Fonctions réelles d'une variable réelle

Cours · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 5 · prépa ECG, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une courbe et ses deux asymptotes : verticale en 0, horizontale y = ℓ.

Ce chapitre rassemble les connaissances de référence sur les fonctions usuelles et les grands théorèmes de l'analyse d'une variable. Trois avertissements du programme méritent d'être posés d'emblée.

AttentionLe cadre exact

Les fonctions trigonométriques sont hors programme en ECG. On ne rencontrera ni $sin$ , ni $cos$ , ni $tan$ .
On se restreint aux fonctions définies sur un intervalle de $R$ , et aux fonctions usuelles ou qui s'en déduisent simplement.
Aucune démonstration de ce chapitre n'est exigible. Les théorèmes sont admis ; ce qui compte est de savoir les énoncer avec leurs hypothèses et les appliquer.
Les notions d'équivalence et de négligeabilité ne seront abordées qu'en deuxième année.

5.1 Fonctions polynômes

iRemarqueOn confond polynôme et fonction polynomiale

La construction des polynômes formels n'est pas au programme : un polynôme est ici simplement une fonction $x \mapsto a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ .

Définition 5.1Degré, ensembles de polynômes

Le degré d'un polynôme non nul est le plus grand exposant à coefficient non nul. Par convention, $de g 0 = - \infty$ . On note $R [x]$ l'ensemble des polynômes à coefficients réels, et $R_{n} [x]$ celui des polynômes de degré au plus $n$ .

Proposition 5.2Degré d'une somme, d'un produit

Pour $P, Q \in R [x]$ :

$de g (P Q) = de g P + de g Q, de g (P + Q) \leq max (de g P, de g Q),$

la seconde inégalité pouvant être stricte lorsque les termes dominants s'annulent.

◆Théorème 5.3Factorisation par une racine

Soit $P \in R [x]$ et $a \in R$ . Alors $a$ est racine de $P$ (c'est-à-dire $P (a) = 0$ ) si et seulement s'il existe $Q \in R [x]$ tel que

$P (x) = (x - a) Q (x),$

et l'on a alors $de g Q = de g P - 1$ .

↳Corollaire 5.4Un polynôme qui a trop de racines est nul

Un polynôme de $R_{n} [x]$ admettant plus de $n + 1$ racines distinctes est le polynôme nul.

Démonstration

Si $P$ était non nul de degré $d \leq n$ , chaque racine distincte fournirait un facteur $(x - a_{i})$ , et le produit de $d + 1$ tels facteurs serait de degré $d + 1 > d$ : impossible.

ImportantUne conséquence très utile

Deux polynômes de degré au plus $n$ qui coïncident en $n + 1$ points distincts sont égaux : leur différence est un polynôme de $R_{n} [x]$ ayant $n + 1$ racines. C'est ce qui rend légitime l'identification des coefficients.

Exemple 5.5Division euclidienne

Divisons $P (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6$ par $x - 2$ . En posant la division : $x^{3} - 2 x^{2} = x^{2} (x - 2)$ , il reste $3 x - 6 = 3 (x - 2)$ . Donc

$P (x) = (x - 2) (x^{2} + 3),$

le reste étant nul — ce qui confirme $P (2) = 0$ . Le facteur $x^{2} + 3$ n'a pas de racine réelle : $2$ est l'unique racine réelle de $P$ .

5.1.1 Trinômes du second degré

◆Théorème 5.6Trinôme du second degré

Soit $P (x) = a x^{2} + b x + c$ avec $a \neq = 0$ . On appelle discriminant de $P$ le nombre $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

Si $Δ > 0$ , $P$ a deux racines réelles distinctes $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ et $P (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ ;
si $Δ = 0$ , une racine double $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ et $P (x) = a (x - x_{0})^{2}$ ;
si $Δ < 0$ , aucune racine réelle, et $P$ garde le signe de $a$ sur $R$ tout entier.

Proposition 5.7Somme et produit des racines

Lorsque $Δ \geq 0$ , les racines vérifient

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} .$

iRemarqueLire les signes des racines sur ceux des coefficients

Ces deux relations permettent souvent de conclure sans calculer : si $\frac{c}{a} < 0$ , les racines sont de signes contraires ; si $\frac{c}{a} > 0$ , elles ont le même signe, celui de $- \frac{b}{a}$ .

5.2 Fonctions usuelles

Définition 5.8Fonctions puissances

Pour $α \in R$ , la fonction puissance est définie sur $] 0, + \infty [$ par

$x^{α} = e^{α l n x} .$

Elle est strictement croissante si $α > 0$ , strictement décroissante si $α < 0$ , constante égale à $1$ si $α = 0$ . Cas particuliers : $x = x^{1/2}$ et $\frac{1}{x} = x^{- 1}$ .

Proposition 5.9Règles de calcul

Pour $x, y > 0$ et $α, β \in R$ :

$x^{α + β} = x^{α} x^{β}, (x^{α})^{β} = x^{α β}, (x y)^{α} = x^{α} y^{α}, x^{- α} = \frac{1}{x ^{α}} .$

Exercices du chapitre

Factoriser à partir d'une racine corrigé
Le signe d'un trinôme sans racine corrigé
Un polynôme avec trop de racines corrigé
Un trinôme positif quel que soit $x$ corrigé
Deux valeurs absolues corrigé
La partie entière et son opposée corrigé

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