Un inverseur rebouclé ne bat pas : états stables lus sur la caractéristique, et la cellule de mémoire statique

La stratégie. Un équilibre se lit à l'intersection de la caractéristique avec la condition de bouclage ; sa stabilité se décide en linéarisant : un petit écart est-il amorti (stable) ou amplifié (instable) par la boucle ? Tout se joue dans la zone de pente $-G$.

1) Un inverseur rebouclé se fige. La logique impose $x=\overline{x}$ : aucune solution logique. Mais le circuit vit en tension : son équilibre vérifie $v=F(v)$, intersection de la caractéristique avec la première bissectrice. Hors de la zone grisée, $F$ vaut $V_{DD}$ là où $v<0,36\mathrm{V}$ et 0 là où $v>0,44\mathrm{V}$ : aucune intersection ; dans la zone, $V_M-G(v-V_M)=v$ donne $(1+G)(v-V_M)=0$, soit $v=V_M$. Un seul équilibre, $v=V_M=0,4\mathrm{V}$, en plein milieu de la zone où le niveau logique n'est pas défini. Stabilité : avec $v=V_M+u$, l'entrée et la sortie étant le même nœud, $F(v)=V_M-Gu$, donc $${\tau }_0\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=-Gu-u=-(G+1)u,u(t)=u(0){\mathrm{e}}^{-(G+1)t/{\tau }_0}.$$ L'écart s'amortit avec la constante de temps ${\tau }_0/(G+1)=10/11\mathrm{ps}=0,91\mathrm{ps}$ : l'équilibre est stable. Le circuit ne bat pas : il se fige à $0,4\mathrm{V}$, ni 0 ni 1. C'est une contre-réaction, une rétroaction négative : toute hausse de l'entrée fait baisser la sortie, qui est l'entrée ; la boucle corrige l'écart au lieu de l'entretenir. Un modèle à retard pur prédirait une oscillation de période $2t_p$ ; le modèle du premier ordre, plus fidèle, montre que l'inverseur lisse les variations trop rapides, et l'oscillation ne s'établit pas. On s'en sert : l'inverseur de l'oscillateur à quartz d'une montre est polarisé à son seuil par une résistance de l'ordre de $10\mathrm{M\Omega }$ entre sortie et entrée. Pour qu'un anneau d'inverseurs oscille, il en faut un nombre impair au moins égal à trois (on admet la condition correspondante : pour trois étages, un gain par étage supérieur à 2).

2) Deux inverseurs : trois équilibres, dont deux stables. À l'équilibre, $x=F(y)$ et $y=F(x)$, donc $x=F(F(x))$ : les équilibres sont les points fixes de $F\circ F$. Or $F\circ F$ vaut 0 pour $v<0,396\mathrm{V}$ (car alors $F(v)=0,8\mathrm{V}$, et $F(0,8)=0$), $V_{DD}$ pour $v>0,404\mathrm{V}$, et monte de 0 à $V_{DD}$ avec la pente $G^2=100$ entre les deux. Elle coupe la bissectrice en trois points : $0$, $V_M$ et $V_{DD}$, soit $(x,y)=(0,V_{DD})$, $(V_M,V_M)$ et $(V_{DD},0)$.

Aux deux extrémités, $F$ est plate : un petit écart n'est pas transmis par la boucle et s'amortit avec ${\tau }_0$ ; ces deux états sont stables : ce sont le 0 et le 1 de la mémoire. Au point milieu, avec $F(V_M+a)=V_M-Ga$ : $${\tau }_0\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}t}=-Gb-a,{\tau }_0\frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}t}=-Ga-b,$$ et, en soustrayant membre à membre, pour $u=a-b$ : $${\tau }_0\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=(G-1)u,u(t)=u(0){\mathrm{e}}^{(G-1)t/{\tau }_0}.$$ (La somme $a+b$ s'amortit, elle, en ${\mathrm{e}}^{-(G+1)t/{\tau }_0}$.) Pour $G>1$, l'écart $u$ croît : le point milieu est instable — c'est le sommet de la bosse du double puits du cours, et la paire est une mémoire. Pour $G<1$, il est stable, et c'est alors le seul équilibre ($F\circ F$, de pente $G^2<1$, ne coupe plus la bissectrice qu'en un point) : plus de mémoire. La mémoire exige un gain de boucle supérieur à 1 : c'est la rétroaction positive, ou régénérative, deux inversions qui se renforcent, à l'opposé de la contre-réaction de la question 1).

3) Une issue au hasard, en un temps sans borne. Les deux nœuds restent dans la zone tant que $|a|=|b|=|u|/2⩽V_{DD}/(2G)=0,04\mathrm{V}$, c'est-à-dire $|u|⩽V_{DD}/G$. Avec $u={\delta }_0{\mathrm{e}}^{(G-1)t/{\tau }_0}$, ils en sortent à $$t_s=\frac{{\tau }_0}{G-1}\ln \frac{V_{DD}}{G{\delta }_0}.$$ Pour ${\delta }_0=1\mu \mathrm{V}$ : $t_s=\frac{10}{9}\ln (8\times 10^4)\mathrm{ps}=\frac{10}{9}\times 11,29\mathrm{ps}\approx 12,5\mathrm{ps}$. Diviser ${\delta }_0$ par 10 ajoute $\frac{{\tau }_0}{G-1}\ln 10\approx 2,6\mathrm{ps}$ (4,9 ps pour 1 mV, 20,2 ps pour 1 nV) : la durée croît comme le logarithme de $1/{\delta }_0$ — vite, mais sans borne quand ${\delta }_0\to 0$. Et c'est le signe de ${\delta }_0$ qui décide de l'état final. C'est le cas d'une bascule RS ramenée de $S=R=1$ à $S=R=0$ au même instant : ses deux sorties partent de la même valeur, l'écart initial n'est fixé que par les dissymétries et le bruit ; l'état final est imprévisible et la durée de l'indécision sans limite supérieure : c'est la métastabilité.

4) La cellule de mémoire statique.

a) Ligne de mot à 0 : la paire est isolée et garde son bit tant qu'elle est alimentée. Lecture : $W=1$ relie $x$ et $y$ aux lignes $B$ et $\overline{B}$, dont on compare les tensions. Écriture : des circuits plus puissants que les inverseurs imposent $B=0$ et $\overline{B}=V_{DD}$ (ou l'inverse), puis $W=1$ force les deux nœuds ; quand $W$ revient à 0, la rétroaction positive conserve l'état écrit.

b) Dans l'état $x=0$, $y=V_{DD}$, l'inverseur qui produit $y$ continue de sortir $V_{DD}$ tant que son entrée $x+v_n=v_n$ reste sous $0,36\mathrm{V}$, et celui qui produit $x$ continue de sortir 0 tant que son entrée $V_{DD}-v_n$ reste au-dessus de $0,44\mathrm{V}$ : les deux conditions s'écrivent $v_n⩽0,36\mathrm{V}$. Or le bord inférieur de la zone est en $V_M-\frac{V_{DD}}{2G}$, avec $V_M=V_{DD}/2$ : $$V_{n,\max }=\frac{V_{DD}}{2}(1-\frac{1}{G})=0,4\times 0,9=0,36\mathrm{V}.$$ Au-delà, la boucle amplifie et le bit bascule.

c) Cas limites. $G\to \infty$ : $V_{n,\max }\to V_{DD}/2$, la marge d'une logique idéale à seuil unique, la plus grande possible. $G\to 1$ : $V_{n,\max }\to 0$ ; et l'on a vu à la question 2) qu'à $G=1$ le point milieu cesse d'être instable : la cellule n'a plus deux états, le bit est perdu. D'où une tension minimale de rétention des mémoires statiques en veille, de 0,2 à 0,3 V pour les circuits actuels (donnée).

Ce que l'exercice installe. Un état stable est un équilibre où la boucle amortit les écarts. Un inverseur rebouclé n'a aucun état stable logique, mais un équilibre stable en tension, au seuil, dans la zone où le niveau n'est pas défini : il ne bat pas (contre-réaction), et l'oscillation demande au moins trois inverseurs. La mémoire exige une rétroaction positive de gain de boucle supérieur à 1 : deux états stables séparés par un équilibre instable, d'où l'on sort au hasard en une durée qui croît comme $\ln (1/{\delta }_0)$ : la métastabilité. La marge au bruit d'une cellule de mémoire, $\frac{V_{DD}}{2}(1-\frac{1}{G})$, se perd avec le gain.