Problème : le compte-tours d'une voiture, un monostable à portes en convertisseur fréquence-tension

La stratégie. On coupe la boucle en $s$ pour trouver l'état stable ; puis on suit le circuit $RC$ pendant l'état quasi stable : le condensateur, dont la tension ne peut pas varier brusquement, transmet à $B$ tout saut de $A$, puis $v_B$ revient exponentiellement vers $V_{DD}$, et la sortie bascule au seuil. La conversion est une valeur moyenne ; la suite chiffre les écarts au modèle idéal.

1) Un seul état stable : un monostable. Supposons $s=0$. Avec $e=0$, $A=\mathrm{NOR}(0,0)=V_{DD}$. En régime permanent, aucun courant ne traverse ni le condensateur ni l'entrée de la porte, donc aucun ne traverse $R$ : $v_B=V_{DD}$, au-dessus du seuil, et la seconde porte donne bien $s=0$. L'état se reproduit, condensateur déchargé : il est stable. Supposons $s=1$. $A=\mathrm{NOR}(0,1)=0$, le condensateur se charge à travers $R$, $v_B$ franchit le seuil $V_{DD}/2$ au bout d'un temps fini et $s$ passe à 0 : l'état $s=1$ est seulement quasi stable. Un seul état stable : c'est un monostable.

2) L'impulsion calibrée. En $t_1$, $e$ passe à 1 : $A=\mathrm{NOR}(1,0)$ tombe de $V_{DD}$ à 0. La tension du condensateur $v_A-v_B$, nulle, ne peut pas varier instantanément (le courant qui le charge est limité par $R$) : $v_B$ chute de $V_{DD}$ à 0, sous le seuil, et $s$ passe à 1. Désormais $A=\mathrm{NOR}(e,1)=0$ quel que soit $e$ : la sortie maintient $A$ à 0, et le déclenchement peut cesser au bout de 10 µs sans rien changer ; c'est le rôle de la boucle. Le condensateur se charge alors à travers $R$ : $$RC\frac{\mathrm{d}{v}_B}{\mathrm{d}t}+v_B=V_{DD},v_B(t)=V_{DD}(1-{\mathrm{e}}^{-(t-t_1)/RC}),$$ qui atteint le seuil $V_{DD}/2$ quand ${\mathrm{e}}^{-(t-t_1)/RC}=\frac{1}{2}$, c'est-à-dire au bout de $$\tau =RC\ln 2=120\times 10^3\times 10\times 10^{-9}\times 0,693\mathrm{s}=0,832\mathrm{ms}.$$ À cet instant, $s$ retombe à 0, $A=\mathrm{NOR}(0,0)$ remonte à $V_{DD}$, et le condensateur transmet ce saut : $v_B$ saute de $V_{DD}/2$ à $\frac{3}{2}{V}_{DD}=7,5\mathrm{V}$, puis redescend vers $V_{DD}$ avec la constante de temps $RC=1,2\mathrm{ms}$ : le circuit retourne à son état stable. La durée $\tau$ ne dépend ni de celle du déclenchement (s'il est plus bref que $\tau$), ni de $V_{DD}$, dont le seuil est une fraction fixe : l'impulsion est calibrée. Le chronogramme montre aussi le déclenchement suivant, $T=5\mathrm{ms}$ plus tard (200 Hz).

3) La conversion. Deux allumages par tour : $f=\frac{2n}{60}=\frac{n}{30}$ avec $n$ en tr/min, de $26,7\mathrm{Hz}$ au ralenti à $200\mathrm{Hz}$ à 6 000 tr/min. Sur une période $T=1/f$, $s$ vaut $V_{DD}$ pendant $\tau$ et 0 le reste du temps, donc, tant que $\tau <T$ : $$⟨s⟩=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}s(t)\mathrm{d}t=\frac{V_{DD}\tau }{T}=V_{DD}\tau f.$$ Sensibilité : $V_{DD}\tau =5\times 0,832\times 10^{-3}=4,16\mathrm{mV}$ par hertz, soit, avec $f=n/30$, $0,139\mathrm{mV}$ par tr/min. D'où $0,111\mathrm{V}$ au ralenti, $0,416\mathrm{V}$ à 3 000 tr/min et $0,832\mathrm{V}$ à 6 000 tr/min. Le passe-bas, de gain 1 en continu, transmet $⟨s⟩$ et atténue les harmoniques de $s$, de fréquences $f$, $2f$…, toutes au moins égales à $26,7\mathrm{Hz}$ : sa coupure doit être très inférieure à cette valeur. La tension est proportionnelle au régime : c'est le convertisseur fréquence-tension.

4) La récupération. À la fin d'une impulsion de durée ${\tau }_{\mathrm{p}}$, $v_B=\frac{3}{2}{V}_{DD}$, puis $v_B-V_{DD}=\frac{V_{DD}}{2}{\mathrm{e}}^{-t^{\prime }/RC}$, où $t^{\prime }$ est compté depuis la fin de l'impulsion. Le déclenchement suivant arrive au bout de $T-{\tau }_{\mathrm{p}}$ : la chute de $A$ fait alors passer $v_B$ non pas à 0, mais à $$v_{B0}=\frac{V_{DD}}{2}{\mathrm{e}}^{-(T-{\tau }_{\mathrm{p}})/RC}.$$ La charge $v_B=V_{DD}-(V_{DD}-v_{B0}){\mathrm{e}}^{-t/RC}$ atteint $V_{DD}/2$ au bout de $${\tau }^{\prime }=RC\ln \frac{V_{DD}-v_{B0}}{V_{DD}/2}=RC\ln (2-{\mathrm{e}}^{-(T-{\tau }_{\mathrm{p}})/RC})<\tau .$$ Le condensateur, mal déchargé, part avec de l'avance : l'impulsion raccourcit, d'autant plus que $T$ est court. La caractéristique $⟨s⟩(f)$ s'infléchit sous la droite $V_{DD}\tau f$ : $-0,6\%$ à 150 Hz, $-2,2\%$ à 200 Hz, puis $-8,7\%$ et $-25\%$. La proportionnalité n'est qu'approchée, et elle se dégrade bien avant $f=1/\tau =1200\mathrm{Hz}$, où les impulsions se toucheraient.

Le critère. Le terme correctif vaut ${\mathrm{e}}^{-(T-\tau )/RC}$ ; si la récupération dispose d'au moins $3RC$, il est inférieur à ${\mathrm{e}}^{-3}=0,05$, et ${\tau }^{\prime }⩾RC\ln 1,95=0,96\tau$ : l'erreur reste de quelques pour cent. D'où $\tau +3RC⩽1/f_{\max }$, soit $RC(\ln 2+3)⩽5\mathrm{ms}$, $RC⩽1,35\mathrm{ms}$ : le choix $RC=1,2\mathrm{ms}$ le respecte ($\tau +3RC=4,43\mathrm{ms}<5\mathrm{ms}$), d'où les $-2,2\%$ à pleine échelle. La pleine échelle : $V_{\max }=V_{DD}\tau f_{\max }⩽V_{DD}\frac{\ln 2}{\ln 2+3}\approx 0,19V_{DD}$ ; ici $0,832\mathrm{V}\approx 0,17V_{DD}$. La linéarité se paie d'une pleine échelle modeste, qu'un amplificateur relève ensuite.

5) Le filtre. Pendant une impulsion, l'entrée du filtre vaut $V_{DD}$ et sa sortie reste voisine de $⟨s⟩$ ; l'équation du passe-bas, ${\tau }_f\frac{\mathrm{d}{V}_f}{\mathrm{d}t}=s-V_f$, donne pendant la durée $\tau$ une montée $$\Delta v\approx \frac{(V_{DD}-⟨s⟩)\tau }{{\tau }_f}=\frac{V_{DD}\tau (1-\tau f)}{{\tau }_f};$$ entre deux impulsions, $V_f$ redescend d'autant, puisque le régime est établi : une dent de scie. Rapportée à la pleine échelle : $$\frac{\Delta v}{V_{\max }}=\frac{1-\tau f}{f_{\max }{\tau }_f}\approx \frac{1}{f_{\max }{\tau }_f},$$ indépendante de $\tau$ : allonger les impulsions augmente le signal et l'ondulation dans la même proportion. Pour 2 % : ${\tau }_f=\frac{1}{0,02\times 200}\mathrm{s}=0,25\mathrm{s}$. Un filtre du premier ordre rejoint une nouvelle valeur à 5 % près en $3{\tau }_f=0,75\mathrm{s}$ : l'aiguille suit le régime avec trois quarts de seconde de retard. Au ralenti ($f=26,7\mathrm{Hz}$, $\tau f=0,022$) : $$\Delta v=\frac{5\times 0,832\times 10^{-3}\times 0,978}{0,25}\mathrm{V}=16\mathrm{mV},$$ soit 15 % de la lecture ($0,111\mathrm{V}$) : l'électronique seule ferait trembler l'aiguille au ralenti, et c'est l'inertie mécanique de l'aiguille qui ajoute le filtrage manquant. Précision contre rapidité : diviser l'ondulation par deux double le temps de réponse ; seul un plus grand nombre d'impulsions par tour (une roue dentée sur le vilebrequin) améliore les deux à la fois.

6) Cas limites.

a) Déclenchement long. $s$ retombe quand $v_B$ atteint $V_{DD}/2$, ce qui ne dépend pas de la durée du déclenchement : le condensateur ne transmet que le front de $A$. Mais $A$, maintenue à 0 par $e$, ne remonte qu'en $T/2$ : la récupération ne dispose plus que de $T/2$ au lieu de $T-\tau$. Partant de $v_{B0}$, $v_B$ vaut en $T/2$ : $V_{DD}-(V_{DD}-v_{B0})x$, avec $x={\mathrm{e}}^{-T/2RC}$ ; $A$ remonte et $v_B$ gagne $V_{DD}$ ; pendant $T/2$, l'excédent sur $V_{DD}$ est multiplié par $x$ ; le déclenchement suivant retire $V_{DD}$ : $$v_{B0}^{\prime }=[V_{DD}-(V_{DD}-v_{B0})x]x.$$ En régime établi, $v_{B0}^{\prime }=v_{B0}$, d'où $v_{B0}(1-x^2)=V_{DD}x(1-x)$, $v_{B0}=\frac{V_{DD}x}{1+x}$, et $${\tau }^{\prime }=RC\ln \frac{V_{DD}-v_{B0}}{V_{DD}/2}=RC\ln \frac{2}{1+x}.$$ À 200 Hz, $x={\mathrm{e}}^{-2,5/1,2}=0,125$ et ${\tau }^{\prime }=1,2\ln \frac{2}{1,125}\mathrm{ms}=0,691\mathrm{ms}$ : $-17\%$, et $⟨s⟩=0,69\mathrm{V}$ au lieu de $0,83\mathrm{V}$. Le remède : placer à l'entrée un passe-haut de constante de temps très inférieure à $\tau$ (quelques microsecondes) ; il ne transmet que les variations rapides du créneau, c'est-à-dire ses fronts, changés en impulsions brèves : c'est le comportement dérivateur d'un passe-haut pour les signaux lents. L'impulsion négative produite par le front descendant est vue comme un 0 par la porte.

b) Non redéclenchable ou redéclenchable. Notre montage est non redéclenchable : pendant l'impulsion, $s=1$ impose $A=0$, et un nouveau $e=1$ n'y change rien. Pour $\tau f<1$, tous les déclenchements sont acceptés : $⟨s⟩=V_{DD}\tau f$. Pour $1<\tau f<2$, le déclenchement suivant tombe pendant l'impulsion ($T<\tau$) et il est ignoré, celui d'après ($2T>\tau$) est accepté : $⟨s⟩=V_{DD}\tau f/2$, la tension chute de moitié en $\tau f=1$. Pour $2<\tau f<3$, $⟨s⟩=V_{DD}\tau f/3$, et ainsi de suite. Un monostable redéclenchable relance au contraire une impulsion complète à chaque déclenchement : au-delà de $\tau f=1$, les impulsions se recouvrent, $s$ reste à 1, et $⟨s⟩$ sature à $V_{DD}$.

Si $\tau$ avait été choisie trop grande — $C=100\mathrm{nF}$ au lieu de $10\mathrm{nF}$, soit $\tau =8,3\mathrm{ms}$ et $1/\tau =120\mathrm{Hz}$, c'est-à-dire 3 600 tr/min —, l'aiguille d'un compte-tours à monostable non redéclenchable redescendrait au-delà de 3 600 tr/min : le conducteur qui accélère lirait un régime divisé par deux. Avec un monostable redéclenchable, elle resterait bloquée en butée. La tension ne « sature » donc pas toujours au-delà de $1/\tau$ : elle peut chuter. La conversion n'a de sens que pour $\tau f_{\max }$ nettement inférieur à 1, ce que garantit le critère de la question 4).

Le résultat obtenu — le convertisseur fréquence-tension à monostable. Un monostable à deux portes NOR, dont la durée est fixée par un circuit $RC$ et par le seuil $V_{DD}/2$, délivre des impulsions calibrées de durée $\tau =RC\ln 2$, indépendante du déclenchement ; la valeur moyenne de sa sortie, extraite par un passe-bas, vaut $⟨V⟩=V_{DD}\tau f$ : elle est proportionnelle à la fréquence tant que le monostable a le temps de récupérer ($\tau +3RC\lesssim 1/f$) ; l'ondulation résiduelle, rapportée à la pleine échelle, vaut environ $1/(f_{\max }{\tau }_f)$ quel que soit le monostable : c'est le compromis entre la précision et le temps de réponse. Pour le compte-tours : $0,139\mathrm{mV}$ par tr/min, ${\tau }_f=0,25\mathrm{s}$.

Ce que le problème installe. Les trois idées du chapitre réunies dans un instrument : un état stable unique, trouvé en coupant la boucle ; un état quasi stable dont la durée est fixée par un circuit $RC$ et par un seuil ; une valeur moyenne extraite par un passe-bas. Et le réflexe de l'ingénieur : chiffrer chaque écart au modèle idéal — la récupération, qui courbe la caractéristique bien avant $f=1/\tau$ ; l'ondulation, qui oppose la précision à la rapidité ; le déclenchement long, que corrige un passe-haut ; le comportement au-delà de $1/\tau$, qui dépend du caractère redéclenchable ou non du monostable.