Avancement et bilans de matière

Cours complet · chimie (première), chapitre 4 · première, spécialité physique-chimie

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Combien de produit peut-on espérer ? Quel réactif s'épuisera le premier ? Restera-t-il quelque chose à la fin ? La notion d'avancement répond à ces trois questions d'un coup : une seule variable $x$ (en mol) suit toutes les quantités de matière au fil de la transformation. Le tableau d'avancement qui l'organise est l'outil quantitatif central de l'année — des titrages (chapitre 5) au rendement des synthèses (chapitre 8).

4.1 L'avancement d'une réaction

Définition 4.1Avancement

Pour une transformation modélisée par l'équation $a A + b B ⟶ c C + d D$ , l'avancement $x$ (en mol) mesure « combien de fois l'équation s'est produite ». Quand l'avancement vaut $x$ :

$n_{A} = n_{0} (A) - a x, n_{B} = n_{0} (B) - b x, n_{C} = n_{0} (C) + c x, n_{D} = n_{0} (D) + d x .$

Les quantités de réactifs décroissent, celles des produits croissent, toutes linéairement en $x$ , au rythme de leurs coefficients stœchiométriques.

iRemarque

L'avancement démarre à $x = 0$ (état initial) et croît jusqu'à l'arrêt de la transformation (état final, $x = x_{f}$ ). Il est commun à toutes les espèces : c'est sa force — quatre quantités suivies par une seule variable.

4.2 Le tableau d'avancement

Méthode : Construire un tableau d'avancement

Écrire l'équation ajustée de la réaction ;
convertir toutes les données en quantités de matière initiales (chapitre 1) ;
remplir les trois lignes : état initial ( $x = 0$ ), état en cours ( $x$ ), état final ( $x_{m a x}$ si la transformation est totale) ;
déterminer $x_{m a x}$ : pour chaque réactif, résoudre l'équation du premier degré $n_{0} - (coeff) x = 0$ ; $x_{m a x}$ est la plus petite des solutions, et le réactif correspondant est le réactif limitant.

Exemple 4.2La synthèse de l'ammoniac

On mélange $n_{0} (N X_{2}) = 2, 0$ mol et $n_{0} (H X_{2}) = 4, 5$ mol :

$E ˊ tat initial en cours final N X_{2} + 3 H X_{2} ⟶ 2 NH X_{3} x 0 x x_{m a x} = 1, 5 n (N X_{2}) 2, 0 2, 0 - x 0, 5 n (H X_{2}) 4, 5 4, 5 - 3 x 0 n (NH X_{3}) 0 2 x 3, 0$

Candidats : $2, 0 - x = 0 \Rightarrow x = 2, 0$ ; $4, 5 - 3 x = 0 \Rightarrow x = 1, 5$ . Le plus petit gagne : $x_{m a x} = 1, 5$ mol, le dihydrogène est limitant. État final : $0, 5$ mol de $N X_{2}$ en excès, $3, 0$ mol d'ammoniac.

Les quantités de matière sont des fonctions affines de l'avancement (capacité mathématique : équations du premier degré). La transformation s'arrête quand la première droite décroissante touche zéro : ici celle de $H X_{2}$ , le réactif limitant.

4.3 Mélanges stœchiométriques

Définition 4.3Mélange stœchiométrique

Un mélange initial est stœchiométrique lorsque les réactifs sont introduits dans les proportions de l'équation :

$\frac{n _{0} ( A )}{a} = \frac{n _{0} ( B )}{b} .$

Ils s'épuisent alors exactement ensemble : à l'état final, il ne reste aucun réactif — il n'y a pas de réactif limitant (ou : tous le sont).

Exemple 4.4

Pour $N X_{2} + 3 H X_{2} \to 2 NH X_{3}$ avec $2, 0$ mol de $N X_{2}$ , le mélange stœchiométrique exige $n_{0} (H X_{2}) = 3 \times 2, 0 = 6, 0$ mol. (Avec nos $4, 5$ mol, on était en défaut de $H X_{2}$ — d'où son rôle limitant.) Les mélanges stœchiométriques maximisent la production sans gaspiller de réactif : c'est l'idéal industriel, et la condition qui définira l'équivalence d'un titrage.

4.4 Transformation totale ou non totale

Définition 4.5Avancement final, avancement maximal

L'avancement maximal $x_{m a x}$ est la valeur qu'atteindrait $x$ si la transformation consommait tout le réactif limitant : c'est une prédiction du tableau.
L'avancement final $x_{f}$ est la valeur réellement atteinte, déduite de la description expérimentale de l'état final.

La transformation est totale si $x_{f} = x_{m a x}$ , non totale si $x_{f} < x_{m a x}$ (il reste du réactif limitant à l'état final).

Exemple 4.6Une transformation non totale

On dissout $n_{0} = 1, 0 \times 1 0^{- 2}$ mol d'acide éthanoïque dans l'eau ; l'équation $CH X_{3} COOH + H X_{2} O CH X_{3} COO X^{-} + H X_{3} O X^{+}$ prédit $x_{m a x} = 1, 0 \times 1 0^{- 2}$ mol. Or la mesure (conductimétrie ou pH) donne $n (H X_{3} O X^{+})_{final} = 4, 1 \times 1 0^{- 4}$ mol, c'est-à-dire

$x_{f} = 4, 1 \times 1 0^{- 4} mol ≪ x_{m a x} :$

seules $4 %$ des molécules d'acide ont réagi — transformation non totale. (Pourquoi s'arrête-t-elle en chemin ? La notion d'équilibre chimique attendra la terminale ; en première, on constate et on quantifie.)

Méthode : Déterminer $x_{f}$ expérimentalement

Mesurer une quantité finale suffit : si l'état final contient $n_{f} (C)$ d'un produit, alors $x_{f} = \frac{n _{f} ( C ) - n _{0} ( C )}{c}$ ; on en déduit toutes les autres quantités par le tableau, puis on compare $x_{f}$ à $x_{m a x}$ .

4.5 Capacité numérique : l'état final en Python

Le calcul de $x_{m a x}$ est un min sur les réactifs — trois lignes avec les listes du livre d'informatique :


def etat_final(n0_reactifs, coeffs_reactifs, coeffs_produits):
    # Composition finale d'une transformation TOTALE
    # n0_reactifs : quantités initiales ; coeffs : de l'équation ajustée
    candidats = [n0_reactifs[i] / coeffs_reactifs[i]
                 for i in range(len(n0_reactifs))]
    x_max = min(candidats)
    limitant = candidats.index(x_max)
    restes   = [n0_reactifs[i] - coeffs_reactifs[i] * x_max
                for i in range(len(n0_reactifs))]
    produits = [c * x_max for c in coeffs_produits]
    return x_max, limitant, restes, produits

# Synthèse de l'ammoniac : N2 + 3 H2 -> 2 NH3, 2.0 et 4.5 mol
x, lim, restes, produits = etat_final([2.0, 4.5], [1, 3], [2])
print(x)         # 1.5 : avancement maximal
print(lim)       # 1   : le réactif d'indice 1 (H2) est limitant
print(restes)    # [0.5, 0.0]
print(produits)  # [3.0]