DD}}{V_{DD}-V_{T+}}=RC\ln \frac{5}{2,1}=0,867RC.$$ Décharge : $s=0$, $v_C$ part de $V_{T+}$ et tend vers 0 ; il atteint $V_{T-}$ au bout de $$t_B=RC\ln \frac{V_{T+}}{V_{T-}}=RC\ln \frac{2,9}{1,7}=0,534RC.$$ Charge, en régime permanent : de $V_{T-}$ vers $V_{DD}$, jusqu'à $V_{T+}$ : $$t_H=RC\ln \frac{V_{DD}-V_{T-}}{V_{DD}-V_{T+}}=RC\ln \frac{3,3}{2,1}=0,452RC.$$ D'où la période et le rapport cyclique : $$T=t_H+t_B=0,986RC,\alpha =\frac{t_H}{T}=0,458.$$ La première demi-période est plus longue, $0,867RC$, parce que le condensateur part de 0 et non de $V_{T-}$. Ensuite $v_C$ oscille entre $V_{T-}$ et $V_{T+}$ en arcs d'exponentielles, et $s$ est un créneau.

Homogénéité : $RC$ est un temps, le logarithme est sans dimension. Le rapport cyclique n'est pas $1/2$ parce que les seuils ne sont pas symétriques par rapport à $V_{DD}/2$ : la charge vise $V_{DD}$, à $2,1\mathrm{V}$ de $V_{T+}$, la décharge vise 0, à $1,7\mathrm{V}$ de $V_{T-}$.

3) Le dimensionnement. $T=1\mathrm{ms}$ demande $RC=\frac{1\mathrm{ms}}{0,986}\approx 1,01\mathrm{ms}$. Avec $R=10\mathrm{k\Omega }$ et $C=100\mathrm{nF}$, $RC=1,00\mathrm{ms}$, $T=0,986\mathrm{ms}$ et $f=1,014\mathrm{kHz}$ : deux valeurs normalisées suffisent.

4) La robustesse. Si les seuils sont proportionnels à $V_{DD}$, les rapports $\frac{V_{T+}}{V_{T-}}$ et $\frac{V_{DD}-V_{T-}}{V_{DD}-V_{T+}}$ sont inchangés : $T$ ne dépend pas de la tension d'alimentation, une qualité de ce montage. En revanche, $$\frac{T}{RC}=\ln \frac{V_{DD}-V_{T-}}{V_{DD}-V_{T+}}+\ln \frac{V_{T+}}{V_{T-}}$$ croît quand $V_{T+}$ monte et quand $V_{T-}$ descend. Minimum pour $V_{T+}=2,6\mathrm{V}$ et $V_{T-}=2,0\mathrm{V}$ : $\ln \frac{3,0}{2,4}+\ln \frac{2,6}{2,0}=0,223+0,262=0,486$. Maximum pour $V_{T+}=3,2\mathrm{V}$ et $V_{T-}=1,4\mathrm{V}$ : $\ln \frac{3,6}{1,8}+\ln \frac{3,2}{1,4}=0,693+0,827=1,520$. Un facteur 3 d'un boîtier à l'autre : sans réglage, la fréquence n'est connue qu'à un facteur 3 près. L'horloge convient pour cadencer un montage, pas pour mesurer le temps : montres et processeurs utilisent un quartz, dont la fréquence est fixée par une vibration mécanique, à $10^{-5}$ près ou mieux.

5) Cas limites. Cycle étroit, $V_{T\pm }=\frac{V_{DD}}{2}\pm \frac{h}{2}$ : on développe au premier ordre en $h$, avec $\ln (1+x)\approx x$ ; $$t_H=RC\ln \frac{V_{DD}/2+h/2}{V_{DD}/2-h/2}\approx \frac{2h}{V_{DD}}RC,t_B=RC\ln \frac{V_{DD}/2+h/2}{V_{DD}/2-h/2}\approx \frac{2h}{V_{DD}}RC,$$ d'où $$T\approx \frac{4h}{V_{DD}}RC\underset{h\to 0}{\to }0.$$ L'oscillation s'accélère jusqu'à n'être plus limitée que par les retards des portes ; pour $h=0,1\mathrm{V}$, $T\approx 0,080RC$. Seuils au tiers et aux deux tiers : la charge part de $V_{DD}/3$ vers $V_{DD}$, la décharge de $2V_{DD}/3$ vers 0 ; $$t_H=RC\ln \frac{2V_{DD}/3}{V_{DD}/3}=RC\ln 2,t_B=RC\ln \frac{2V_{DD}/3}{V_{DD}/3}=RC\ln 2,$$ d'où $T=2RC\ln 2=1,39RC$ et $\alpha =1/2$. C'est le « $T\simeq 1,4RC$ » souvent annoncé (ce sont les seuils du temporisateur intégré classique), qui n'est pas une constante universelle : le coefficient $k$ de $T=kRC$ dépend des seuils du montage, et il varie dans cet exercice de 0,08 à 1,5.

Ce que l'exercice installe. La période d'un astable à porte se calcule par les seuils de basculement et les arcs d'exponentielles du circuit $RC$ : chaque demi-période vaut $RC\ln \frac{v_i-v_{\infty }}{v_f-v_{\infty }}$. L'hystérésis est indispensable à l'oscillation. Le coefficient $k$ de $T=kRC$ n'a rien d'universel : il est fixé par les seuils, ce qui rend la période insensible à l'alimentation mais sensible à la dispersion des portes, d'où le quartz dès qu'il faut mesurer le temps.