Un passe-bas dans une balance électronique : écrire l'algorithme, le régler, en connaître les limites

La stratégie. On traduit l'instruction en équation aux différences, on règle le filtre par l'analogie $RC$, puis on vérifie par la simulation : c'est elle, pas la formule qui a servi à régler, qui juge le filtre. Les écarts qu'elle révèle se comprennent par la condition de l'analogie, $f_c\ll f_e$.

1) L'équation aux différences. L'instruction donne $y[n]=y[n-1]+\frac{x[n]-y[n-1]}{16}=\frac{15}{16}y[n-1]+\frac{1}{16}x[n]$ : c'est le filtre récursif du premier ordre avec $a=15/16=0,9375$ et $1-a=1/16$. Diviser par $16=2^4$ revient, sur des entiers en binaire, à décaler de 4 bits vers la droite : une opération immédiate, sans division. Le filtre ne garde qu'une valeur en mémoire, la sortie précédente.

2) Constante de temps et réponse indicielle. De $a=\tau /(\tau +T_e)$ on tire $\tau =\frac{a{T}_e}{1-a}=15T_e=15\mathrm{ms}$ et $f_c=\frac{1}{2\pi \tau }=10,6\mathrm{Hz}$. Pour l'échelon, montrons $y[n]=1-a^{n+1}$ par récurrence : $y[0]=(1-a)\times 1=1-a$ ; si $y[n-1]=1-a^n$, alors $y[n]=a(1-a^n)+(1-a)=1-a^{n+1}$. La sortie atteint $95\%$ quand $a^{n+1}\le 0,05$, soit $n+1\ge \frac{\ln 0,05}{\ln (15/16)}=46,4$ : au 47e échantillon, après $47\mathrm{ms}$. Le $RC$ équivalent atteint $95\%$ à $3\tau =45\mathrm{ms}$ : l'accord est bon, parce que $\tau =15T_e$ est grand devant $T_e$.

3) La simulation et le compromis. Une boucle qui reproduit exactement le calcul du microcontrôleur :

import numpy as np
fe = 1000.0
a = 15/16
n = np.arange(2000)                       # 2 s de signal
x = 1 + 0.5*np.cos(2*np.pi*50*n/fe)       # masse + parasite
y = np.zeros(len(x))
yprec = 0.0                               # la seule valeur en memoire
for k in range(len(x)):
    yprec = a*yprec + (1 - a)*x[k]        # equation aux differences
    y[k] = yprec
regime = y[1000:]                         # apres le regime transitoire
residu = (regime.max() - regime.min())/2
print(residu, residu/0.5)                 # 0.101 et 0.202

L'amplitude résiduelle $0,101$ correspond à un gain de $0,202$ à $50\mathrm{Hz}$. L'analogie $RC$ prévoit $1/\sqrt{1+(50/10,6{)}^2}=0,208$ : accord à $3\%$ près. Le parasite n'est divisé que par 5 : sur l'afficheur, il reste une oscillation de $\pm 10\%$ de la mesure. Pour le diviser par 100, il faut un gain de $0,01$ à $50\mathrm{Hz}$, soit $50/f_c\approx 100$, $f_c\approx 0,5\mathrm{Hz}$, et $a=1/(1+2\pi \times 0,5/1000)=0,9969$. Mais alors $\tau =0,32\mathrm{s}$ et la sortie n'atteint $95\%$ qu'après $955$ échantillons, près d'une seconde : la balance devient lente. C'est le compromis de tout passe-bas : rejeter loin et répondre vite sont deux exigences contraires, liées par $f_c\tau =1/2\pi$.

4) Cas limite : $f_c$ n'est pas petite devant $f_e$. L'analogie remplace la dérivée $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ par $\frac{y[n]-y[n-1]}{T_e}$ : c'est légitime si $y$ varie peu pendant $T_e$, c'est-à-dire si $\tau \gg T_e$, ou $f_c\ll f_e$. Avec $f_c=200\mathrm{Hz}$, $\tau =0,8\mathrm{ms}$ est plus court que $T_e=1\mathrm{ms}$ : l'approximation ne vaut plus rien. De plus, le filtre numérique ne connaît que les fréquences de $0$ à $f_e/2$ : son gain ne peut pas suivre la pente du $RC$ jusqu'à l'infini, il s'arrête en $f_e/2$ à la valeur que donne une entrée alternée $x[n]=(-1{)}^n$. En régime établi, la sortie est alors $y[n]=A(-1{)}^n$, avec $A(-1{)}^n=-aA(-1{)}^n+(1-a)(-1{)}^n$, d'où $A=\frac{1-a}{1+a}=0,386$. Le gain plafonne donc à $0,386$ en $f_e/2$, et la coupure réelle tombe à $137\mathrm{Hz}$ au lieu de $200$.

Pour aller plus loin : le gain exact. Comme en régime sinusoïdal forcé, on injecte $x[n]={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega n{T}_e}$ et l'on cherche $y[n]=\underline{H}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega n{T}_e}$. L'équation aux différences donne $\underline{H}(1-a{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega T_e})=1-a$, soit $$|\underline{H}|=\frac{1-a}{\sqrt{1-2a\cos (\omega T_e)+a^2}}.$$ En $f=f_e/2$, $\omega T_e=\pi$ et l'on retrouve $\frac{1-a}{1+a}$. Pour $f\ll f_e$, $\cos (\omega T_e)\approx 1-\frac{(\omega T_e{)}^2}{2}$ donne $|\underline{H}|\approx 1/\sqrt{1+(\omega \tau {)}^2/a}$ : le gain du $RC$ quand $a$ est proche de 1. C'est la formule qu'emploie la simulation ; elle donne $0,202$ pour la balance, $0,66$ à $50\mathrm{Hz}$ (au lieu de $0,71$) pour un filtre réglé à $f_c=50\mathrm{Hz}$ avec $f_e=1\mathrm{kHz}$.

5) La moyenne glissante sur 20 échantillons. $y[n]=\frac{1}{20}\sum _{k=0}^{19}x[n-k]$. Vingt échantillons à $1\mathrm{kHz}$ couvrent $20\mathrm{ms}$, exactement une période du $50\mathrm{Hz}$ ; pour l'harmonique de rang $m$ ($50m\mathrm{Hz}$), exactement $m$ périodes. Or la somme de valeurs équiréparties d'une sinusoïde sur un nombre entier de périodes est nulle (les échantillons forment, par symétrie, des paires et des groupes qui se compensent : c'est la somme des racines $20$-ièmes de l'unité). Le parasite et tous ses harmoniques sont exactement éliminés, quelle que soit leur phase ; une masse constante passe intacte. Le temps de réponse est de $20\mathrm{ms}$ exactement (la sortie atteint la nouvelle valeur quand les 20 échantillons sont tous postérieurs à l'échelon), plus court que les $47\mathrm{ms}$ du filtre récursif, qui, lui, laisse $20\%$ du parasite. Le prix : 20 valeurs en mémoire au lieu d'une, et une efficacité limitée aux multiples de $50\mathrm{Hz}$ (une fréquence de $25\mathrm{Hz}$ ne serait divisée que par $1,6$). Ordre de grandeur : les multimètres de précision intègrent la tension pendant un nombre entier de périodes du secteur ($20\mathrm{ms}$, ou un multiple) pour la même raison.

Ce que l'exercice installe. Un passe-bas numérique s'écrit (une ligne, une valeur en mémoire), se règle par l'analogie $RC$, $a=\tau /(\tau +T_e)$, et se vérifie par la simulation, qui seule juge. L'analogie n'est valable que si $f_c\ll f_e$ ; près de $f_e/2$, le gain plafonne à $(1-a)/(1+a)$. Tout passe-bas impose un compromis rejet-rapidité ; une moyenne sur une période exacte d'un parasite connu l'élimine entièrement.