traitement du signal (MP) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Le timbre d'un instrument : ce que dit chaque rang

Signaux périodiques et filtrage linéaire · A. Signaux périodiques et décomposition spectrale · niveau 2

Énoncé

Quatre sons de même hauteur, $f = 440 Hz$ , sont modélisés par leurs séries de Fourier ( $a$ : une tension, en sortie de microphone) :

son A (corde de violon frottée) : $s_{A} = \frac{2 a}{π} n \geq 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n} sin (nω t)$ ;
son B (clarinette, registre grave) : $s_{B} = \frac{4 a}{π} n impair \sum \frac{sin ( nω t )}{n}$ ;
son C (son « doux ») : $s_{C} = \frac{8 a}{π ^{2}} p \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{p}}{( 2 p + 1 ) ^{2}} sin ((2 p + 1) ω t)$ ;
son D : $s_{D} = \frac{8 a}{π ^{2}} p \geq 0 \sum \frac{1}{( 2 p + 1 ) ^{2}} sin ((2 p + 1) ω t)$ .

1) Sans sommer, dire pour chaque son ses symétries (parité, alternance $s (t + T /2) = - s (t)$ ) et s'il a des sauts ou seulement des points anguleux. Reconnaître et esquisser A, B, C.

2) On tronque la série du son B au rang $n_{m a x}$ ; un calcul numérique donne le temps de montée du front de $- a$ à $+ a$ et le maximum atteint :

$n_{m a x}$	$1$	$3$	$9$	$19$	$49$	$99$
$t_{m} / T$	$0, 216$	$0, 111$	$0, 0445$	$0, 0223$	$0, 0089$	$0, 00446$
maximum $/ a$	$1, 273$	$1, 200$	$1, 182$	$1, 180$	$1, 179$	$1, 179$

Quels rangs font l'allure, lesquels font les fronts ? Proposer une loi pour $t_{m}$ . Commenter la dernière ligne.

3) Combien de raies A, B, C ont-ils à moins de $40 dB$ sous leur fondamental ? Combien de raies du son B sont audibles (sous $20 kHz$ ) ?

4) Le son D a le même spectre d'amplitude que C. Même allure ? On donne : maximum de $s_{D}$ égal à $0, 742 a$ , et $\sum_{n impair} \frac{cos ( n x )}{n} = - \frac{1}{2} ln tan \frac{x}{2}$ . On admet que l'oreille est peu sensible aux phases relatives des harmoniques (loi acoustique d'Ohm). Conclure.

5) Cas limite : le front et le maximum du son B quand $n_{m a x} \to \infty$ .

Corrigé

La stratégie. Lire la forme dans les raies : la présence des rangs pairs dit une symétrie, la décroissance des amplitudes dit la régularité, les phases disent l'agencement. On ne somme rien.

1) Symétries et régularité. Que des sinus : les quatre signaux sont impairs. A : tous les rangs, donc pas d'alternance ; amplitudes en $1/ n$ , donc un saut : la dent de scie $s_{A} = 2 a t / T$ sur $] - T /2, T /2 [$ , rampe puis retour brutal de $+ a$ à $- a$ — la corde, entraînée lentement par l'archet, puis lâchée. B : rangs impairs (alternance), en $1/ n$ : le créneau $\pm a$ . C : rangs impairs, en $1/ n^{2}$ : signal continu à points anguleux, le triangle $\pm a$ (en $t = T /4$ , tous les termes valent $\frac{8 a}{π ^{2} n ^{2}}$ , de somme $a$ ).

2) Les premiers rangs font l'allure, les derniers les fronts. Le fondamental seul donne la période, le signe de chaque demi-période, la place des fronts ; les rangs suivants raidissent les fronts. Le produit $n_{m a x} t_{m} / T$ vaut $0, 216$ ; $0, 332$ ; $0, 401$ ; $0, 423$ ; $0, 437$ ; $0, 441$ et tend vers une constante : $t_{m} \approx \frac{0 , 44}{n _{m a x} f} .$ La raideur d'un front se paie en largeur de spectre : un front de durée $t_{m}$ exige des raies jusqu'à $0, 44/ t_{m}$ . Le maximum, lui, se fixe à $1, 179 a$ : un dépassement de $9 %$ du saut $2 a$ . C'est le phénomène de Gibbs : on gagne en raideur, jamais en dépassement.

3) Ordres de grandeur. $- 40 dB$ : rapport $1/100$ . A : $1/ n \geq 1/100$ , 100 raies ; B : rangs impairs jusqu'à 99, 50 raies ; C : $1/ n^{2} \geq 1/100$ , rangs $1$ à $9$ impairs, 5 raies (le fondamental y porte $98, 6 %$ de la puissance) : C est « doux », A et B « brillants ». Son B : $440 n \leq 20000$ , rangs impairs jusqu'à $45$ , 23 raies audibles.

4) Mêmes amplitudes, autre allure. Changer le signe d'une raie sur deux décale sa phase de $π$ : même spectre d'amplitude, autres phases. Les raies n'arrivent plus en phase à $T /4$ : maximum $0, 742 a$ . La dérivée, $\frac{8 aω}{π ^{2}} \sum_{n impair} \frac{cos ( nω t )}{n} = - \frac{4 aω}{π ^{2}} ln ∣ tan (ω t /2)∣$ , diverge en $t = 0$ : tangente verticale au passage par zéro. Même valeur efficace (Parseval ne voit que les amplitudes), à peu près même timbre, allure très différente : la forme dépend des phases, le timbre surtout des amplitudes.

5) Cas limite. $t_{m} \to 0$ : front vertical ; le dépassement de $9 %$ demeure, concentré sur une durée de l'ordre de $T / n_{m a x}$ qui tend vers zéro. La série converge en chaque instant (vers $0$ , la demi-somme, au saut) mais pas uniformément.

Ce que l'exercice installe. Lire un signal dans son spectre : rangs impairs seuls $\Leftrightarrow$ alternance ; amplitudes en $1/ n$ $\Leftrightarrow$ sauts, en $1/ n^{2}$ $\Leftrightarrow$ points anguleux ; les premiers rangs font l'allure, les rangs élevés font les fronts, $t_{m} \approx 0, 44/ (n_{m a x} f)$ ; Gibbs persiste. Et la phase compte pour la forme.

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