Images par des rotations — exercice corrigé de Vision 3D (école d'ingénieur) (chapitre 2)

Images par des rotations

Applications linéaires et matrices · niveau 2

Énoncé

Écrire la matrice de la rotation plane d'angle $\frac{π}{3}$ et calculer l'image de $u = (2, 0)$ , puis celle de $v = (1, 1)$ .
Vérifier que $∥ R_{θ} u ∥ = ∥ u ∥$ pour tout $u \in R^{2}$ et tout $θ$ .
Calculer l'image de $w = (1, 2, 3)$ par $R_{x} (\frac{π}{2})$ et par $R_{y} (\frac{π}{2})$ .

Corrigé

$R_{π /3} = (\frac{1}{2} \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \frac{1}{2})$ ; $R_{π /3} u = (1, 3)$ , point du cercle de rayon $2$ d'angle $\frac{π}{3}$ ; $R_{π /3} v = (\frac{1 - 3}{2}, \frac{1 + 3}{2}) \approx (- 0, 366; 1, 366)$ .
$∥ R_{θ} u ∥^{2} = (x cos θ - y sin θ)^{2} + (x sin θ + y cos θ)^{2} = x^{2} (cos^{2} θ + sin^{2} θ) + y^{2} (sin^{2} θ + cos^{2} θ) = x^{2} + y^{2}$ , les doubles produits $\mp 2 x y cos θ sin θ$ s'éliminant. Une rotation conserve les longueurs.
On a

$R_{x} (\frac{π}{2}) = 100001 0 - 1 0, R_{y} (\frac{π}{2}) = 00 - 1 010100,$

d'où $R_{x} (\frac{π}{2}) w = (1, - 3, 2)$ et $R_{y} (\frac{π}{2}) w = (3, 2, - 1)$ . Dans les deux cas la coordonnée selon l'axe de rotation est inchangée et la norme vaut $14$ .