Suites de nombres réels

Cours complet · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 4 · prépa ECG, 1re année

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Une suite est une liste infinie de nombres, indexée par les entiers. C'est l'outil naturel pour décrire ce qui évolue par étapes : un capital qui produit des intérêts, une dette qui s'amortit, une population qui se renouvelle, un revenu qui se propage dans une économie.

Il faut distinguer dès l'abord deux questions que l'on confond souvent. La première est qualitative : la suite converge-t-elle, croît-elle, part-elle à l'infini ? La seconde est quantitative : vers quoi, et à quelle vitesse ? Savoir qu'un capital finit par doubler ne dit pas en combien d'années. Une bonne part du travail consiste à passer de la première question à la seconde, et pour cela à transformer une définition par récurrence — qui ne donne $u_{1000}$ qu'au prix de mille calculs — en une formule explicite.

Le programme est net sur deux points : tout exposé trop théorique est à exclure, et dans la section sur la convergence, aucune démonstration n'est exigible. On y admettra donc les grands théorèmes, en soignant leur énoncé et leur usage.

4.1 Généralités

Définition 4.1Suite réelle

Une suite réelle est une application de $N$ (ou d'une partie ${n \geq n_{0}}$ ) dans $R$ . L'image de $n$ est notée $u_{n}$ , et la suite elle-même $(u_{n})_{n \in N}$ ou simplement $(u_{n})$ .

Attention

u_{n}

(u_{n})

ne sont pas la même chose

$u_{n}$ est un nombre, le terme de rang $n$ ; $(u_{n})$ est la suite tout entière. « La suite $u_{n}$ est croissante » est une phrase mal formée : c'est $(u_{n})$ qui est croissante.

Une suite se donne de trois façons, et le choix n'est pas indifférent.

Définition 4.2Trois façons de définir une suite

par une formule explicite : $u_{n} = \frac{1}{n + 1}$ , où chaque terme se calcule directement ;
par une relation de récurrence : $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3$ , où chaque terme dépend des précédents ;
par restriction d'une fonction : $u_{n} = f (n)$ avec $f$ définie sur $[0, + \infty [$ .

Une formule explicite donne $u_{1000}$ immédiatement ; une relation de récurrence exige de calculer les mille termes précédents. C'est pourquoi les sections suivantes cherchent, pour chaque type de récurrence rencontré, la formule explicite correspondante — c'est là tout leur objet.

Une suite se lit d'un coup d'œil sur son nuage de points : on porte $n$ en abscisse et $u_{n}$ en ordonnée. Les deux comportements de base se distinguent alors sans calcul.

Définition 4.3Monotonie, majoration

$(u_{n})$ est croissante si $u_{n + 1} \geq u_{n}$ pour tout $n$ , décroissante si $u_{n + 1} \leq u_{n}$ , monotone si elle est l'une ou l'autre. Elle est majorée s'il existe $M$ tel que $u_{n} \leq M$ pour tout $n$ , minorée s'il existe $m$ tel que $u_{n} \geq m$ , et bornée si elle est les deux.

Pour établir une monotonie, deux méthodes selon la forme de la suite : étudier le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ , ou — si tous les termes sont strictement positifs — comparer le rapport $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ à $1$ . La seconde est faite pour les suites où les termes se multiplient, la première pour celles où ils s'ajoutent.

4.2 Suites arithmétiques et géométriques

Définition 4.4Suite arithmétique, suite géométrique

$(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ si $u_{n + 1} = u_{n} + r$ pour tout $n$ ; elle est géométrique de raison $q$ si $u_{n + 1} = q u_{n}$ .

Proposition 4.5Formes explicites

Si $(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ , alors $u_{n} = u_{0} + n r$ . Si $(u_{n})$ est géométrique de raison $q$ , alors $u_{n} = u_{0} q^{n}$ .

Démonstration

Dans le cas arithmétique, une récurrence immédiate : la formule vaut au rang $0$ , et si $u_{n} = u_{0} + n r$ alors $u_{n + 1} = u_{0} + n r + r = u_{0} + (n + 1) r$ . Même raisonnement pour le cas géométrique, avec un produit au lieu d'une somme.

La différence entre les deux est bien plus qu'une affaire de formule. Une suite arithmétique de raison $r > 0$ croît de la même quantité à chaque pas : au bout de $n$ étapes, elle a gagné $n r$ . Une suite géométrique de raison $q > 1$ est multipliée à chaque pas : au bout de $n$ étapes, elle a été multipliée par $q^{n}$ . Sur cent pas, une croissance de $1$ par étape donne $100$ ; une croissance de $1 %$ par étape multiplie par $2, 7$ . Sur mille pas, la première donne $1000$ , la seconde multiplie par plus de vingt mille. C'est toute la différence entre une progression linéaire et un intérêt composé, et l'intuition la sous-estime systématiquement.

Proposition 4.6Sommes de référence

Pour tout $n \in N$ :

$k = 0 \sum n q^{k} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q} (q \neq = 1), k = 0 \sum n (u_{0} + k r) = (n + 1) u_{0} + r \frac{n ( n + 1 )}{2} .$

Démonstration

Pour la somme géométrique, posons $S = \sum_{k = 0}^{n} q^{k}$ . Alors $q S = \sum_{k = 1}^{n + 1} q^{k}$ , donc $S - q S = q^{0} - q^{n + 1}$ , d'où $(1 - q) S = 1 - q^{n + 1}$ ; on divise par $1 - q$ , non nul. Pour la somme arithmétique, on développe et l'on reconnaît $\sum_{k = 0}^{n} k = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .

ImportantLa forme à retenir

Une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique vaut

$premier terme \times \frac{1 - q ^{nombre de termes}}{1 - q} .$

Compter les termes est l'erreur la plus fréquente : de $k = 0$ à $k = n$ , il y en a $n + 1$ .

Exemple 4.7Un placement à intérêts composés

Un capital $C_{0}$ placé au taux annuel $t$ vaut $C_{n} = C_{0} (1 + t)^{n}$ après $n$ années : la suite est géométrique de raison $1 + t$ . Avec $C_{0} = 10000$ et $t = 3 %$ , on obtient $C_{10} = 10000 \times 1, 0 3^{10} \approx 13439$ . Si l'on verse en outre $V$ chaque année, la somme des versements capitalisés vaut $V \frac{( 1 + t ) ^{n} - 1}{t}$ — une somme géométrique.

4.3 Suites arithmético-géométriques

Les deux modèles précédents sont purs : on ajoute, ou l'on multiplie. La réalité mêle presque toujours les deux — un capital produit des intérêts et subit un retrait fixe, une population croît d'un taux et reçoit un apport constant. D'où le modèle suivant, qui est le premier véritablement utile.

Définition 4.8Suite arithmético-géométrique

$(u_{n})$ est arithmético-géométrique lorsqu'il existe des réels $a$ et $b$ tels que $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ pour tout $n$ .

Une telle suite n'est ni arithmétique ni géométrique, et n'a donc aucune formule explicite connue. Toute la méthode consiste à la ramener à une suite géométrique, en la mesurant non pas depuis $0$ , mais depuis le bon point de référence.

ImportantLa méthode : se ramener au cas géométrique

Si $a \neq = 1$ , on cherche le point fixe $ℓ$ vérifiant $ℓ = a ℓ + b$ , soit $ℓ = \frac{b}{1 - a}$ . En posant $v_{n} = u_{n} - ℓ$ , il vient

$v_{n + 1} = u_{n + 1} - ℓ = a u_{n} + b - (a ℓ + b) = a (u_{n} - ℓ) = a v_{n} .$

La suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $a$ , d'où $u_{n} = ℓ + (u_{0} - ℓ) a^{n}$ . Si $a = 1$ , la suite est simplement arithmétique.

Cette convergence se lit aussi sur un dessin, sans aucune formule. On trace la droite $y = a x + b$ et la première bissectrice $y = x$ ; leur intersection est le point fixe. Partant de $u_{0}$ sur l'axe, on monte jusqu'à la droite pour lire $u_{1}$ , puis on se rabat sur la bissectrice pour reporter $u_{1}$ en abscisse, et l'on recommence. L'escalier ainsi construit converge vers le point fixe lorsque la pente $a$ est comprise entre $- 1$ et $1$ .

Le point fixe n'est pas une astuce de calcul : c'est la valeur d'équilibre du modèle, celle qui, une fois atteinte, ne bouge plus. La formule $u_{n} = ℓ + (u_{0} - ℓ) a^{n}$ se lit alors d'elle-même : l'écart à l'équilibre est multiplié par $a$ à chaque étape. Si $∣ a ∣ < 1$ , cet écart s'efface et la suite converge vers $ℓ$ quel que soit son point de départ ; si $∣ a ∣ > 1$ , il enfle et la suite s'en éloigne. Le graphique le montre mieux qu'un discours.

Exemple 4.9Un amortissement d'emprunt

On emprunte $C_{0} = 100000$ au taux mensuel $a - 1 = 0, 3 %$ et l'on rembourse $M = 900$ par mois. Le capital restant dû vérifie $C_{n + 1} = 1, 003 C_{n} - 900$ . Le point fixe est $ℓ = \frac{- 900}{1 - 1 , 003} = 300000$ , donc

$C_{n} = 300000 + (100000 - 300000) \times 1, 00 3^{n} = 300000 - 200000 \times 1, 00 3^{n} .$

Le capital s'annule lorsque $1, 00 3^{n} = 1, 5$ , soit $n = \frac{l n 1 , 5}{l n 1 , 003} \approx 135$ mois.

Le point fixe vaut ici $300000$ , une somme que l'emprunteur ne doit jamais : c'est un équilibre répulsif ( $a > 1$ ), et c'est heureux. Un capital initial supérieur à $300000$ croîtrait indéfiniment — la mensualité ne couvrirait même pas les intérêts.

4.4 Récurrences linéaires d'ordre 2

Certaines évolutions dépendent des deux étapes précédentes : une population où seuls les individus d'au moins deux périodes se reproduisent, un modèle économique où l'investissement réagit à la variation de la demande. La récurrence porte alors sur trois termes consécutifs.

◆Théorème 4.10Récurrence linéaire d'ordre 2, cas des racines réelles

Soit $(u_{n})$ vérifiant $u_{n + 2} = a u_{n + 1} + b u_{n}$ pour tout $n$ , et soit

$r^{2} = a r + b$

son équation caractéristique. On suppose que cette équation a ses racines réelles.

Si elle a deux racines distinctes $r_{1} \neq = r_{2}$ , il existe des réels $λ, μ$ tels que $u_{n} = λ r_{1}^{n} + μ r_{2}^{n}$ .
Si elle a une racine double $r$ , il existe des réels $λ, μ$ tels que $u_{n} = (λ + μ n) r^{n}$ .

Les constantes $λ$ et $μ$ se déterminent à partir de $u_{0}$ et $u_{1}$ .

D'où sort cette équation caractéristique ? On cherche s'il existe des suites géométriques $u_{n} = r^{n}$ vérifiant la relation. En reportant, il vient $r^{n + 2} = a r^{n + 1} + b r^{n}$ , soit après division par $r^{n}$ (non nul) : $r^{2} = a r + b$ . Les racines de cette équation sont donc exactement les raisons des suites géométriques solutions — et l'on admet que toute solution est combinaison de celles-là.

AttentionLe programme s'arrête aux racines réelles

Le cas d'une équation caractéristique à racines complexes n'est pas au programme de première année. Si le discriminant est négatif, la question n'est pas posée en l'état.

Exemple 4.11Suite de Fibonacci

$u_{0} = 0$ , $u_{1} = 1$ , $u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_{n}$ . L'équation caractéristique $r^{2} = r + 1$ a pour racines $φ = \frac{1 + 5}{2}$ et $ψ = \frac{1 - 5}{2}$ , distinctes et réelles. Donc $u_{n} = λ φ^{n} + μ ψ^{n}$ , et les conditions $u_{0} = 0$ , $u_{1} = 1$ donnent $λ = \frac{1}{5}$ et $μ = - \frac{1}{5}$ :

$u_{n} = \frac{φ ^{n} - ψ ^{n}}{5} .$

Ce résultat mérite qu'on s'y arrête. Les $u_{n}$ sont des entiers — $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$ — et la formule les exprime à l'aide de $5$ , qui ne l'est pas. Les irrationnels s'y annulent à chaque rang. Mieux : comme $∣ ψ ∣ \approx 0, 618 < 1$ , le terme $ψ^{n}$ tend vers $0$ , si bien que $u_{n}$ est tout simplement l'entier le plus proche de $φ^{n} / 5$ . Une racine domine, l'autre s'efface — c'est le comportement général d'une récurrence d'ordre $2$ , et il suffit de comparer les modules des deux racines pour le prévoir.

4.5 Convergence

Jusqu'ici les suites étaient calculées ; il s'agit maintenant de décrire ce qu'elles deviennent à la longue. La définition ci-dessous formalise une idée simple : à partir d'un certain moment, tous les termes sont indiscernables de la limite.

Définition 4.12Suite convergente

$(u_{n})$ converge vers $ℓ \in R$ lorsque tout intervalle ouvert contenant $ℓ$ contient les termes $u_{n}$ pour tous les indices $n$ , hormis un nombre fini d'entre eux. On note $lim_{n \to + \infty} u_{n} = ℓ$ . Une suite qui ne converge pas est dite divergente.

Le dessin dit précisément ce que la définition exige, et ce qu'elle n'exige pas. Elle demande que la bande, si étroite soit-elle, finisse par contenir tous les termes ; elle ne demande pas que la suite s'approche de $ℓ$ régulièrement, ni qu'elle reste d'un même côté. Un nombre fini de termes peut se trouver n'importe où : modifier les mille premiers termes d'une suite ne change ni sa nature ni sa limite.

Définition 4.13Limites infinies

$(u_{n})$ tend vers $+ \infty$ lorsque tout intervalle $] A, + \infty [$ contient les $u_{n}$ à partir d'un certain rang ; définition analogue pour $- \infty$ . Une telle suite est divergente.

◆Théorème 4.14Unicité de la limite

Une suite convergente a une unique limite.

◆Théorème 4.15Opérations sur les limites

Si $u_{n} \to ℓ$ et $v_{n} \to ℓ^{'}$ , alors $u_{n} + v_{n} \to ℓ + ℓ^{'}$ , $u_{n} v_{n} \to ℓ ℓ^{'}$ , et $\frac{u _{n}}{v _{n}} \to \frac{ℓ}{ℓ ^{'}}$ pourvu que $ℓ^{'} \neq = 0$ . De plus, si $u_{n} \leq v_{n}$ pour tout $n$ , alors $ℓ \leq ℓ^{'}$ .

AttentionLe passage à la limite écrase les inégalités strictes

Si $u_{n} < v_{n}$ pour tout $n$ , on ne peut conclure que $ℓ \leq ℓ^{'}$ , et non $ℓ < ℓ^{'}$ . Ainsi $\frac{1}{n + 1} > 0$ pour tout $n$ , mais la limite vaut $0$ , pas davantage.

◆Théorème 4.16Théorème d'encadrement

Si $v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n}$ à partir d'un certain rang et si $(v_{n})$ et $(w_{n})$ convergent vers la même limite $ℓ$ , alors $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ .

Exemple 4.17Encadrer pour conclure

Pour $u_{n} = \frac{s i n n}{n}$ avec $n \geq 1$ , on a $- \frac{1}{n} \leq u_{n} \leq \frac{1}{n}$ , et les deux bornes tendent vers $0$ : donc $u_{n} \to 0$ . On n'a rien eu à dire du comportement de $sin n$ , qui est pourtant chaotique.

L'encadrement est l'outil du cas où l'on ne sait pas calculer. Le théorème suivant va plus loin encore : il conclut sans qu'on connaisse la limite, ni même qu'on soit capable de l'approcher.

◆Théorème 4.18Théorème de la limite monotone

Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge. Toute suite croissante non majorée tend vers $+ \infty$ , et toute suite décroissante non minorée tend vers $- \infty$ .

ImportantCe que le théorème donne, et ce qu'il ne donne pas

Il affirme l'existence de la limite, sans en fournir la valeur. C'est souvent suffisant : on établit d'abord que la limite existe, puis on la calcule en passant à la limite dans la relation de récurrence. Sans le théorème, ce passage à la limite serait illégitime — on écrirait $ℓ = f (ℓ)$ à propos d'un $ℓ$ dont rien ne garantirait l'existence.

Définition 4.19Suites adjacentes

Deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante, et si $v_{n} - u_{n} \to 0$ .

◆Théorème 4.20Suites adjacentes

Deux suites adjacentes convergent et ont la même limite.

Deux suites adjacentes forment un étau : la croissante monte, la décroissante descend, et l'écart s'annule. La limite commune est prise en tenaille entre $u_{n}$ et $v_{n}$ à chaque rang, ce qui en donne un encadrement à tout moment — c'est exactement le principe de la dichotomie, et c'est ce qui rend ce théorème utile en calcul numérique.

◆Théorème 4.21Termes pairs et impairs

Si les suites extraites $(u_{2 n})$ et $(u_{2 n + 1})$ convergent vers une même limite $ℓ$ , alors $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ .

Attention« Même limite » est essentiel

Pour $u_{n} = (- 1)^{n}$ , les suites $(u_{2 n})$ et $(u_{2 n + 1})$ convergent — vers $1$ et vers $- 1$ . Les limites diffèrent, et $(u_{n})$ diverge.

4.6 Croissances comparées

Les théorèmes précédents décident si une suite converge. Reste la question quantitative annoncée en ouverture : quand deux suites tendent toutes deux vers l'infini, laquelle l'emporte ? La réponse tient en un seul classement, et ce classement ne souffre aucune exception.

◆Théorème 4.22Croissances comparées, résultats admis

Soient $a > 0$ , $b > 0$ et $q > 1$ . Quand $n \to + \infty$ :

$\frac{( ln n ) ^{b}}{n ^{a}} ⟶ 0, \frac{n ^{a}}{q ^{n}} ⟶ 0, et donc (ln n)^{b} ≪ n^{a} ≪ q^{n} .$

Si $∣ q ∣ < 1$ , alors $q^{n} \to 0$ ; si $q > 1$ , alors $q^{n} \to + \infty$ .

ImportantL'ordre à retenir

Le logarithme perd toujours contre les puissances, qui perdent toujours contre les exponentielles. « Toujours » veut dire : quels que soient les exposants, et si tardif que soit le rang à partir duquel cela se voit. C'est ce dernier point qui trompe — sur les cent premiers termes, $n^{100}$ écrase $1, 00 1^{n}$ ; à la longue, c'est l'inverse, et sans appel.

Python : Voir converger, et ne pas s'y fier

Représenter les premiers termes est le meilleur moyen de conjecturer un comportement — le programme y invite explicitement.


import matplotlib.pyplot as plt

u = [0.5]
for n in range(30):
    u.append(u[-1] ** 2 + 0.2)     # u_{n+1} = u_n^2 + 0.2

plt.plot(u, "o-")
plt.axhline(y=(1 - (1 - 0.8) ** 0.5) / 2,
            color="gray", linestyle="--")
plt.show()

Le graphique suggère la limite ; il ne la démontre pas. Ici, la suite converge vers la plus petite racine de $x = x^{2} + 0, 2$ — encore faut-il justifier qu'elle est croissante et majorée pour avoir le droit de passer à la limite.

4.7 L'essentiel du chapitre

Fiche de synthèse

Arithmétique $u_{n} = u_{0} + n r$ (points alignés) ; géométrique $u_{n} = u_{0} q^{n}$ (rapports constants) ; somme géométrique $\sum_{k = 0}^{n} q^{k} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ — attention au nombre de termes.
Arithmético-géométrique $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ : point fixe $ℓ = \frac{b}{1 - a}$ , puis $v_{n} = u_{n} - ℓ$ est géométrique. L'écart à l'équilibre est multiplié par $a$ à chaque pas.
Récurrence d'ordre 2 : équation caractéristique $r^{2} = a r + b$ , obtenue en cherchant les solutions géométriques $r^{n}$ ; deux racines réelles $\Rightarrow λ r_{1}^{n} + μ r_{2}^{n}$ ; racine double $\Rightarrow (λ + μ n) r^{n}$ . Racines complexes : hors programme.
Convergence : la bande, si étroite soit-elle, finit par contenir tous les termes. Unicité ; opérations ; le passage à la limite conserve $\leq$ mais pas $<$ ; encadrement.
Limite monotone : croissante et majorée $\Rightarrow$ converge. Donne l'existence, pas la valeur — et c'est elle qui légitime le passage à la limite dans $u_{n + 1} = f (u_{n})$ .
Adjacentes : un étau, donc un encadrement à chaque rang. Pairs/impairs : conclure exige que les deux limites soient égales.
Croissances comparées : $(ln n)^{b} ≪ n^{a} ≪ q^{n}$ ( $q > 1$ ), quels que soient les exposants.

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