traitement du signal (MP) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Une sinusoïde fabriquée par un microcontrôleur : table d'onde, CNA, filtre de reconstruction

Électronique numérique : échantillonnage et filtrage · E. Reconstruction et conversion numérique-analogique · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un microcontrôleur garde en mémoire une table d'onde de $P = 8$ codes, qu'il envoie cycliquement à un CNA 8 bits (calibre $0$ – $3, 3 V$ ) à la fréquence $f_{e} = 8 kHz$ ; le CNA maintient chaque valeur pendant $T_{e}$ (blocage d'ordre zéro). Les codes sont $128$ , $218$ , $255$ , $218$ , $128$ , $38$ , $1$ , $38$ . La sortie du CNA passe dans un filtre passe-bas avant d'être observée.

1) Calculer le pas $q$ du CNA, la fréquence $f_{0}$ du signal produit, son amplitude et sa valeur moyenne. Vérifier que les codes sont les arrondis de $128 + 127 sin (2 π k /8)$ .

2) Sans filtre, l'oscilloscope en mode FFT affiche des raies à $1$ , $7$ , $9$ , $15$ , $17$ , $23$ , $25 kHz$ , d'amplitudes relatives $1$ , $1/7$ , $1/9$ , $1/15$ , $1/17$ , $1/23$ , $1/25$ (données). Interpréter les positions de ces raies. Pourquoi ne sont-elles pas dans le signal voulu ?

3) On utilise un filtre $R C$ de fréquence de coupure $f_{c}$ , de gain $∣ H ∣ = 1/ 1 + (f / f_{c})^{2}$ . Calculer, après filtrage, le rapport de l'amplitude de l'image à $7 kHz$ à celle du fondamental pour $f_{c} = 1 kHz$ puis $2 kHz$ . Montrer qu'aucun premier ordre ne descend sous $2 %$ . Faire le même calcul avec un passe-bas du deuxième ordre de facteur de qualité $Q = 1/ 2$ , de gain $∣ H ∣ = 1/ 1 + (f / f_{c})^{4}$ , avec $f_{c} = 1, 5 kHz$ .

4) On suréchantillonne la table : $P = 32$ codes lus à $f_{e} = 32 kHz$ , pour la même fréquence $f_{0}$ . Où est la première image, de quelle amplitude relative (même loi $1/ (k P \pm 1)$ ) ? Que donne alors un simple $R C$ de coupure $3 kHz$ ?

5) L'escalier est en moyenne en retard d'une demi-période d'échantillonnage sur la sinusoïde dont il est tiré. En déduire le déphasage du fondamental restitué, pour $P = 8$ et $P = 32$ .

6) Cas limite. Que produit une table de $P = 2$ codes, tirée de la même formule ? Et une table de $P = 4$ codes ?

Corrigé

La stratégie. On lit l'escalier comme un signal échantillonné bloqué : son spectre porte les raies du signal voulu et leurs images autour des multiples de $f_{e}$ (structure admise du cours) ; les amplitudes sont données. Le filtre doit garder la raie utile et écraser la première image : tout se joue sur l'écart entre $f_{0}$ et $f_{e} - f_{0}$ .

1) Le signal produit. $q = 3, 3/256 = 12, 9 mV$ . La table est parcourue en $P T_{e} = 8/8000 s = 1 ms$ : $f_{0} = f_{e} / P = 1 kHz$ . On vérifie : $128 + 127 sin (π /4) = 217, 8 \to 218$ ; $128 + 127 = 255$ ; $128 - 89, 8 = 38, 2 \to 38$ ; $128 - 127 = 1$ . L'amplitude vaut $127 q = 1, 64 V$ et la valeur moyenne $128 q = 1, 65 V$ , le milieu du calibre (un CNA alimenté entre $0$ et $3, 3 V$ ne sort pas de tension négative).

2) Les images. Les raies sont en $f_{0} = 1 kHz$ et en $k f_{e} \pm f_{0}$ : $8 \pm 1$ , $16 \pm 1$ , $24 \pm 1 kHz$ . C'est la structure du spectre d'un signal échantillonné : la raie $f_{0}$ et ses images autour de chaque multiple de $f_{e}$ . Elles ne sont pas dans le signal voulu, une sinusoïde à $1 kHz$ ; elles décrivent les marches de l'escalier, qui changent brusquement de valeur toutes les $125 μ s$ . Le filtre de reconstruction doit les supprimer.

3) Le filtre de reconstruction. Le rapport image sur fondamental, après filtrage, vaut $r = \frac{1}{7} \frac{∣ H ( 7 kHz )∣}{∣ H ( 1 kHz )∣}$ . Pour un $R C$ :

$f_{c} = 1 kHz$ : $r = \frac{1}{7} \frac{1 + 1}{1 + 49} = \frac{1}{7} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{35} = 2, 9 %$ , et le fondamental est atténué à $0, 71$ ;
$f_{c} = 2 kHz$ : $r = \frac{1}{7} \frac{1 + 0 , 25}{1 + 12 , 25} = 4, 4 %$ , fondamental à $0, 89$ .

Quand $f_{c} \to 0$ , $∣ H (7)∣ / ∣ H (1)∣ \to (f_{c} /7) / (f_{c} /1) = 1/7$ : la pente de $- 20 dB$ par décade ne divise l'image que par le rapport des fréquences. Donc $r \to 1/49 = 2, 0 %$ , et ce au prix d'un fondamental qui tend vers zéro : aucun premier ordre ne descend sous $2 %$ . Le deuxième ordre, de pente $- 40 dB$ par décade, fait beaucoup mieux : $∣ H (1)∣ = 1/ 1 + (2/3)^{4} = 0, 914$ , $∣ H (7)∣ = 1/ 1 + (14/3)^{4} = 0, 0459$ , d'où $r = \frac{1}{7} \times \frac{0 , 0459}{0 , 914} = 0, 72 %$ , avec un fondamental à $0, 91$ .

4) Le suréchantillonnage de la table. Avec $P = 32$ et $f_{e} = 32 kHz$ , la première image est en $f_{e} - f_{0} = 31 kHz$ , d'amplitude relative $1/31 = 3, 2 %$ : déjà plus faible, et surtout loin du fondamental. Un $R C$ de coupure $3 kHz$ donne $∣ H (1)∣ = 1/ 1 + 1/9 = 0, 95$ et $r = \frac{1}{31} \frac{1 + 1/9}{1 + ( 31/3 ) ^{2}} = 0, 33 %,$ mieux que le deuxième ordre avec la table de 8 codes. Écarter les images du signal relâche le filtre : un composant simple suffit quand le calcul numérique a fait le travail (32 codes au lieu de 8, quatre fois plus vite).

5) Le retard du bloqueur. Chaque marche commence à l'instant de l'échantillon et dure $T_{e}$ : en moyenne, l'escalier est en retard de $T_{e} /2$ . Pour le fondamental, ce retard est un déphasage $- 2 π f_{0} T_{e} /2 = - π / P$ : $- 22, 5^{\circ}$ pour $P = 8$ , $- 5, 6^{\circ}$ pour $P = 32$ ; avec la table de 8 codes, le fondamental restitué est décalé de $T_{e} /2 = 62, 5 μ s$ . Le suréchantillonnage réduit aussi ce défaut. Pour un signal audio, un retard pur est sans importance ; pour une boucle de régulation, il compte.

6) Cas limite. Avec $P = 2$ , la table vaut $128 + 127 sin 0 = 128$ et $128 + 127 sin π = 128$ : deux codes identiques, rien ne sort que la valeur moyenne. La sinusoïde est à $f_{0} = f_{e} /2$ , exactement la fréquence de Nyquist : ses deux échantillons par période tombent aux passages par zéro. Une autre phase de départ ( $cos$ au lieu de $sin$ ) donnerait $255$ et $1$ , un créneau : à $f_{e} = 2 f_{0}$ , les échantillons ne fixent ni l'amplitude ni la forme. Avec $P = 4$ ( $f_{e} = 4 kHz$ ), les images sont en $3$ et $5 kHz$ , d'amplitudes $1/3$ et $1/5$ ; même avec le $R C$ à $1 kHz$ , $r = \frac{1}{3} 2/10 = 15 %$ : la sortie est une sinusoïde très imparfaite.

Ce que l'exercice installe. La sortie d'un CNA contient le signal et ses images en $k f_{e} \pm f_{0}$ ; le filtre de reconstruction se dimensionne sur l'écart entre $f_{0}$ et la première image $f_{e} - f_{0}$ , en comparant les pentes ( $- 20 n dB$ par décade). Augmenter $f_{e}$ éloigne les images et relâche le filtre ; le bloqueur retarde le signal de $T_{e} /2$ .

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