Parallélogramme — exercice corrigé de Vision 3D (école d'ingénieur) (chapitre 1)

Parallélogramme

Vecteurs de ℝⁿ · niveau 2

Énoncé

Soient $A (1, 1)$ , $B (5, 2)$ et $C (3, 10)$ .

Déterminer le point $D$ tel que $A B C D$ soit un parallélogramme.
Ce parallélogramme est-il un rectangle ? un losange ?
Montrer qu'un parallélogramme $A B C D$ est un rectangle si et seulement si ses diagonales ont la même longueur. (On pourra calculer $∥ u + v ∥^{2} - ∥ u - v ∥^{2}$ avec $u = A B$ et $v = A D$ .)

$A B C D$ est un parallélogramme si et seulement si $A B = D C$ , soit $b - a = c - d$ : $d = a + c - b = (1 + 3 - 5, 1 + 10 - 2) = (- 1, 9)$ .
$A B = (4, 1)$ , $A D = (- 2, 8)$ : $A B \cdot A D = - 8 + 8 = 0$ , c'est un rectangle ; $A B = 17$ et $A D = 68 = 217$ , ce n'est pas un losange (donc pas un carré).
Les diagonales sont $A C = u + v$ et $D B = u - v$ . D'après la propriété 1.4, $∥ u + v ∥^{2} - ∥ u - v ∥^{2} = 4 u \cdot v$ . Les diagonales ont donc la même longueur si et seulement si $u \cdot v = 0$ , c'est-à-dire si l'angle en $A$ est droit : le parallélogramme est alors un rectangle (ses quatre angles sont droits, ses côtés étant deux à deux parallèles).