Les trois vues d'un pavé — exercice corrigé de Vision 3D (école d'ingénieur) (chapitre 4)

Les trois vues d'un pavé

Projections · niveau 2

Énoncé

Un pavé centré en $O$ a pour sommets les huit points $(\pm 2, \pm 1, \pm 2, 5)$ .

Écrire la matrice homogène $V_{y z}$ de la vue de côté, qui dessine $(y, z)$ .
Dessiner (ou décrire) les trois vues : quelle figure obtient-on sur chacune, et de quelles dimensions ?
Vérifier que $V_{x z}^{2} \neq = V_{x z}$ (exemple 4.2).
On veut afficher la vue de dessus dans le quart supérieur gauche d'une fenêtre $[- 6, 6]^{2}$ , centrée en $(- 3, 3)$ . Écrire la matrice complète.

Corrigé

On veut $(x, y, z, 1) \mapsto (y, z, 0, 1)$ : $e_{1} \mapsto 0$ , $e_{2} \mapsto e_{1}$ , $e_{3} \mapsto e_{2}$ , $e_{4} \mapsto e_{4}$ , d'où

$V_{y z} = 0000100001000001 .$

Vue de face : rectangle $[- 2, 2] \times [- 1, 1]$ , de $4$ sur $2$ . Vue de dessus, $(x, z)$ : rectangle $[- 2, 2] \times [- 2, 5; 2, 5]$ , de $4$ sur $5$ . Vue de côté, $(y, z)$ : rectangle $[- 1, 1] \times [- 2, 5; 2, 5]$ , de $2$ sur $5$ . Sur chaque vue, les huit sommets se superposent deux par deux : chaque vue ne montre que quatre points.
$V_{x z}$ envoie $e_{3}$ sur $e_{2}$ , puis $e_{2}$ sur $0$ : $V_{x z}^{2} e_{3} = 0$ , alors que $V_{x z} e_{3} = e_{2}$ . Donc $V_{x z}^{2} \neq = V_{x z}$ .
On projette, puis on translate de $e = (- 3, 3, 0)$ :

$T_{e} V_{x z} = 100000000100 - 3 301 .$

Le rectangle de $4$ sur $5$ , centré en $(- 3, 3)$ , occupe $[- 5, - 1] \times [0, 5; 5, 5]$ : il tient dans le quart supérieur gauche $[- 6, 0] \times [0, 6]$ .