Un cube en perspective — exercice corrigé de Vision 3D (école d'ingénieur) (chapitre 4)

Un cube en perspective

Projections · niveau 2

Énoncé

Le cube de sommets $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$ est translaté de $12$ le long de $O z$ , puis projeté en perspective avec $d = 8$ .

Pourquoi faut-il le translater ? Que se passerait-il sans translation ?
Calculer les images des sommets de la face avant (cote $z = 11$ après translation) et de la face arrière (cote $13$ ). Décrire l'image.
Les quatre arêtes parallèles à $O z$ ont-elles un point de fuite ? Lequel ?

Sans translation, les sommets ont des cotes $\pm 1$ : ceux de cote $- 1$ sont derrière l'œil (image renversée, absurde), et tous sont en deçà de l'écran $z = 8$ . Translaté de $12$ , le cube occupe $11 \leq z \leq 13$ , au-delà de l'écran.
Face avant ( $z = 11$ ) : les quatre points $(\pm \frac{8}{11}, \pm \frac{8}{11})$ , avec $\frac{8}{11} \approx 0, 727$ . Face arrière ( $z = 13$ ) : les quatre points $(\pm \frac{8}{13}, \pm \frac{8}{13})$ , avec $\frac{8}{13} \approx 0, 615$ . L'image est formée de deux carrés concentriques, le plus grand étant la face la plus proche, reliés par quatre segments : on « voit » le cube de face, par l'avant, en profondeur.
Ces arêtes ont la direction $u = (0, 0, 1)$ : leur point de fuite est $(\frac{8 \cdot 0}{1}, \frac{8 \cdot 0}{1}) = (0, 0)$ , le centre de l'écran. Les quatre segments qui relient les deux carrés, prolongés, y concourent.