L'interrupteur crépusculaire : un bistable commandé par une tension

La stratégie. Le tampon n'a que deux sorties possibles ; on coupe la boucle en supposant $v_s$ connu, 0 ou $V_{DD}$, on calcule la tension $v_A$ que le diviseur $R_1$-$R_2$ présente à l'entrée, et l'état supposé est stable si le tampon le reproduit, c'est-à-dire si $v_A$ est du bon côté du seuil.

1) Deux seuils. L'entrée du premier inverseur ne consomme pas de courant : le courant qui vient de $v_e$ par $R_1$ repart tout entier vers $v_s$ par $R_2$, et $v_A$ est la moyenne de $v_e$ et $v_s$ pondérée par les conductances (théorème de Millman) : $$v_A=\frac{R_2{v}_e+R_1{v}_s}{R_1+R_2}.$$ État $v_s=0$ : il se reproduit si $v_A<V_{DD}/2$, soit $R_2{v}_e<\frac{V_{DD}}{2}(R_1+R_2)$ : $$v_e<V_{T+}=\frac{V_{DD}}{2}(1+\frac{R_1}{R_2})=2,5\times (1+\frac{10}{39})=3,14\mathrm{V}.$$ État $v_s=V_{DD}$ : il se reproduit si $v_A>V_{DD}/2$, soit $R_2{v}_e+R_1{V}_{DD}>\frac{V_{DD}}{2}(R_1+R_2)$ : $$v_e>V_{T-}=\frac{V_{DD}}{2}(1-\frac{R_1}{R_2})=2,5\times (1-\frac{10}{39})=1,86\mathrm{V}.$$ Donc, pour $v_e<1,86\mathrm{V}$, un seul état stable, $v_s=0$ (lampe allumée) ; pour $v_e>3,14\mathrm{V}$, un seul, $v_s=V_{DD}$ (lampe éteinte) ; entre les deux, deux états stables : le montage est un bistable, et c'est l'histoire de $v_e$ qui décide de l'état présent. La boucle est une rétroaction positive : le tampon ne change pas le signe, et $R_2$ renvoie à l'entrée une part de la sortie qui confirme l'état où l'on se trouve.

2) Le cycle d'hystérésis. $v_e$ croissant depuis 0 : $v_s=0$ jusqu'à $V_{T+}$, où $v_s$ saute à $V_{DD}$ ; $v_e$ décroissant depuis 5 V : $v_s=V_{DD}$ jusqu'à $V_{T-}$, où il retombe à 0. Le cycle est parcouru dans le sens des flèches ; sa largeur vaut $$V_{T+}-V_{T-}=V_{DD}\frac{R_1}{R_2}=5\times \frac{10}{39}=1,28\mathrm{V}.$$

3) Le bruit. Seuil unique. L'inverseur bascule chaque fois que $v_e$ franchit $2,5\mathrm{V}$. La moyenne passe de $2,7$ à $2,3\mathrm{V}$ en $\frac{0,4}{3}\times 30=4$ minutes ; pendant ces quatre minutes, chaque fluctuation de $\pm 0,2\mathrm{V}$ peut faire franchir le seuil dans un sens puis dans l'autre. Avec des fluctuations de l'ordre de la seconde, cela fait de l'ordre d'une centaine de basculements, voire davantage : le relais claque, la lampe clignote, et s'use. Avec l'hystérésis. La lampe s'allume la première fois que $v_e$ passe sous $V_{T-}=1,86\mathrm{V}$ ; pour l'éteindre, il faudrait que $v_e$ remonte au-dessus de $V_{T+}=3,14\mathrm{V}$, soit $1,28\mathrm{V}$ plus haut, alors que les fluctuations ne font varier $v_e$ que de $0,4\mathrm{V}$ au plus, de crête à crête : un seul basculement. La figure compare les deux comportements sur un bruit schématisé.

4) La lampe qui se voit. Seuil unique : la lampe s'allume quand $v_e<2,5\mathrm{V}$ ; aussitôt $v_e$ gagne $0,6\mathrm{V}$ et repasse au-dessus de $2,5\mathrm{V}$ : la lampe s'éteint ; $v_e$ reperd $0,6\mathrm{V}$ : elle se rallume… La boucle lampe-capteur renvoie la sortie sur l'entrée avec le signe qui la défait : plus d'état stable, c'est un astable, la lampe clignote. Avec l'hystérésis : la lampe s'allume au moment où $v_e$, fluctuation comprise, passe sous $V_{T-}$ ; dans le pire des cas, la moyenne vaut alors $V_{T-}+0,2\mathrm{V}$, une fluctuation de $-0,2\mathrm{V}$ ayant déclenché. Allumée, la lampe porte la moyenne à $V_{T-}+0,8\mathrm{V}$, et une fluctuation de $+0,2\mathrm{V}$ donne $V_{T-}+1,0\mathrm{V}$, qui doit rester sous $V_{T+}$. Il faut donc une largeur de cycle supérieure à $0,6+0,4=1,0\mathrm{V}$ : $$V_{DD}\frac{R_1}{R_2}>1,0\mathrm{V}⟺R_2<5R_1=50\mathrm{k\Omega }.$$ Avec $39\mathrm{k\Omega }$ (largeur $1,28\mathrm{V}$), la marge est de $0,28\mathrm{V}$ ; $47\mathrm{k\Omega }$ (largeur $1,06\mathrm{V}$) passerait de justesse.

5) Cas limites. $R_2\to \infty$ : $V_{T+}$ et $V_{T-}$ tendent vers $V_{DD}/2$, la largeur du cycle s'annule ; on retrouve le seuil unique et tous ses défauts. $R_2<R_1$ : $V_{T-}=\frac{V_{DD}}{2}(1-\frac{R_1}{R_2})<0$ et $V_{T+}>V_{DD}$ : aucune tension d'entrée comprise entre 0 et $V_{DD}$ ne fait plus basculer le montage, qui garde indéfiniment l'état pris à la mise sous tension : une mémoire pure, qu'on ne sait plus écrire. Le choix de $R_2/R_1$ règle la largeur du cycle entre ces deux extrêmes.

Ce que l'exercice installe. Couper la boucle d'un bistable commandé par une tension fait apparaître deux seuils, ici $V_{T\pm }=\frac{V_{DD}}{2}(1\pm \frac{R_1}{R_2})$ ; entre eux, deux états stables, et l'état présent dépend de l'histoire de l'entrée : c'est l'hystérésis, une mémoire. C'est aussi l'arme contre le bruit : une largeur de cycle supérieure à l'amplitude crête à crête des perturbations, et des rétroactions parasites comme la lampe qui éclaire son capteur, garantit un basculement unique.