Rotations de l'espace et ordre — exercice corrigé de Vision 3D (école d'ingénieur) (chapitre 2)

Rotations de l'espace et ordre

Applications linéaires et matrices · niveau 2

Énoncé

Calculer les images de $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ par $R_{x} (\frac{π}{2})$ et par $R_{z} (\frac{π}{2})$ .
En déduire les produits $R_{z} (\frac{π}{2}) R_{x} (\frac{π}{2})$ et $R_{x} (\frac{π}{2}) R_{z} (\frac{π}{2})$ . Sont-ils égaux ?
Que vaut $R_{x} (α) R_{x} (β)$ ? Le justifier sans calcul.

$R_{x} (\frac{π}{2})$ : $e_{1} \mapsto e_{1}$ , $e_{2} \mapsto e_{3}$ , $e_{3} \mapsto - e_{2}$ . $R_{z} (\frac{π}{2})$ : $e_{1} \mapsto e_{2}$ , $e_{2} \mapsto - e_{1}$ , $e_{3} \mapsto e_{3}$ .
On compose sur la base. $R_{z} (\frac{π}{2}) R_{x} (\frac{π}{2})$ (d'abord $R_{x}$ ) : $e_{1} \mapsto e_{1} \mapsto e_{2}$ , $e_{2} \mapsto e_{3} \mapsto e_{3}$ , $e_{3} \mapsto - e_{2} \mapsto e_{1}$ . $R_{x} (\frac{π}{2}) R_{z} (\frac{π}{2})$ (d'abord $R_{z}$ ) : $e_{1} \mapsto e_{2} \mapsto e_{3}$ , $e_{2} \mapsto - e_{1} \mapsto - e_{1}$ , $e_{3} \mapsto e_{3} \mapsto - e_{2}$ . D'où

$R_{z} (\frac{π}{2}) R_{x} (\frac{π}{2}) = 010001100, R_{x} (\frac{π}{2}) R_{z} (\frac{π}{2}) = 001 - 1 00 0 - 1 0 :$

les deux produits diffèrent.

Deux rotations autour du même axe se composent comme des rotations planes du plan orthogonal à l'axe, l'axe restant fixe : $R_{x} (α) R_{x} (β) = R_{x} (α + β)$ (théorème 2.10).