Un triangle rectangle ?

Vecteurs de ℝⁿ · niveau 2

Énoncé

Soient $A (1, 2)$ , $B (4, 3)$ et $C (3, 6)$ .

Calculer les longueurs des trois côtés du triangle $A B C$ .
En quel sommet le triangle est-il rectangle ? Le vérifier de deux façons : par un produit scalaire, puis par le théorème de Pythagore.

$A B = (3, 1)$ , $A C = (2, 4)$ , $B C = (- 1, 3)$ ; $A B = 10$ , $A C = 20 = 25$ , $B C = 10$ .
On calcule le produit scalaire en chaque sommet : en $A$ , $A B \cdot A C = 6 + 4 = 10$ ; en $B$ , $B A \cdot B C = (- 3, - 1) \cdot (- 1, 3) = 3 - 3 = 0$ ; en $C$ , $C A \cdot C B = (- 2, - 4) \cdot (1, - 3) = - 2 + 12 = 10$ . Le triangle est rectangle en $B$ (et isocèle, puisque $B A = B C$ ). Pythagore le confirme : le plus grand côté est $A C$ , et $A B^{2} + B C^{2} = 10 + 10 = 20 = A C^{2}$ .

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