Deux orbites

Coordonnées homogènes et transformations affines · niveau 2

Énoncé

On reprend le modèle de la section 3.5, avec $r_{T} = 3$ et $r_{L} = 1$ .

Pour $θ_{T} = θ_{L} = \frac{π}{2}$ , où sont les centres de la Terre et de la Lune ?
Montrer que la distance de la Terre à la Lune vaut $r_{L}$ quels que soient les angles.
On place $T_{(r_{L}, 0, 0)}$ tout à gauche du produit. Que vaut alors le vecteur qui va de la Terre à la Lune ? Conclure.

Terre : $(3 cos \frac{π}{2}, 3 sin \frac{π}{2}, 0) = (0, 3, 0)$ . Lune : $(3 cos \frac{π}{2} + cos π, 3 sin \frac{π}{2} + sin π, 0) = (- 1, 3, 0)$ .
Le vecteur qui va de la Terre à la Lune est $r_{L} (cos (θ_{T} + θ_{L}), sin (θ_{T} + θ_{L}), 0)$ , de norme $r_{L}$ puisque $cos^{2} + sin^{2} = 1$ .
Terre : $(r_{T} cos θ_{T}, r_{T} sin θ_{T}, 0)$ . Lune : $(r_{L} + r_{T} cos θ_{T}, r_{T} sin θ_{T}, 0)$ . Le vecteur vaut $(r_{L}, 0, 0)$ à tout instant : la Lune suit la Terre sans tourner autour d'elle. On ne réordonne pas les facteurs d'un produit.

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