Suites de nombres réels

Cours · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 4 · prépa ECG, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une suite qui converge vers ℓ : à partir d'un certain rang, tous ses termes restent dans la bande de largeur 2ε.

Une suite est une liste infinie de nombres, indexée par les entiers. C'est l'outil naturel pour décrire ce qui évolue par étapes : un capital qui produit des intérêts, une dette qui s'amortit, une population qui se renouvelle, un revenu qui se propage dans une économie.

Il faut distinguer dès l'abord deux questions que l'on confond souvent. La première est qualitative : la suite converge-t-elle, croît-elle, part-elle à l'infini ? La seconde est quantitative : vers quoi, et à quelle vitesse ? Savoir qu'un capital finit par doubler ne dit pas en combien d'années. Une bonne part du travail consiste à passer de la première question à la seconde, et pour cela à transformer une définition par récurrence — qui ne donne $u_{1000}$ qu'au prix de mille calculs — en une formule explicite.

Le programme est net sur deux points : tout exposé trop théorique est à exclure, et dans la section sur la convergence, aucune démonstration n'est exigible. On y admettra donc les grands théorèmes, en soignant leur énoncé et leur usage.

4.1 Généralités

Définition 4.1Suite réelle

Une suite réelle est une application de $N$ (ou d'une partie ${n \geq n_{0}}$ ) dans $R$ . L'image de $n$ est notée $u_{n}$ , et la suite elle-même $(u_{n})_{n \in N}$ ou simplement $(u_{n})$ .

Attention

u_{n}

(u_{n})

ne sont pas la même chose

$u_{n}$ est un nombre, le terme de rang $n$ ; $(u_{n})$ est la suite tout entière. « La suite $u_{n}$ est croissante » est une phrase mal formée : c'est $(u_{n})$ qui est croissante.

Une suite se donne de trois façons, et le choix n'est pas indifférent.

Définition 4.2Trois façons de définir une suite

par une formule explicite : $u_{n} = \frac{1}{n + 1}$ , où chaque terme se calcule directement ;
par une relation de récurrence : $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3$ , où chaque terme dépend des précédents ;
par restriction d'une fonction : $u_{n} = f (n)$ avec $f$ définie sur $[0, + \infty [$ .

Une formule explicite donne $u_{1000}$ immédiatement ; une relation de récurrence exige de calculer les mille termes précédents. C'est pourquoi les sections suivantes cherchent, pour chaque type de récurrence rencontré, la formule explicite correspondante — c'est là tout leur objet.

Une suite se lit d'un coup d'œil sur son nuage de points : on porte $n$ en abscisse et $u_{n}$ en ordonnée. Les deux comportements de base se distinguent alors sans calcul.

Définition 4.3Monotonie, majoration

$(u_{n})$ est croissante si $u_{n + 1} \geq u_{n}$ pour tout $n$ , décroissante si $u_{n + 1} \leq u_{n}$ , monotone si elle est l'une ou l'autre. Elle est majorée s'il existe $M$ tel que $u_{n} \leq M$ pour tout $n$ , minorée s'il existe $m$ tel que $u_{n} \geq m$ , et bornée si elle est les deux.

Pour établir une monotonie, deux méthodes selon la forme de la suite : étudier le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ , ou — si tous les termes sont strictement positifs — comparer le rapport $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ à $1$ . La seconde est faite pour les suites où les termes se multiplient, la première pour celles où ils s'ajoutent.

4.2 Suites arithmétiques et géométriques

Définition 4.4Suite arithmétique, suite géométrique

$(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ si $u_{n + 1} = u_{n} + r$ pour tout $n$ ; elle est géométrique de raison $q$ si $u_{n + 1} = q u_{n}$ .

Proposition 4.5Formes explicites

Si $(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ , alors $u_{n} = u_{0} + n r$ . Si $(u_{n})$ est géométrique de raison $q$ , alors $u_{n} = u_{0} q^{n}$ .

Démonstration

Dans le cas arithmétique, une récurrence immédiate : la formule vaut au rang $0$ , et si $u_{n} = u_{0} + n r$ alors $u_{n + 1} = u_{0} + n r + r = u_{0} + (n + 1) r$ . Même raisonnement pour le cas géométrique, avec un produit au lieu d'une somme.

La différence entre les deux est bien plus qu'une affaire de formule. Une suite arithmétique de raison $r > 0$ croît de la même quantité à chaque pas : au bout de $n$ étapes, elle a gagné $n r$ . Une suite géométrique de raison $q > 1$ est multipliée à chaque pas : au bout de $n$ étapes, elle a été multipliée par $q^{n}$ . Sur cent pas, une croissance de $1$ par étape donne $100$ ; une croissance de $1 %$ par étape multiplie par $2, 7$ . Sur mille pas, la première donne $1000$ , la seconde multiplie par plus de vingt mille. C'est toute la différence entre une progression linéaire et un intérêt composé, et l'intuition la sous-estime systématiquement.

Proposition 4.6Sommes de référence

Pour tout $n \in N$ :

$k = 0 \sum n q^{k} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q} (q \neq = 1), k = 0 \sum n (u_{0} + k r) = (n + 1) u_{0} + r \frac{n ( n + 1 )}{2} .$

Démonstration

Pour la somme géométrique, posons $S = \sum_{k = 0}^{n} q^{k}$ . Alors $q S = \sum_{k = 1}^{n + 1} q^{k}$ , donc $S - q S = q^{0} - q^{n + 1}$ , d'où $(1 - q) S = 1 - q^{n + 1}$ ; on divise par $1 - q$ , non nul. Pour la somme arithmétique, on développe et l'on reconnaît $\sum_{k = 0}^{n} k = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .

ImportantLa forme à retenir

Une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique vaut

$premier terme \times \frac{1 - q ^{nombre de termes}}{1 - q} .$

Compter les termes est l'erreur la plus fréquente : de $k = 0$ à $k = n$ , il y en a $n + 1$ .

Exercices du chapitre

Deux sommes à reconnaître corrigé
Un placement à intérêts composés corrigé
Compter les termes d'une somme géométrique corrigé
Le multiplicateur keynésien corrigé
Partir de l'équilibre corrigé
Un prélèvement annuel sur un capital corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre