Procédés industriels continus : réacteurs ouverts

Pour un système ouvert en régime permanent, l'accumulation de matière est nulle : le débit massique total entrant est égal au débit massique total sortant,

$$\sum _{\text{entreˊes}}{D}_m^{\text{e}}=\sum _{\text{sorties}}{D}_m^{\text{s}}.$$

La masse totale se conserve ; en revanche le débit molaire d'une espèce donnée peut varier par l'effet des réactions chimiques.

En reportant $C_A^{\text{s}}=C_A^{\text{e}}(1-X_A)$ dans le bilan et avec $\tau =V/Q$ :

$$\boxed{C_A^{\text{e}}{X}_A=\tau r(C_A^{\text{s}})}$$

Cas particuliers ($r=k{C}_A^p$) :

$$\text{ordre }1:X_A=\frac{k\tau }{1+k\tau };\text{ordre }0:X_A=\frac{k\tau }{C_A^{\text{e}}}(\text{tant que }{X}_A\le 1).$$

Pour l'ordre 1, la conversion tend vers $1$ lorsque $\tau \to \infty$, mais ne l'atteint jamais.

Le bilan du RPAC donne la vitesse sans dériver : $r=(C_A^{\text{e}}-C_A^{\text{s}})/\tau$, à la composition de sortie. En faisant varier le débit, un RPAC de laboratoire mesure une loi de vitesse. La concentration d'entrée est celle après mélange de tous les courants qui alimentent le réacteur.

Pour une réaction d'ordre 1 ($r=k{C}_A$) à $Q$ constant, $C_A=C_A^{\text{e}}(1-X_A)$ et $V=Q\int \mathrm{d}{C}_A/(-r)$ donnent

$$k\tau =\ln \frac{1}{1-X_A^{\text{s}}}⟺\boxed{X_A^{\text{s}}=1-{\mathrm{e}}^{-k\tau }}$$

On retrouve la cinétique du réacteur fermé, le temps de passage $\tau$ y jouant le rôle du temps de réaction.

Pour une cinétique d'ordre positif, atteindre une même conversion demande moins de volume en écoulement piston qu'en RPAC. En effet, le RPAC opère entièrement à la faible concentration de sortie (donc à faible vitesse), tandis que le piston bénéficie des fortes concentrations le long du réacteur.

$$\text{ordre }1:\frac{V_{\text{RPAC}}}{V_{\text{piston}}}=\frac{X_A/(1-X_A)}{\ln (1/(1-X_A))}>1.$$

L'écart croît avec la conversion visée : $1,4$ pour $X_A=0,5$, $3,9$ pour $0,9$, $145$ pour $0,999$. Une cascade de $N$ RPAC identiques en série ($X=1-(1+k\tau /N{)}^{-N}$ à l'ordre

1. ou un réacteur à recyclage sont intermédiaires entre les deux modèles idéaux.

Les notions de cette section dépassent la lettre des programmes de PSI et de PC ; elles sont d'usage courant dans l'industrie et éclairent les choix de procédé.

Un fort taux de conversion n'est pas synonyme de bon procédé : si les réactions secondaires s'intensifient à forte conversion, la sélectivité chute et le rendement peut se dégrader. L'optimisation industrielle arbitre entre conversion (recyclage du réactif non transformé) et sélectivité (pureté, coût de séparation).

Pourquoi ce critère. Si la température du contenu s'écarte de $\delta T$ du point de fonctionnement, le contenu reçoit la puissance nette $({\mathcal{Q}}_{\text{prod}}^{\prime }-{\mathcal{Q}}_{\text{evac}}^{\prime })\delta T$, qui ramène la température si ${\mathcal{Q}}_{\text{evac}}^{\prime }>{\mathcal{Q}}_{\text{prod}}^{\prime }$. Pour un RPAC adiabatique, où la composition suit la température, l'argument est rigoureux ; avec échange de chaleur, la condition est nécessaire, mais pas toujours suffisante (des oscillations sont possibles, hors programme). Le point du milieu : $g={\mathcal{Q}}_{\text{prod}}-{\mathcal{Q}}_{\text{evac}}$ est positive en $T_{\text{e}}$ et négative à haute température ; avec trois racines, le signe de $g^{\prime }$ alterne ($-$, $+$, $-$), et la racine du milieu est instable.

Si le réacteur est adiabatique ($\Phi =0$), le bilan énergétique se réduit à une relation affine entre $T$ et la conversion, la droite adiabatique :

$$T=T_{\text{e}}+\Delta T_{\text{ad}}{X}_A,\Delta T_{\text{ad}}=\frac{(-{\Delta }_r{H}^{\circ })C_A^{\text{e}}}{\rho c_p}.$$

$\Delta T_{\text{ad}}$, élévation adiabatique de température, est l'échauffement d'un fluide qui convertirait tout son réactif sans rien échanger ; elle ne dépend que de l'alimentation.

Quand $T_{\text{e}}$ varie, la droite d'évacuation se translate. Les deux positions où elle est tangente à la sigmoïde délimitent une fenêtre de températures d'entrée où trois points coexistent : en réchauffant l'alimentation, le réacteur reste éteint jusqu'à la tangence basse, puis saute sur la branche haute (allumage) ; en la refroidissant, il reste allumé jusqu'à la tangence haute, puis s'effondre (extinction). L'état du réacteur dépend de son histoire : c'est une hystérésis.

Cette section dépasse la lettre des programmes de PSI et de PC ; elle relie ce chapitre à l'optimisation des équilibres étudiée dans le cours sur les équilibres.

• Débits : $F_j=C_{j}Q=w_j{D}_m/M_j$ ; en régime permanent, bilan sur $j$ : $F_j^{\text{e}}-F_j^{\text{s}}+{\mathcal{P}}_j=0$, sur un système choisi (boucle, réacteur, nœud) ; un inerte impose une purge.
• RPAC : composition uniforme = sortie ; bilan algébrique $Q(C_A^{\text{e}}-C_A^{\text{s}})=rV$ ; temps de passage $\tau =V/Q$ ; ordre 1 : $X_A=k\tau /(1+k\tau )$.
• Piston : bilan sur une tranche $\mathrm{d}{F}_A/\mathrm{d}V=-r$ ; dimensionnement $V=F_A^{\text{e}}{\int }_0^X\mathrm{d}X/r$ ; ordre 1 : $X=1-{\mathrm{e}}^{-k\tau }$.
• À conversion égale, $V_{\text{piston}}<V_{\text{RPAC}}$ (ordre positif), d'autant plus nettement que la conversion est forte.
• Bilan énergétique du RPAC : $\Phi =(-{\Delta }_r{H}^{\circ })Q{C}_A^{\text{e}}X-Q\rho c_p(T-T_{\text{e}})$ ; droite adiabatique $T=T_{\text{e}}+\Delta T_{\text{ad}}X$ ; le flux à évacuer n'est pas la chaleur de réaction.
• Points de fonctionnement : ${\mathcal{Q}}_{\text{prod}}(T)={\mathcal{Q}}_{\text{evac}}(T)$ ; 1 ou 3 ; stable si $\mathrm{d}{\mathcal{Q}}_{\text{evac}}/\mathrm{d}T>\mathrm{d}{\mathcal{Q}}_{\text{prod}}/\mathrm{d}T$ ; le point du milieu est instable ; allumage, extinction, hystérésis.
• Sécurité : puissances comparées dans chaque situation, température maximale calculée sur ce qui est accumulé, surface d'échange par unité de volume en $V^{-1/3}$.
• Compléments : rendement $\eta =S\cdot X_A$ ; exothermique renversable : compromis vitesse (haute $T$) / équilibre (basse $T$).