Matrices homogènes

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$$T=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 1& -3\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),\hat{R}=\left(\begin{array}{cccc}0& -1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$$

• Tourner d'abord : la matrice est $T\hat{R}$ (la rotation à droite),

$$T\hat{R}=\left(\begin{array}{cccc}0& -1& 0& 1\\ 1& 0& 0& 2\\ 0& 0& 1& -3\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$$

c'est-à-dire $\widehat{(R,a)}$ avec $a=(1,2,-3)$ ; le point $(1,0,0)$ tourne en $(0,1,0)$, puis va en $(1,3,-3)$.

• Translater d'abord : $\hat{R}T=\widehat{(R,Ra)}$ avec $Ra=(-2,1,-3)$,

$$\hat{R}T=\left(\begin{array}{cccc}0& -1& 0& -2\\ 1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& -3\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right);$$

$(1,0,0)$ va en $(2,2,-3)$, puis tourne en $(-2,2,-3)$. Les deux résultats diffèrent : la rotation a fait tourner le vecteur de translation.