Problème : pourquoi 44,1 kHz ? La condition de Nyquist-Shannon et le filtre anti-repliement de l'audio numérique

La stratégie. Tout part d'une identité trigonométrique, qui dit quelles fréquences sont indiscernables à partir des échantillons. On en tire la condition de Nyquist-Shannon, puis, en se demandant quelles confusions sont gênantes (celles qui tombent dans la bande audible), le gabarit du filtre ; les pentes du diagramme de Bode donnent enfin l'ordre du filtre, et montrent pourquoi on suréchantillonne.

1) L'indiscernabilité. Avec $f_e{T}_e=1$ : $$2\pi (f_e-f)n{T}_e-\phi =2\pi n-(2\pi fn{T}_e+\phi ),$$ et le cosinus est pair et $2\pi$-périodique : $\cos (2\pi (f_e-f)n{T}_e-\phi )=\cos (2\pi fn{T}_e+\phi )$ pour tout entier $n$. De même, $2\pi (f+k{f}_e)n{T}_e+\phi =2\pi fn{T}_e+\phi +2\pi kn$ : mêmes valeurs. Les fréquences $f$, $f_e-f$, $f+k{f}_e$, $k{f}_e-f$ donnent donc les mêmes échantillons : à partir des seuls nombres enregistrés, rien ne permet de dire laquelle était présente. Dans chaque famille, une seule fréquence tombe dans $[0,f_e/2]$ : c'est la seule bande sans ambiguïté, et le système de lecture restitue toujours ce représentant, la fréquence apparente. À $f_e=44,1\mathrm{kHz}$ : $25\mathrm{kHz}\to 44,1-25=19,1\mathrm{kHz}$ ; $30\to 14,1\mathrm{kHz}$ ; $40\to 4,1\mathrm{kHz}$. Des ultrasons inaudibles deviennent des sons audibles, sans rapport harmonique avec la musique. Et une fausse composante à $14,1\mathrm{kHz}$ a exactement les mêmes échantillons qu'une vraie composante à $14,1\mathrm{kHz}$ : aucun traitement ultérieur ne peut les séparer. Le filtre doit agir avant le CAN, sur le signal analogique.

2) La condition de Nyquist-Shannon. Une fréquence audible $f\le 20\mathrm{kHz}$ a pour alias $f_e-f\ge f_e-20\mathrm{kHz}$ (les autres, $f+k{f}_e$ et $k{f}_e\pm f$ avec $k\ge 1$, sont plus hautes encore). Pour qu'aucun alias d'une fréquence audible ne soit lui-même audible, il faut et il suffit que $f_e-20\mathrm{kHz}>20\mathrm{kHz}$ : $$f_e>2f_{\max }=40\mathrm{kHz}.$$ C'est la condition de Nyquist-Shannon. On en a établi la nécessité : en dessous, deux sons audibles distincts se confondent. Sa suffisance, c'est-à-dire le fait qu'un signal de bande $[0,f_{\max }]$ échantillonné à $f_e>2f_{\max }$ se reconstruise exactement à partir de ses échantillons, est admise du cours. Cas limite $f_e=2f_{\max }$ : une sinusoïde à $f_N=f_e/2$ s'écrit $\cos (\pi n+\phi )=(-1{)}^n\cos \phi$ ; si elle est échantillonnée à ses passages par zéro ($\phi =\pi /2$), tous les échantillons sont nuls ; dans tous les cas, l'amplitude $A$ et la phase n'apparaissent qu'à travers le produit $A\cos \phi$, et sont perdues. L'inégalité est stricte.

3) Le gabarit. Une composante de fréquence $f$ comprise entre $f_N=22,05\mathrm{kHz}$ et $f_e-20=24,1\mathrm{kHz}$ se replie en $f_e-f$, entre $20$ et $22,05\mathrm{kHz}$ : hors de la bande audible. Elle est tolérée. Le filtre doit donc laisser passer jusqu'à $f_{\max }=20\mathrm{kHz}$ et atténuer à partir de $f_e-f_{\max }=24,1\mathrm{kHz}$ : une bande de transition de $4,1\mathrm{kHz}$, le double des $2,05\mathrm{kHz}$ qui séparent $f_{\max }$ de $f_N$. Placer la coupure sous $f_N$ serait plus exigeant que nécessaire. Avec $f_e=40\mathrm{kHz}$, la transition serait nulle : il faudrait un filtre qui passe tout jusqu'à $20\mathrm{kHz}$ et coupe tout au-delà, un filtre idéal, irréalisable. La marge de $44,1$ sur $40\mathrm{kHz}$ est la place du filtre.

4) L'atténuation et l'ordre. Un signal pleine échelle occupe $2^{16}$ pas de quantification ; un alias plus faible qu'un pas n'existe plus après conversion. Il faut donc une atténuation d'au moins $20{\log }_{10}(2^{16})=96,3\mathrm{dB}$ à partir de $24,1\mathrm{kHz}$. Sur l'asymptote d'un ordre $n$ coupant à $20\mathrm{kHz}$, l'atténuation à $24,1\mathrm{kHz}$ vaut $20n{\log }_{10}(24,1/20)=20n\times 0,081\mathrm{dB}$, puisque $24,1/20=1,205$ ne représente que $0,081$ décade. Il faut $$20n\times 0,081\ge 96,3,n\ge 59,5,$$ un filtre d'ordre 60. À $48\mathrm{kHz}$, la bande atténuée commence à $28\mathrm{kHz}$, ${\log }_{10}1,4=0,146$ décade, et $n\ge 33$. Les deux sont hors de portée de l'électronique analogique : un tel filtre demande des dizaines de composants appairés, qui dérivent avec la température, et son déphasage varie violemment près de $20\mathrm{kHz}$, ce qui déforme les transitoires. Le choix de $44,1\mathrm{kHz}$ ne se défend donc pas par un filtre analogique raide : il fallait autre chose.

5) Le suréchantillonnage. À $4f_e=176,4\mathrm{kHz}$, la bande atténuée ne commence qu'à $176,4-20=156,4\mathrm{kHz}$ : ${\log }_{10}(156,4/20)=0,893$ décade, et $n\ge 96,3/(20\times 0,893)=5,4$. Un filtre analogique d'ordre 6 suffit (à $8f_e$, un ordre 4). Le travail raide, couper entre $20$ et $24,1\mathrm{kHz}$, passe à un filtre numérique appliqué aux échantillons à $176,4\mathrm{kHz}$ : des calculs, sans composants qui dérivent, d'ordre aussi élevé qu'on veut. Ce n'est qu'ensuite qu'on garde un échantillon sur quatre ; le signal numérique ayant été débarrassé de tout ce qui dépasse $24,1\mathrm{kHz}$, cette réduction ne replie rien d'audible (qualitativement : le filtre numérique respecte le gabarit de la question 3). À la lecture, même logique : le CNA produit les images en $f_e-f\ge 24,1\mathrm{kHz}$, que le filtre de reconstruction doit écarter de la bande audible ; on suréchantillonne pour éloigner ces images et se contenter d'un filtre analogique doux, comme pour la sinusoïde du microcontrôleur.

Le gabarit à $44,1\mathrm{kHz}$ interdit tout gain supérieur à $-96,3\mathrm{dB}$ au-delà de $24,1\mathrm{kHz}$ ; celui à $176,4\mathrm{kHz}$, au-delà de $156,4\mathrm{kHz}$ seulement : il faut un ordre 60 pour respecter le premier, un ordre 6 suffit au second.

6) Ordres de grandeur. $3\times 294\times 50=44100$ et $3\times 245\times 60=44100$ : la même fréquence convenait aux deux standards vidéo, et elle respectait la condition de Nyquist-Shannon avec une marge de $10\%$. Débit d'un disque compact : $2$ voies $\times 16$ bits $\times 44100{\mathrm{s}}^{-1}=1,41Mbit/s$ ; pour 74 minutes, $1,41\times 10^6\times 4440/8=783\mathrm{Mo}$, la capacité d'un disque. Le téléphone : $f_e=8\mathrm{kHz}$ pour une bande utile qui s'arrête à $3,4\mathrm{kHz}$ ; le filtre passe jusqu'à $3,4\mathrm{kHz}$ et atténue à partir de $8-3,4=4,6\mathrm{kHz}$, une transition de $1,2\mathrm{kHz}$ sur une bande de $3,4$, bien plus confortable, en proportion, que celle du disque. Cas limite $f_e\to 2f_{\max }$ : la transition $f_e-2f_{\max }$ tend vers zéro, le nombre de décades ${\log }_{10}((f_e-f_{\max })/f_{\max })$ aussi, et l'ordre nécessaire tend vers l'infini : la condition de Nyquist-Shannon est une limite qu'on n'atteint jamais en pratique.

Le résultat obtenu — la condition de Nyquist-Shannon et le gabarit du filtre anti-repliement. Les fréquences $f$, $f_e-f$ et $f+k{f}_e$ donnent les mêmes échantillons ; pour qu'un signal de bande $[0,f_{\max }]$ soit numérisé sans confusion, il faut $f_e>2f_{\max }$, inégalité stricte (condition de Nyquist-Shannon, dont la suffisance est admise). En pratique, le filtre anti-repliement, placé avant le CAN, doit laisser passer $[0,f_{\max }]$ et atténuer, sous le pas de quantification, tout ce qui dépasse $f_e-f_{\max }$ ; l'ordre qu'il exige croît sans limite quand $f_e$ tend vers $2f_{\max }$, d'où une marge (44,1 kHz pour 20 kHz) et, dans les convertisseurs actuels, le suréchantillonnage qui confie la coupure raide à un filtre numérique.

Ce que le problème installe. La condition de Nyquist-Shannon se met en place par une identité trigonométrique, sans aucune théorie de l'échantillonnage : deux sinusoïdes qui passent par les mêmes points. Le gabarit du filtre anti-repliement se déduit de ce qui est gênant (un alias dans la bande utile), d'où une bande atténuée à partir de $f_e-f_{\max }$ et non de $f_e/2$. Les pentes de Bode chiffrent le prix d'une marge étroite, et justifient le suréchantillonnage.