Composition spectrale et allure temporelle

Signaux périodiques et filtrage linéaire · niveau 2

Énoncé

Deux signaux ont le même spectre d'amplitude (fondamental + harmonique 3, amplitudes $1$ et $1/3$ ) mais des phases relatives différentes : $s_{+} = sin (ω t) + \frac{1}{3} sin (3 ω t)$ et $s_{-} = sin (ω t) - \frac{1}{3} sin (3 ω t)$ . Ont-ils la même allure ? (On utilisera $sin 3 x = 3 sin x - 4 sin^{3} x$ .)

Corrigé

Non. Avec l'identité, $s_{-} = \frac{4}{3} sin^{3} (ω t)$ : un signal pointu, de crête $4/3$ en $ω t = π /2$ , très aplati près de zéro. Au contraire, $s_{+} = 2 sin (ω t) - \frac{4}{3} sin^{3} (ω t)$ a un sommet creusé : $2/3$ en $ω t = π /2$ , entre deux maxima $22 /3 \approx 0, 94$ en $ω t = π /4$ et $3 π /4$ — c'est l'ébauche du créneau, avec ses oscillations. Le spectre d'amplitude ne suffit donc pas à caractériser un signal : la phase est essentielle. C'est pourquoi un filtre, en modifiant les phases relatives des harmoniques (déphasage $ψ (n f)$ ), déforme le signal même s'il conserve toutes les amplitudes. Les deux signaux ont pourtant la même valeur efficace, $(1 + 1/9) /2 = 0, 745$ : Parseval ne voit que les amplitudes.