Fonctions réelles d'une variable réelle

Cours complet · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 5 · prépa ECG, 1re année

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Ce chapitre rassemble les connaissances de référence sur les fonctions usuelles et les grands théorèmes de l'analyse d'une variable. Trois avertissements du programme méritent d'être posés d'emblée.

AttentionLe cadre exact

Les fonctions trigonométriques sont hors programme en ECG. On ne rencontrera ni $sin$ , ni $cos$ , ni $tan$ .
On se restreint aux fonctions définies sur un intervalle de $R$ , et aux fonctions usuelles ou qui s'en déduisent simplement.
Aucune démonstration de ce chapitre n'est exigible. Les théorèmes sont admis ; ce qui compte est de savoir les énoncer avec leurs hypothèses et les appliquer.
Les notions d'équivalence et de négligeabilité ne seront abordées qu'en deuxième année.

5.1 Fonctions polynômes

iRemarqueOn confond polynôme et fonction polynomiale

La construction des polynômes formels n'est pas au programme : un polynôme est ici simplement une fonction $x \mapsto a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ .

Définition 5.1Degré, ensembles de polynômes

Le degré d'un polynôme non nul est le plus grand exposant à coefficient non nul. Par convention, $de g 0 = - \infty$ . On note $R [x]$ l'ensemble des polynômes à coefficients réels, et $R_{n} [x]$ celui des polynômes de degré au plus $n$ .

Proposition 5.2Degré d'une somme, d'un produit

Pour $P, Q \in R [x]$ :

$de g (P Q) = de g P + de g Q, de g (P + Q) \leq max (de g P, de g Q),$

la seconde inégalité pouvant être stricte lorsque les termes dominants s'annulent.

◆Théorème 5.3Factorisation par une racine

Soit $P \in R [x]$ et $a \in R$ . Alors $a$ est racine de $P$ (c'est-à-dire $P (a) = 0$ ) si et seulement s'il existe $Q \in R [x]$ tel que

$P (x) = (x - a) Q (x),$

et l'on a alors $de g Q = de g P - 1$ .

↳Corollaire 5.4Un polynôme qui a trop de racines est nul

Un polynôme de $R_{n} [x]$ admettant plus de $n + 1$ racines distinctes est le polynôme nul.

Démonstration

Si $P$ était non nul de degré $d \leq n$ , chaque racine distincte fournirait un facteur $(x - a_{i})$ , et le produit de $d + 1$ tels facteurs serait de degré $d + 1 > d$ : impossible.

ImportantUne conséquence très utile

Deux polynômes de degré au plus $n$ qui coïncident en $n + 1$ points distincts sont égaux : leur différence est un polynôme de $R_{n} [x]$ ayant $n + 1$ racines. C'est ce qui rend légitime l'identification des coefficients.

Exemple 5.5Division euclidienne

Divisons $P (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6$ par $x - 2$ . En posant la division : $x^{3} - 2 x^{2} = x^{2} (x - 2)$ , il reste $3 x - 6 = 3 (x - 2)$ . Donc

$P (x) = (x - 2) (x^{2} + 3),$

le reste étant nul — ce qui confirme $P (2) = 0$ . Le facteur $x^{2} + 3$ n'a pas de racine réelle : $2$ est l'unique racine réelle de $P$ .

5.1.1 Trinômes du second degré

◆Théorème 5.6Trinôme du second degré

Soit $P (x) = a x^{2} + b x + c$ avec $a \neq = 0$ . On appelle discriminant de $P$ le nombre $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

Si $Δ > 0$ , $P$ a deux racines réelles distinctes $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ et $P (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ ;
si $Δ = 0$ , une racine double $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ et $P (x) = a (x - x_{0})^{2}$ ;
si $Δ < 0$ , aucune racine réelle, et $P$ garde le signe de $a$ sur $R$ tout entier.

Proposition 5.7Somme et produit des racines

Lorsque $Δ \geq 0$ , les racines vérifient

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} .$

iRemarqueLire les signes des racines sur ceux des coefficients

Ces deux relations permettent souvent de conclure sans calculer : si $\frac{c}{a} < 0$ , les racines sont de signes contraires ; si $\frac{c}{a} > 0$ , elles ont le même signe, celui de $- \frac{b}{a}$ .

5.2 Fonctions usuelles

Définition 5.8Fonctions puissances

Pour $α \in R$ , la fonction puissance est définie sur $] 0, + \infty [$ par

$x^{α} = e^{α l n x} .$

Elle est strictement croissante si $α > 0$ , strictement décroissante si $α < 0$ , constante égale à $1$ si $α = 0$ . Cas particuliers : $x = x^{1/2}$ et $\frac{1}{x} = x^{- 1}$ .

Proposition 5.9Règles de calcul

Pour $x, y > 0$ et $α, β \in R$ :

$x^{α + β} = x^{α} x^{β}, (x^{α})^{β} = x^{α β}, (x y)^{α} = x^{α} y^{α}, x^{- α} = \frac{1}{x ^{α}} .$

AttentionLe domaine des puissances

$x^{α}$ n'est défini par cette formule que pour $x > 0$ . On prolonge en $0$ par $0^{α} = 0$ lorsque $α > 0$ . Pour $x < 0$ , seules les puissances entières ont un sens : $(- 2)^{3} = - 8$ , mais $(- 2)^{1/2}$ n'existe pas.

Définition 5.10Valeur absolue

$∣ x ∣ = x$ si $x \geq 0$ , et $- x$ sinon. Elle mesure la distance de $x$ à $0$ , et $∣ x - a ∣$ celle de $x$ à $a$ .

Proposition 5.11Propriétés

Pour tous réels $x, y$ et tout $b \geq 0$ :

$∣ x y ∣ = ∣ x ∣ ∣ y ∣, ∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣, (∣ x - a ∣ \leq b ⟺ a - b \leq x \leq a + b) .$

ImportantTraduire une valeur absolue en encadrement

La dernière équivalence est la manipulation la plus fréquente de l'année : $∣ x - a ∣ \leq b$ signifie exactement que $x$ est dans l'intervalle $[a - b, a + b]$ , centré en $a$ et de rayon $b$ .

Définition 5.12Partie entière

La partie entière de $x$ , notée $⌊ x ⌋$ , est l'unique entier $n$ tel que $n \leq x < n + 1$ .

AttentionNe pas noter

E (x)

La notation $E$ est réservée à l'espérance mathématique en probabilités. On écrit $⌊ x ⌋$ , jamais $E (x)$ .

Exemple 5.13Partie entière et encadrement

$⌊ 3, 7 ⌋ = 3$ mais $⌊ - 3, 7 ⌋ = - 4$ : la partie entière arrondit vers le bas, pas vers zéro. De la définition découle l'encadrement $x - 1 < ⌊ x ⌋ \leq x$ , très utile pour des majorations.

Proposition 5.14Logarithme et exponentielle

$ln$ est définie sur $] 0, + \infty [$ , strictement croissante, de limites $- \infty$ en $0^{+}$ et $+ \infty$ en $+ \infty$ ; $exp$ est sa réciproque, définie sur $R$ , à valeurs dans $] 0, + \infty [$ . Pour tous $x, y > 0$ : $ln (x y) = ln x + ln y$ et $ln (x^{α}) = α ln x$ .

Proposition 5.15Positions relatives

Pour tout $x \in R$ : $e^{x} \geq 1 + x$ . Pour tout $x > 0$ : $ln x \leq x - 1$ . Les courbes de $ln$ , de $x \mapsto x$ et de $exp$ sont donc rangées dans cet ordre. Les deux inégalités disent exactement que $exp$ reste au-dessus de sa tangente $y = x + 1$ en $(0, 1)$ , et $ln$ en dessous de la sienne, $y = x - 1$ en $(1, 0)$ ; la droite $y = x$ passe entre les deux sans en toucher aucune — elle en reste à distance $1$ .

iRemarqueLes fonctions du type

u^{v}

Une expression $u (x)^{v (x)}$ se traite toujours en repassant par l'exponentielle : $u (x)^{v (x)} = e^{v (x) l n u (x)}$ , ce qui exige $u (x) > 0$ . C'est le seul moyen d'en étudier limites et variations.

5.3 Limite et continuité en un point

Définition 5.16Limite en un point

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ , $x_{0}$ un réel de $I$ ou une extrémité de $I$ , et $ℓ \in R$ . On dit que $f$ admet $ℓ$ pour limite en $x_{0}$ si

$\forall ε > 0, \exists α > 0, \forall x \in I \cap [x_{0} - α, x_{0} + α], ∣ f (x) - ℓ ∣ \leq ε .$

ImportantLimite et continuité, une seule définition

Lorsque $x_{0}$ appartient à $I$ , cette propriété signifie exactement que $f$ est continue au point $x_{0}$ (et alors $ℓ = f (x_{0})$ ). Lorsque $x_{0}$ n'appartient pas à $I$ , elle signifie que $f$ se prolonge en une fonction continue en $x_{0}$ . Continuité et limite ne sont pas deux notions, mais deux lectures de la même.

Définition 5.17Limites à gauche, à droite, infinies

On définit de même la limite à gauche ( $x \leq x_{0}$ ) et à droite ( $x \geq x_{0}$ ), la limite en $\pm \infty$ (en remplaçant le voisinage de $x_{0}$ par un intervalle $] A, + \infty [$ ), et les limites infinies (en remplaçant $∣ f (x) - ℓ ∣ \leq ε$ par $f (x) \geq A$ ).

◆Théorème 5.18Unicité et opérations

Une fonction admet au plus une limite en un point. Si $f \to ℓ$ et $g \to ℓ^{'}$ en $x_{0}$ , alors $f + g \to ℓ + ℓ^{'}$ , $f g \to ℓ ℓ^{'}$ , et $f / g \to ℓ / ℓ^{'}$ si $ℓ^{'} \neq = 0$ . Si de plus $f \leq g$ au voisinage de $x_{0}$ , alors $ℓ \leq ℓ^{'}$ .

◆Théorème 5.19Encadrement et composition

Si $g \leq f \leq h$ au voisinage de $x_{0}$ et si $g$ et $h$ tendent vers le même $ℓ$ , alors $f \to ℓ$ . Si $f \to ℓ$ en $x_{0}$ et $g \to L$ en $ℓ$ , alors $g \circ f \to L$ en $x_{0}$ .

◆Théorème 5.20Caractérisation séquentielle

Si $f$ admet $ℓ$ pour limite en $x_{0}$ et si $(u_{n})$ est une suite d'éléments de $I$ convergeant vers $x_{0}$ , alors la suite $(f (u_{n}))$ converge vers $ℓ$ .

iRemarqueÀ quoi cela sert

Ce théorème fait le pont entre les deux chapitres. Il sert surtout par la négative : si l'on exhibe deux suites tendant vers $x_{0}$ dont les images ont des limites différentes, alors $f$ n'a pas de limite en $x_{0}$ .

◆Théorème 5.21Croissances comparées

Pour tous $a > 0$ et $b > 0$ :

$x \to + \infty lim \frac{( ln x ) ^{b}}{x ^{a}} = 0, x \to 0^{+} lim x^{a} ∣ ln x ∣^{b} = 0, x \to + \infty lim x^{a} e^{- x} = 0.$

ImportantLa hiérarchie

Au voisinage de $+ \infty$ : $ln ≪$ puissances $≪ exp$ . Au voisinage de $0^{+}$ : la puissance l'emporte sur le logarithme, si bien que $x ln x \to 0$ . Ces limites lèvent la plupart des formes indéterminées de l'année.

5.4 Étude globale sur un intervalle

Définition 5.22Vocabulaire

$f$ est paire si $f (- x) = f (x)$ , impaire si $f (- x) = - f (x)$ (le domaine devant être symétrique) ; majorée s'il existe $M$ avec $f (x) \leq M$ pour tout $x$ , minorée, bornée de même ; croissante si $x \leq y \Rightarrow f (x) \leq f (y)$ , et strictement croissante si l'inégalité de droite est stricte lorsque $x < y$ .

◆Théorème 5.23Limite monotone

Toute fonction monotone sur $] a, b [$ (avec $- \infty \leq a < b \leq + \infty$ ) admet en tout point de $] a, b [$ une limite finie à gauche et une limite finie à droite, ainsi qu'une limite en $a$ et en $b$ — finie ou infinie.

Définition 5.24Continuité sur un intervalle

$f$ est continue sur $I$ si elle est continue en chaque point de $I$ . Sommes, produits, quotients (à dénominateur non nul) et composées de fonctions continues sont continues.

◆Théorème 5.25Théorème des valeurs intermédiaires

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ . Pour tout réel $k$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , il existe $c \in [a, b]$ tel que $f (c) = k$ .

◆Théorème 5.26Image d'un intervalle, d'un segment

L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. L'image d'un segment $[a, b]$ est un segment : $f$ y est bornée et atteint ses bornes, notées $max_{t \in [a, b]} f (t)$ et $min_{t \in [a, b]} f (t)$ .

AttentionSegment, pas intervalle ouvert

Sur $] 0, 1]$ , la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ est continue mais non majorée. La conclusion « bornée et atteint ses bornes » exige un intervalle fermé et borné.

◆Théorème 5.27Théorème de la bijection

Soit $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ . Alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $f (I)$ . Sa réciproque $f^{- 1}$ est continue sur $f (I)$ et a le même sens de variation que $f$ . Les courbes de $f$ et de $f^{- 1}$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$ .

ImportantRésoudre

f (x) = k

C'est l'usage principal de ce théorème. On établit que $f$ est continue et strictement monotone sur $I$ , on calcule $f (I)$ , et l'on conclut : l'équation $f (x) = k$ admet une solution unique dans $I$ si et seulement si $k \in f (I)$ . Le tableau de variations porte toute la démonstration.

Exemple 5.28Existence et unicité d'une racine

Soit $f (x) = x^{3} + x - 1$ sur $R$ . Elle est continue, et strictement croissante car somme de fonctions croissantes. Ses limites sont $- \infty$ et $+ \infty$ , donc $f (R) = R$ : l'équation $f (x) = 0$ a une unique solution réelle. Comme $f (0) = - 1 < 0$ et $f (1) = 1 > 0$ , elle est dans $] 0, 1 [$ .

Python : La dichotomie

Le théorème donne l'existence ; la dichotomie donne la valeur. On coupe l'intervalle en deux et l'on garde la moitié où le signe change.


def f(x):
    return x ** 3 + x - 1

def dichotomie(a, b, eps):
    while b - a > eps:
        m = (a + b) / 2
        if f(a) * f(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return (a + b) / 2

print(dichotomie(0, 1, 1e-10))     # 0.6823278038...

Chaque tour divise par deux la longueur de l'intervalle : après $n$ tours, elle vaut $(b - a) / 2^{n}$ . Atteindre $1 0^{- 10}$ sur $[0, 1]$ demande donc une trentaine de tours seulement.

5.5 Graphes et régionnements du plan

ImportantLa méthode d'étude d'une fonction

Domaine de définition ; parité ou périodicité éventuelle pour réduire le domaine ; limites aux bornes ; variations ; tableau de variations ; points remarquables et tangentes ; tracé. Le tableau de variations n'est pas un ornement : c'est lui qui justifie les conclusions d'existence et d'unicité.

Définition 5.29Position relative de deux courbes

Les courbes de $f$ et de $g$ se comparent par l'étude du signe de $f - g$ : là où $f - g > 0$ , la courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$ ; là où $f - g = 0$ , elles se coupent.

Définition 5.30Régionnement du plan

L'ensemble des points $(x, y)$ du plan vérifiant $y > f (x)$ est la région strictement au-dessus de la courbe de $f$ ; $y \geq f (x)$ y ajoute la courbe elle-même.

Exemple 5.31Offre, demande et équilibre

En micro-économie, la demande $D (p)$ décroît avec le prix $p$ et l'offre $O (p)$ croît. Le prix d'équilibre est la solution de $O (p) = D (p)$ , c'est-à-dire l'abscisse du point d'intersection des deux courbes. Avec $D (p) = 100 - 2 p$ et $O (p) = 10 + 3 p$ , l'équilibre est atteint pour $p^{⋆} = 18$ et une quantité de $64$ . La région où $D (p) > O (p)$ , c'est-à-dire $p < 18$ , est celle de la pénurie ; au-delà, celle de l'excédent. Un déplacement de la courbe de demande vers le haut — un goût accru pour le bien — relève à la fois le prix et la quantité d'équilibre : cela se lit sur le graphique avant tout calcul.

5.6 L'essentiel du chapitre

Fiche de synthèse

Cadre : pas de trigonométrie ; intervalles seulement ; aucune démonstration exigible ; équivalents renvoyés en 2^e année.
Polynômes : $de g 0 = - \infty$ ; $P (a) = 0 ⟺ (x - a) ∣ P$ ; un polynôme de $R_{n} [x]$ à plus de $n + 1$ racines est nul.
Trinôme : $Δ < 0 \Rightarrow$ signe constant, celui de $a$ ; $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .
Puissances : $x^{α} = e^{α l n x}$ , sur $] 0, + \infty [$ seulement.
Valeur absolue : $∣ x - a ∣ \leq b ⟺ x \in [a - b, a + b]$ . Partie entière : $⌊ x ⌋$ , jamais $E (x)$ .
Positions : $e^{x} \geq 1 + x$ et $ln x \leq x - 1$ .
Croissances comparées : $ln ≪ x^{a} ≪ e^{x}$ en $+ \infty$ ; $x^{a} ∣ ln x ∣^{b} \to 0$ en $0^{+}$ .
TVI ; image d'un segment $=$ segment (bornes atteintes) ; théorème de la bijection : continue $+$ strictement monotone $\Rightarrow$ bijection sur $f (I)$ , réciproque continue et de même variation. C'est l'outil pour $f (x) = k$ .
Dichotomie : $(b - a) / 2^{n}$ après $n$ tours.

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