Réflexion par rapport à une droite — exercice corrigé de Vision 3D (école d'ingénieur) (chapitre 2)

Réflexion par rapport à une droite

Applications linéaires et matrices · niveau 2

Énoncé

Soit $Δ_{φ}$ la droite du plan passant par $O$ et faisant l'angle $φ$ avec l'axe $O x$ , et $S_{φ}$ la réflexion par rapport à $Δ_{φ}$ .

Écrire la matrice de la réflexion par rapport à la droite $y = x$ ( $φ = \frac{π}{4}$ ) en calculant les images de $e_{1}$ et $e_{2}$ .
Justifier que $S_{φ} = R_{φ} S_{O x} R_{- φ}$ , puis en déduire

$S_{φ} = (cos 2 φ sin 2 φ sin 2 φ - cos 2 φ) .$

Vérifier la formule pour $φ = 0$ et $φ = \frac{π}{4}$ , et calculer $S_{φ} S_{φ}$ .

La réflexion par rapport à $y = x$ échange les deux coordonnées : $e_{1} \mapsto e_{2}$ , $e_{2} \mapsto e_{1}$ , d'où $(0110)$ .
$R_{- φ}$ amène la droite $Δ_{φ}$ sur l'axe $O x$ ; on y effectue la réflexion $S_{O x}$ ; $R_{φ}$ ramène l'axe sur $Δ_{φ}$ . Le produit (de droite à gauche) vaut, avec $c = cos φ$ , $s = sin φ$ :

$(c s - s c) (10 0 - 1) (c - s s c) = (c s s - c) (c - s s c) = (c^{2} - s^{2} 2 cs 2 cs s^{2} - c^{2}),$

soit la formule annoncée, puisque $c^{2} - s^{2} = cos 2 φ$ et $2 cs = sin 2 φ$ .

$φ = 0$ donne $(10 0 - 1) = S_{O x}$ ; $φ = \frac{π}{4}$ donne $(0110)$ , comme en 1. Enfin $S_{φ} S_{φ} = (cos^{2} 2 φ + sin^{2} 2 φ 0 0 sin^{2} 2 φ + cos^{2} 2 φ) = I_{2}$ : refléter deux fois ramène au point de départ.