Vision 3D (école d'ingénieur) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Projection orthogonale sur un plan quelconque

Projections · niveau 2

Énoncé

Soit $n$ un vecteur unitaire de $R^{3}$ et $Π$ le plan passant par $O$ de vecteur normal $n$ . On pose $p (u) = u - (u \cdot n) n$ .

Montrer que $p (u) \in Π$ , que $u - p (u)$ est orthogonal à $Π$ , et que $p \circ p = p$ .
Retrouver $P_{x y}$ avec $n = (0, 0, 1)$ .
Écrire la matrice de $p$ pour $n = \frac{1}{3} (1, 1, 1)$ et projeter le point $(3, 0, 0)$ .

$p (u) \cdot n = u \cdot n - (u \cdot n) (n \cdot n) = 0$ car $∥ n ∥ = 1$ : $p (u) \in Π$ . $u - p (u) = (u \cdot n) n$ est colinéaire à $n$ , donc orthogonal à $Π$ . Enfin, puisque $p (u) \cdot n = 0$ , $p (p (u)) = p (u) - 0 \cdot n = p (u)$ .
Avec $n = (0, 0, 1)$ : $p (x, y, z) = (x, y, z) - z (0, 0, 1) = (x, y, 0)$ , c'est $P_{x y}$ .
$(u \cdot n) n = \frac{x + y + z}{3} (1, 1, 1)$ , d'où

$P = I_{3} - \frac{1}{3} 111111111 = \frac{1}{3} 2 - 1 - 1 - 1 2 - 1 - 1 - 1 2, P 300 = 2 - 1 - 1 .$

Contrôle : $2 - 1 - 1 = 0$ , le projeté est bien dans le plan $x + y + z = 0$ .

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