Vision 3D (école d'ingénieur) · Chapitre 2 · Application directe du cours

Linéaire ou non ?

Applications linéaires et matrices · niveau 2

Énoncé

Les applications suivantes sont-elles linéaires ? Pour celles qui le sont, écrire leur matrice.

$f_{1} (x, y) = (3 x, x - y), f_{2} (x, y) = (x + y, 2), f_{3} (x, y, z) = (x - z, 0, 2 y), f_{4} (x, y) = (x^{2}, y) .$

Corrigé

$f_{1}$ est linéaire ; $f_{1} (e_{1}) = (3, 1)$ , $f_{1} (e_{2}) = (0, - 1)$ , d'où $M_{f_{1}} = (31 0 - 1)$ . $f_{2}$ ne l'est pas : $f_{2} (0, 0) = (0, 2) \neq = 0$ . $f_{3}$ est linéaire : $f_{3} (e_{1}) = (1, 0, 0)$ , $f_{3} (e_{2}) = (0, 0, 2)$ , $f_{3} (e_{3}) = (- 1, 0, 0)$ , d'où

$M_{f_{3}} = 100002 - 1 00 .$

$f_{4}$ ne l'est pas, bien que $f_{4} (0, 0) = (0, 0)$ : $f_{4} (2, 0) = (4, 0)$ alors que $2 f_{4} (1, 0) = (2, 0)$ .

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