Le multimètre qui se trompe : valeur efficace vraie et formule de Parseval

La stratégie. Une moyenne linéaire (celle de $|s|$) et une moyenne quadratique (celle de $s^2$) : leur rapport dépend de la forme, et le multimètre ordinaire suppose celui d'une sinusoïde. Parseval calcule la moyenne quadratique raie par raie.

1) Le facteur de la sinusoïde. Pour $s=S_m\sin \theta$, $⟨|s|⟩=\frac{S_m}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin \theta \mathrm{d}\theta =\frac{2S_m}{\pi }$ et $S_{\text{eff}}=\frac{S_m}{\sqrt{2}}$, d'où $$k=\frac{S_{\text{eff}}}{⟨|s|⟩}=\frac{\pi }{2\sqrt{2}}\approx 1,111.$$ Créneau : $|s|=E$ à chaque instant, $⟨|s|⟩=S_{\text{eff}}=E$ ; affiché $1,111E$ : $+11,1\%$. Triangle : $|s|$ parcourt uniformément $[0,E]$, donc $⟨|s|⟩=E/2$ et $⟨s^2⟩=\frac{1}{E}{\int }_0^E{u}^2\mathrm{d}u=\frac{E^2}{3}$ ; affiché $0,555E$ au lieu de $0,577E$ : $-3,8\%$. La moyenne quadratique favorise les grandes valeurs : un signal « plat » est surestimé, un signal « pointu » sous-estimé.

2) Le gradateur. $$⟨|s|⟩=\frac{1}{\pi }{\int }_{\pi /2}^{\pi }E\sin \theta \mathrm{d}\theta =\frac{E}{\pi },⟨s^2⟩=\frac{1}{\pi }{\int }_{\pi /2}^{\pi }{E}^2{\sin }^2\theta \mathrm{d}\theta =\frac{E^2}{4}.$$ Valeur vraie : $S_{\text{eff}}=E/2=162,5\mathrm{V}$ ; affichée : $kE/\pi =\frac{E}{2\sqrt{2}}=114,9\mathrm{V}$, $-29\%$. La lampe reçoit $\frac{E^2}{4R}$, la moitié de la puissance pleine $\frac{E^2}{2R}$ (par symétrie, ${\sin }^2\theta$ a la même moyenne sur les deux quarts de la demi-période). Le multimètre ordinaire lit $114,9\mathrm{V}$, la moitié des $229,8\mathrm{V}$ du secteur : on conclurait au quart de la puissance. Seule la valeur efficace vraie dit la puissance.

3) Parseval sur le spectre. $s(\theta +\pi )=-s(\theta )$ : symétrie d'alternance, rangs pairs absents. La raie $n$ porte la part $\frac{c_n^2/2}{E^2/4}=2\frac{c_n^2}{E^2}$, d'où les parts cumulées $70,3\%$ ; $90,5\%$ ; $92,8\%$ ; $95,0\%$. Créneau : fondamental $\frac{8}{{\pi }^2}=81,1\%$, rangs $\le 7$ : $95,0\%$ ; triangle : fondamental $\frac{96}{{\pi }^4}=98,6\%$.

Convergence lente pour le gradateur comme pour le créneau : amplitudes en $1/n$, signature d'un saut (en $\theta =90^{\circ }$, de $0$ à $E$). Le taux de distorsion se lit sans sommer, car ${\sum }_{n\ge 2}{c}_n^2/2=S_{\text{eff}}^2-c_1^2/2$ : $${\tau }_d=\sqrt{\frac{S_{\text{eff}}^2-c_1^2/2}{c_1^2/2}}=\sqrt{\frac{1-0,703}{0,703}}\approx 65\%,$$ contre $48\%$ pour le créneau et $12\%$ pour le triangle : un gradateur est une source de « pollution harmonique » du réseau.

4) AC et DC s'ajoutent en carrés. Avec $s=⟨s⟩+v$, $⟨v⟩=0$ : $⟨s^2⟩=⟨s{⟩}^2+2⟨s⟩⟨v⟩+⟨v^2⟩=⟨s{⟩}^2+⟨v^2⟩$ — Parseval, $c_0^2$ d'un côté, les raies $n\ge 1$ de l'autre. Application : $⟨s^2⟩=\frac{1}{4}\times 25=6,25{\mathrm{V}}^2$, $S_{\text{eff}}=2,50\mathrm{V}$ ; $⟨s⟩=1,25\mathrm{V}$ ; $S_{\text{AC}}=\sqrt{6,25-1,56}=2,17\mathrm{V}$.

5) Cas limite. $\psi =150^{\circ }$ : $S_{\text{eff}}=0,120E$, affiché $0,047E$, $-61\%$ ; $\psi =170^{\circ }$ : $-77\%$. Avec $u=\pi -\psi \to 0$ : $⟨|s|⟩\approx \frac{E{u}^2}{2\pi }$ et $⟨s^2⟩\approx \frac{E^2{u}^3}{3\pi }$ (développer $\sin 2\psi =-\sin 2u$ à l'ordre 3) ; le rapport affiché/vrai varie comme $u^2/u^{3/2}=\sqrt{u}\to 0$ : l'erreur tend vers $-100\%$. Des impulsions brèves et hautes ont une moyenne quadratique bien supérieure à leur moyenne linéaire.

Ce que l'exercice installe. La valeur efficace est une moyenne quadratique, la seule qui dise une puissance ; un appareil à moyenne linéaire n'est juste que pour la forme qui l'étalonne. Parseval répartit cette puissance entre les raies : taux de distorsion sans sommation, continu et alternatif qui s'ajoutent en carrés. Et un réflexe : amplitudes en $1/n$, saut dans le signal.