Produit vectoriel et coplanarité

Vecteurs de ℝⁿ · niveau 2

Énoncé

Soient $u = (1, 0, 2)$ , $v = (- 1, 1, 1)$ et $w = (1, 2, 8)$ .

Calculer $u \land v$ et vérifier qu'il est orthogonal à $u$ et à $v$ .
Les vecteurs $u$ , $v$ , $w$ sont-ils coplanaires ? Si oui, écrire $w$ comme combinaison linéaire de $u$ et $v$ .
Calculer l'aire du parallélogramme construit sur $u$ et $v$ .

$u \land v = (0 \cdot 1 - 2 \cdot 1, 2 \cdot (- 1) - 1 \cdot 1, 1 \cdot 1 - 0 \cdot (- 1)) = (- 2, - 3, 1)$ . Contrôle : $(- 2, - 3, 1) \cdot (1, 0, 2) = - 2 + 2 = 0$ et $(- 2, - 3, 1) \cdot (- 1, 1, 1) = 2 - 3 + 1 = 0$ .
$(u \land v) \cdot w = - 2 - 6 + 8 = 0$ : coplanaires. On cherche $w = α u + β v$ : $(α - β, β, 2 α + β) = (1, 2, 8)$ donne $β = 2$ , $α = 3$ , et la troisième coordonnée vaut bien $6 + 2 = 8$ . Donc $w = 3 u + 2 v$ .
L'aire vaut $∥ u \land v ∥ = 4 + 9 + 1 = 14 \approx 3, 74$ .

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