Tourner un cube sur lui-même

Coordonnées homogènes et transformations affines · niveau 2

Énoncé

Un cube de côté $2$ a pour centre $C = (5, 0, 0)$ .

On lui applique la rotation $R_{z} (\frac{π}{2})$ de centre $O$ . Où se trouve son centre après la rotation ?
Écrire la matrice homogène qui le fait tourner d'un quart de tour autour de l'axe vertical passant par $C$ , et vérifier qu'elle fixe $C$ .
Où va le sommet $(6, 1, 1)$ ?

$R_{z} (\frac{π}{2}) (5, 0, 0) = (0, 5, 0)$ : le cube a tourné autour de l'axe $O z$ , comme un manège, et son centre s'est déplacé.
La matrice est $T_{c} R_{z} (\frac{π}{2}) T_{- c}$ , soit $u \mapsto c + R (u - c)$ , avec $c = (5, 0, 0)$ :

$T_{c} R T_{- c} = (R, c - R c) = 0100 - 1 000 0010 5 - 5 01,$

car $c - R c = (5, 0, 0) - (0, 5, 0) = (5, - 5, 0)$ . Elle fixe $C$ : $(0 \cdot 5 + 5, 5 - 5, 0) = (5, 0, 0)$ .

$(6, 1, 1)$ : $u - c = (1, 1, 1)$ , $R (u - c) = (- 1, 1, 1)$ , d'où $(4, 1, 1)$ . Le sommet a tourné d'un quart de tour autour de l'axe passant par $C$ ; sa distance à $C$ , $3$ , est conservée.

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