Spectre du redressé double alternance — exercice corrigé de traitement du signal (MP) (chapitre 1)

Spectre du redressé double alternance

Signaux périodiques et filtrage linéaire · niveau 2

Énoncé

Le pont de diodes d'une alimentation délivre la tension $s (t) = E ∣ sin (ω t) ∣$ , avec $E = 325 V$ et $f = ω /2 π = 50 H z$ (le secteur). On admet

$∣ sin x ∣ = \frac{2}{π} - \frac{4}{π} k \geq 1 \sum \frac{cos ( 2 k x )}{4 k ^{2} - 1} .$

Quelle est la période de $s$ ? Quelles fréquences contient son spectre ? Calculer la composante continue et les trois premières raies, vérifier la formule de Parseval, et dire pourquoi un multimètre ordinaire (étalonné pour une sinusoïde) mesure juste la valeur efficace de cette tension.

Corrigé

$∣ sin (ω t) ∣$ reprend la même valeur après une demi-période du secteur : la période de $s$ est $T /2 = 10 m s$ , sa fréquence $2 f = 100 H z$ , et le spectre ne contient que les multiples de $100 H z$ — ce que dit aussi la série, qui ne porte que des $cos (2 k ω t)$ . Amplitudes :

$c_{0} = \frac{2 E}{π} = 0, 637 E = 207 V, c_{2 k} = \frac{4 E}{π ( 4 k ^{2} - 1 )}, soit 138 V (100 H z), 27, 6 V (200 H z), 11, 8 V (300 H z) .$

Parseval : $s^{2} = E^{2} sin^{2} (ω t)$ , donc $S_{eff}^{2} = E^{2} /2$ ; et $(0, 63 7^{2} + \frac{1}{2} (0, 42 4^{2} + 0, 08 5^{2} + 0, 03 6^{2} + \dots)) E^{2} = (0, 405 + 0, 090 + 0, 004 + 0, 001 + \dots) E^{2} \approx 0, 500 E^{2}$ . Les raies décroissent en $1/ k^{2}$ : le signal est continu, à points anguleux (aux zéros du secteur). Le multimètre ordinaire mesure $⟨ ∣ s ∣ ⟩$ , qui est ici celui de la sinusoïde $E sin (ω t)$ : il affiche juste, $E / 2 = 230 V$ . Pour obtenir une tension continue, on fera suivre le pont d'un passe-bas qui garde $c_{0}$ et rejette la raie à $100 H z$ , la plus gênante.