Projections orthogonales

Projections · niveau 2

Énoncé

Vérifier que $P_{x y}^{2} = P_{x y}$ et calculer la projection du point $(3, 5, 7)$ sur $O x y$ , puis sur $O x z$ .
La matrice $(10 0 - 1)$ est-elle une projection ? Et $(1010)$ ? Interpréter géométriquement la seconde.

$P_{x y}^{2} = diag (1^{2}, 1^{2}, 0^{2}) = P_{x y}$ . Le point $(3, 5, 7)$ se projette en $(3, 5, 0)$ sur $O x y$ et en $(3, 0, 7)$ sur $O x z$ .
$(10 0 - 1)^{2} = I_{2} \neq =$ la matrice : ce n'est pas une projection, mais la réflexion $S_{O x}$ . En revanche $(1010)^{2} = (1010)$ : c'est une projection. Elle envoie $(x, y)$ sur $(x + y, 0)$ : elle projette sur l'axe $O x$ , mais parallèlement à la droite $y = - x$ (les points $(t, - t)$ vont tous en $0$ ). C'est une projection oblique : $u - p (u) = (- y, y)$ n'est pas orthogonal à l'axe $O x$ .

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