Probabilités et statistiques

Cours · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 6 · prépa ECG, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une boîte à moustaches : minimum, premier quartile, médiane, troisième quartile, maximum.

Ce chapitre réunit deux démarches inverses, et c'est ce qui fait sa particularité. La statistique descriptive part de données observées et cherche à les résumer ; les probabilités partent d'un modèle et en déduisent ce qu'on devrait observer. Entre les deux, la statistique inférentielle — remonter des données au modèle — sera l'affaire de la deuxième année.

Le programme demande explicitement que la partie statistique soit menée en lien étroit avec l'informatique, sur des données réelles issues de l'économie ou des sciences sociales. Les scripts de ce chapitre ne sont donc pas des illustrations : ils font partie du travail.

6.1 Statistiques univariées

6.1.1 Vocabulaire

Définition 6.1Population, individu, échantillon

La population est l'ensemble étudié, ses éléments sont les individus. Un échantillon en est une partie observée. Le caractère (ou variable statistique) est la propriété relevée sur chaque individu.

Définition 6.2Nature d'un caractère

Un caractère est quantitatif lorsqu'il prend des valeurs numériques — discret si ces valeurs sont isolées (nombre d'enfants), continu s'il peut prendre toute valeur d'un intervalle (un salaire, une durée) — et qualitatif sinon (profession, région).

AttentionUn nombre n'est pas toujours quantitatif

Un code postal ou un numéro de département sont des nombres, mais leur moyenne n'a aucun sens : ce sont des caractères qualitatifs. La nature du caractère décide des indicateurs licites, pas la forme de ce qui est écrit.

Définition 6.3Série statistique

Une série statistique de taille $n$ portant sur un caractère est le $n$ -uplet des observations $(x_{1}, \dots, x_{n})$ .

6.1.2 Décrire une série discrète

Définition 6.4Effectifs, fréquences

Si le caractère prend les valeurs distinctes $v_{1}, \dots, v_{p}$ , l'effectif $n_{k}$ est le nombre d'individus pour lesquels il vaut $v_{k}$ , et la fréquence est $f_{k} = \frac{n _{k}}{n}$ . On a $\sum_{k} n_{k} = n$ et $\sum_{k} f_{k} = 1$ . Les fréquences cumulées sont les sommes $F_{k} = f_{1} + \dots + f_{k}$ .

Définition 6.5Fonction de répartition empirique, quantiles

La fonction de répartition de la série est

$F (t) = \frac{# { i ∣ x _{i} \leq t }}{n},$

proportion d'observations inférieures ou égales à $t$ . Pour $α \in] 0, 1 [$ , un quantile d'ordre $α$ est une valeur $q$ telle qu'au moins une proportion $α$ des observations lui soit inférieure ou égale, et au moins $1 - α$ supérieure ou égale. Les quantiles d'ordre $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{3}{4}$ sont les quartiles $Q_{1}$ , $Q_{2}$ (la médiane), $Q_{3}$ .

Définition 6.6Indicateurs de tendance centrale

La moyenne de la série est $x ˉ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$ . La médiane est le quantile d'ordre $\frac{1}{2}$ : elle partage la série en deux moitiés d'effectifs égaux.

Proposition 6.7Effet d'une transformation affine

Si l'on remplace chaque $x_{i}$ par $y_{i} = a x_{i} + b$ ( $a, b$ réels), alors

$y ˉ = a x ˉ + b, Med (y) = a Med (x) + b si a > 0.$

Démonstration

Pour la moyenne, $\frac{1}{n} \sum (a x_{i} + b) = a \frac{1}{n} \sum x_{i} + \frac{nb}{n}$ . Pour la médiane, une transformation affine de coefficient $a > 0$ est strictement croissante : elle conserve l'ordre des observations, donc la position centrale. Si $a < 0$ , l'ordre s'inverse et la médiane devient l'image de la médiane, mais les quartiles $Q_{1}$ et $Q_{3}$ s'échangent.

Définition 6.8Indicateurs de dispersion

L'étendue est $max x_{i} - min x_{i}$ . L'écart interquartile est $Q_{3} - Q_{1}$ . La variance empirique et l'écart-type sont

$s_{x}^{2} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (x_{i} - x ˉ)^{2}, s_{x} = s_{x}^{2} .$

◆Théorème 6.9Formule de Koenig

$s_{x}^{2} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n x_{i}^{2} - x ˉ^{2} .$

Démonstration

En développant le carré :

$\frac{1}{n} \sum (x_{i} - x ˉ)^{2} = \frac{1}{n} \sum (x_{i}^{2} - 2 x ˉ x_{i} + x ˉ^{2}) = \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} - 2 x ˉ \cdot \frac{1}{n} \sum x_{i} + x ˉ^{2} = \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} - 2 x ˉ^{2} + x ˉ^{2},$

puisque $\frac{1}{n} \sum x_{i} = x ˉ$ et que $x ˉ^{2}$ est constant.

ImportantLa variance est une moyenne de carrés moins un carré de moyenne

C'est la forme à retenir, et elle est plus commode en calcul : elle ne demande qu'un passage sur les données pour accumuler $\sum x_{i}$ et $\sum x_{i}^{2}$ .

AttentionChoisir ses indicateurs

Moyenne et écart-type sont sensibles aux valeurs extrêmes ; médiane et écart interquartile ne le sont pas. Sur des salaires, où quelques très hautes rémunérations tirent la moyenne vers le haut, la médiane décrit bien mieux le salarié typique. Le programme demande explicitement de discuter la pertinence des indicateurs selon les données — ce n'est pas un exercice de calcul, c'est un exercice de jugement.

Exemple 6.10Deux séries, même moyenne

$A = (10, 10, 10, 10, 10)$ et $B = (0, 5, 10, 15, 20)$ ont la même moyenne $x ˉ = 10$ et la même médiane $10$ . Mais $s_{A} = 0$ et $s_{B}^{2} = \frac{1}{5} (100 + 25 + 0 + 25 + 100) = 50$ , soit $s_{B} \approx 7, 07$ . Une tendance centrale ne dit rien de la dispersion.

Exercices du chapitre

Une série statistique complète corrigé
Effet d'un changement d'unité corrigé
Une série groupée, et une valeur aberrante corrigé
Un coefficient binomial, deux fois corrigé
Compter les parties, de deux façons corrigé
Un roi ou un cœur corrigé

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