L'échelle avant ou après la rotation

Coordonnées homogènes et transformations affines · niveau 2

Énoncé

Soient $S = diag (2, 1)$ et $R_{θ}$ la rotation du plan d'angle $θ$ .

Calculer $R_{θ} S e_{1}$ , $R_{θ} S e_{2}$ , $S R_{θ} e_{1}$ et $S R_{θ} e_{2}$ .
Montrer que $R_{θ} S$ conserve l'angle droit entre $e_{1}$ et $e_{2}$ .
Montrer que $S R_{θ}$ ne le conserve pas pour $θ = \frac{π}{4}$ . Quelle matrice faut-il donc placer à droite pour faire tourner un objet étiré sans le déformer ?

$R_{θ} S e_{1} = 2 (cos θ, sin θ)$ et $R_{θ} S e_{2} = (- sin θ, cos θ)$ ; $S R_{θ} e_{1} = (2 cos θ, sin θ)$ et $S R_{θ} e_{2} = (- 2 sin θ, cos θ)$ .
$2 (cos θ, sin θ) \cdot (- sin θ, cos θ) = 0$ : les images restent orthogonales, et l'objet étiré tourne sans se déformer.
$(2 cos θ, sin θ) \cdot (- 2 sin θ, cos θ) = - 3 sin θ cos θ$ , qui vaut $- \frac{3}{2} \neq = 0$ pour $θ = \frac{π}{4}$ : l'angle droit est perdu. Il faut placer l'échelle à droite, $R S$ : elle agit en premier, selon les axes de l'objet.

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