traitement du signal (MP) · Chapitre 2 · Exercice de TD

L'écran FFT d'un oscilloscope numérique : quelles raies sont vraies ?

Électronique numérique : échantillonnage et filtrage · D. Le théorème de Nyquist-Shannon · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un générateur basse fréquence délivre un signal créneau symétrique, de valeur moyenne nulle, de fréquence $f_{0} = 1, 1 kHz$ . On rappelle (cours sur les signaux périodiques) qu'un tel créneau ne contient que des harmoniques de rang impair $n$ , d'amplitudes proportionnelles à $1/ n$ . L'oscilloscope de l'exercice sur les diapasons ( $M = 2500$ points, $T_{acq} = 10 \times$ base) est réglé à $20 ms/div$ , en mode FFT ; il affiche les niveaux en décibels par rapport à la raie la plus haute, et n'affiche que les raies au-dessus de $- 25 dB$ . On relève :

$f$ (kHz)	$0, 4$	$1, 1$	$1, 8$	$2, 6$	$3, 3$	$4, 0$	$4, 8$	$5, 5$	$6, 2$
niveau (dB)	$- 20, 8$	$0$	$- 22, 3$	$- 19, 1$	$- 9, 5$	$- 23, 5$	$- 16, 9$	$- 14, 0$	$- 24, 6$

1) Calculer $f_{e}$ et l'étendue de l'axe des fréquences affiché.

2) Quelles raies peuvent appartenir au créneau ? Lesquelles sont des artefacts ? Quelle raie le prouve sans aucun calcul ?

3) Pour chaque artefact, retrouver l'harmonique dont il provient. Les niveaux confirment-ils l'attribution ?

4) On passe à $10 ms/div$ . Prévoir le nouvel écran : quelles raies restent, lesquelles bougent, lesquelles apparaissent ? En déduire un test expérimental qui démasque les alias sans rien calculer.

5) Pourquoi un oscilloscope numérique n'a-t-il pas de filtre anti-repliement fixe ? Quelle base de temps (suite 1, 2, 5) faut-il choisir pour que tout alias soit sous $1 %$ du fondamental ?

6) Cas limite. On remplace le signal par un créneau à $625 Hz$ et l'on règle la base à $50 ms/div$ . L'écran est propre : deux raies, à $625$ et $1875 Hz$ , mais leur rapport vaut $0, 414$ au lieu de $1/3$ . Expliquer. Pourquoi ce cas est-il le plus dangereux ?

Corrigé

La stratégie. Un signal périodique n'a de raies qu'aux multiples de sa fréquence : c'est le critère qui trie l'écran. On replie ensuite chaque harmonique au-delà de $f_{N}$ par $f_{a} = ∣ n f_{0} - k f_{e} ∣$ , et l'on vérifie que les niveaux suivent la loi en $1/ n$ , soit $20 lo g_{10} (1/ n)$ en décibels.

1) L'axe. $T_{acq} = 0, 2 s$ , donc $f_{e} = 2500/0, 2 = 12, 5 kHz$ et l'axe s'étend de $0$ à $f_{N} = 6, 25 kHz$ (avec une finesse de $5 Hz$ , sans importance ici).

2) Le tri. Les raies du créneau sont à $1, 1$ ; $3, 3$ ; $5, 5 kHz$ (rangs 1, 3, 5), puis $7, 7 kHz$ , au-delà de l'écran. Ces trois raies ont les bons niveaux : $20 lo g_{10} (1/3) = - 9, 5 dB$ et $20 lo g_{10} (1/5) = - 14, 0 dB$ . Les six autres, $0, 4$ ; $1, 8$ ; $2, 6$ ; $4, 0$ ; $4, 8$ ; $6, 2 kHz$ , ne sont pas des multiples de $1, 1 kHz$ : ce sont des artefacts. La raie à $0, 4 kHz$ le prouve sans calcul : elle est sous le fondamental, et un signal périodique de fréquence $1, 1 kHz$ ne peut rien contenir entre $0$ et $1, 1 kHz$ .

3) L'origine de chaque alias. On replie $n f_{0}$ en $∣ n f_{0} - k f_{e} ∣$ avec $k f_{e}$ le multiple de $12, 5 kHz$ le plus proche :

harmonique	$n f_{0}$ (kHz)	repliement	raie (kHz)	$20 lo g_{10} (1/ n)$ (dB)
$H_{7}$	$7, 7$	$12, 5 - 7, 7$	$4, 8$	$- 16, 9$
$H_{9}$	$9, 9$	$12, 5 - 9, 9$	$2, 6$	$- 19, 1$
$H_{11}$	$12, 1$	$12, 5 - 12, 1$	$0, 4$	$- 20, 8$
$H_{13}$	$14, 3$	$14, 3 - 12, 5$	$1, 8$	$- 22, 3$
$H_{15}$	$16, 5$	$16, 5 - 12, 5$	$4, 0$	$- 23, 5$
$H_{17}$	$18, 7$	$25 - 18, 7$	$6, 2$	$- 24, 6$

Les niveaux relevés sont exactement ceux de la loi en $1/ n$ : l'attribution est confirmée. L'harmonique suivant, $H_{19}$ , à $- 25, 6 dB$ , est sous le seuil d'affichage ; en dessous du seuil, une forêt d'alias de plus en plus faibles remplit tout l'écran. Le premier alias se lit en suivant l'axe des fréquences replié en accordéon : de $0$ à $f_{N}$ à l'endroit, de $f_{N}$ à $f_{e}$ à l'envers, de $f_{e}$ à $3 f_{N}$ à l'endroit…

4) Le test du changement de base. À $10 ms/div$ , $T_{acq} = 0, 1 s$ , $f_{e} = 25 kHz$ , $f_{N} = 12, 5 kHz$ . Les vraies raies $1, 1$ ; $3, 3$ ; $5, 5 kHz$ restent ; $H_{7}$ , $H_{9}$ , $H_{11}$ apparaissent à leurs vraies places, $7, 7$ ; $9, 9$ ; $12, 1 kHz$ ; les alias bougent : $H_{13}$ passe à $25 - 14, 3 = 10, 7 kHz$ , $H_{15}$ à $8, 5 kHz$ , $H_{17}$ à $6, 3 kHz$ , et les raies à $0, 4$ ; $1, 8$ ; $2, 6$ ; $4, 0$ ; $4, 8$ ; $6, 2 kHz$ disparaissent. D'où le test : changer la base de temps ; une raie qui ne bouge pas est vraie, une raie qui se déplace est un alias. C'est la mise en évidence expérimentale du repliement que demande le programme.

5) Pas de filtre fixe, donc une base adaptée. La fréquence d'échantillonnage d'un oscilloscope suit la base de temps, de quelques hertz à des gigahertz : aucun filtre fixe ne peut être placé sous toutes les fréquences de Nyquist possibles, et un filtre trop bas couperait les signaux rapides. C'est à l'utilisateur de choisir $f_{e}$ . Pour que tout alias soit sous $1 %$ du fondamental, il faut que tous les harmoniques de niveau supérieur à $1 %$ ( $1/ n > 0, 01$ , soit $n \leq 99$ ) restent sous $f_{N}$ : $f_{N} > 99 \times 1, 1 = 109 kHz$ , donc $f_{e} > 218 kHz$ , $T_{acq} < 2500/218 000 = 11, 5 ms$ , une base inférieure à $1, 15 ms/div$ : $1 ms/div$ . Alors $f_{e} = 250 kHz$ , $f_{N} = 125 kHz$ ; le premier harmonique replié est $H_{115}$ ( $126, 5 kHz$ ), de niveau $1/115 = 0, 87 %$ . La finesse, $100 Hz$ , suffit encore largement à séparer des harmoniques espacés de $2, 2 kHz$ .

6) Cas limite : $f_{e} = 8 f_{0}$ . À $50 ms/div$ , $T_{acq} = 0, 5 s$ et $f_{e} = 5 kHz = 8 \times 625 Hz$ . Un harmonique de rang impair $n$ se replie en $∣ n - 8 k ∣ f_{0}$ , et $n - 8 k$ est impair : tous les alias tombent exactement sur des harmoniques. Sur l'écran de $0$ à $2, 5 kHz$ , seules les places $625 Hz$ ( $H_{1}$ ) et $1875 Hz$ ( $H_{3}$ ) existent : $H_{5}$ se replie sur $H_{3}$ ( $8 - 5 = 3$ ), $H_{7}$ et $H_{9}$ sur $H_{1}$ , $H_{11}$ et $H_{13}$ sur $H_{3}$ , et ainsi de suite. L'écran paraît parfaitement propre, mais chaque raie affichée est la somme de la vraie et d'une infinité d'alias : le rapport lu, $0, 414$ , est faux (il vaudrait $1/3$ ). C'est le cas le plus dangereux, parce que le critère de la question 2 ne signale rien. Seul le test de la question 4 le démasque : à une autre base de temps, le rapport change. Le même piège guette toute fréquence d'échantillonnage multiple de la fréquence du signal.

Ce que l'exercice installe. Lire un spectre affiché, c'est d'abord le trier : un signal périodique n'a de raies qu'aux multiples de sa fréquence, et toute raie sous le fondamental est suspecte. On attribue chaque alias en repliant l'axe des fréquences autour des multiples de $f_{N}$ , et les niveaux confirment l'attribution. Le test expérimental du repliement : changer $f_{e}$ ; les vraies raies restent, les alias bougent.

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