Tolérances — exercice corrigé de Vision 3D (école d'ingénieur) (chapitre 1)

Tolérances

Vecteurs de ℝⁿ · niveau 2

Énoncé

On prend $ϵ_{rel} = 1 0^{- 9}$ et $ϵ_{abs} = 1 0^{- 5}$ .

Les réels $a = 1 0^{8}$ et $b = 1 0^{8} + 0, 05$ sont-ils proches ? Et $a = 1 0^{- 7}$ et $b = 0$ ?
On teste l'orthogonalité de $u = (1 0^{- 3}, 2 \cdot 1 0^{- 3})$ et $v = (2 \cdot 1 0^{- 3}, 1 0^{- 3})$ en comparant $u \cdot v$ à $0$ . Que répond le test ? Ces vecteurs sont-ils orthogonaux ? Proposer un meilleur test.

$∣ a - b ∣ = 0, 05$ et $ϵ_{rel} max (∣ a ∣, ∣ b ∣) \approx 0, 1$ : $0, 05 \leq max (0, 1; 1 0^{- 5})$ , les deux réels sont proches (ils diffèrent de cinq dix-milliardièmes en relatif). Pour $1 0^{- 7}$ et $0$ : $∣ a - b ∣ = 1 0^{- 7} \leq max (1 0^{- 16}; 1 0^{- 5}) = 1 0^{- 5}$ , proches aussi — c'est la tolérance absolue qui joue.
$u \cdot v = 2 \cdot 1 0^{- 6} + 2 \cdot 1 0^{- 6} = 4 \cdot 1 0^{- 6}$ , inférieur à $ϵ_{abs}$ : le test répond « orthogonaux ». C'est faux : $cos θ = \frac{4 \cdot 1 0 ^{- 6}}{5 \cdot 1 0 ^{- 6}} = 0, 8$ , l'angle vaut environ $3 7^{\circ}$ . Le test se laisse tromper par la petite taille des vecteurs. Un meilleur test compare le cosinus à $0$ , ou, ce qui revient au même, normalise d'abord les deux vecteurs : il ne dépend plus de l'échelle.