Angles d'Euler et spirale

Applications linéaires et matrices · niveau 2

Énoncé

Calculer les images de $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ par $R = R_{z} (\frac{π}{2}) R_{y} (\frac{π}{2}) R_{x} (\frac{π}{2})$ , puis écrire $R$ . Quelle rotation reconnaît-on ?
Pour la spirale de ce chapitre, avec $r_{0} = 1$ , $r_{1} = 3$ , $n = 2$ et $N = 8$ , calculer $p_{1}$ , $p_{2}$ et $p_{8}$ . Vérifier que la distance de $p_{k}$ à l'origine vaut $ρ_{k}$ .

$R_{x} (\frac{π}{2})$ laisse $e_{1}$ fixe, $R_{y} (\frac{π}{2})$ l'envoie sur $- e_{3}$ , et $R_{z} (\frac{π}{2})$ laisse $- e_{3}$ fixe : $R e_{1} = - e_{3}$ . De même, $e_{2} \mapsto e_{3} \mapsto e_{1} \mapsto e_{2}$ , donc $R e_{2} = e_{2}$ , et $e_{3} \mapsto - e_{2} \mapsto - e_{2} \mapsto e_{1}$ , donc $R e_{3} = e_{1}$ . Ainsi

$R = 00 - 1 010100 = R_{y} (\frac{π}{2}) .$

Ici $φ_{k} = \frac{k π}{2}$ et $ρ_{k} = 1 + \frac{k}{4}$ , et $R_{φ} (0, 1) = (- sin φ, cos φ)$ . Donc $p_{1} = (- 1, 25; 0)$ , $p_{2} = (0; - 1, 5)$ , $p_{8} = (0; 3)$ . Comme $R_{φ_{k}} p_{0}$ est de norme $r_{0} = 1$ , le point $p_{k}$ est de norme $ρ_{k}$ .

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