Probabilités et statistiques

Cours complet · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 6 · prépa ECG, 1re année

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Ce chapitre réunit deux démarches inverses, et c'est ce qui fait sa particularité. La statistique descriptive part de données observées et cherche à les résumer ; les probabilités partent d'un modèle et en déduisent ce qu'on devrait observer. Entre les deux, la statistique inférentielle — remonter des données au modèle — sera l'affaire de la deuxième année.

Le programme demande explicitement que la partie statistique soit menée en lien étroit avec l'informatique, sur des données réelles issues de l'économie ou des sciences sociales. Les scripts de ce chapitre ne sont donc pas des illustrations : ils font partie du travail.

6.1 Statistiques univariées

6.1.1 Vocabulaire

Définition 6.1Population, individu, échantillon

La population est l'ensemble étudié, ses éléments sont les individus. Un échantillon en est une partie observée. Le caractère (ou variable statistique) est la propriété relevée sur chaque individu.

Définition 6.2Nature d'un caractère

Un caractère est quantitatif lorsqu'il prend des valeurs numériques — discret si ces valeurs sont isolées (nombre d'enfants), continu s'il peut prendre toute valeur d'un intervalle (un salaire, une durée) — et qualitatif sinon (profession, région).

AttentionUn nombre n'est pas toujours quantitatif

Un code postal ou un numéro de département sont des nombres, mais leur moyenne n'a aucun sens : ce sont des caractères qualitatifs. La nature du caractère décide des indicateurs licites, pas la forme de ce qui est écrit.

Définition 6.3Série statistique

Une série statistique de taille $n$ portant sur un caractère est le $n$ -uplet des observations $(x_{1}, \dots, x_{n})$ .

6.1.2 Décrire une série discrète

Définition 6.4Effectifs, fréquences

Si le caractère prend les valeurs distinctes $v_{1}, \dots, v_{p}$ , l'effectif $n_{k}$ est le nombre d'individus pour lesquels il vaut $v_{k}$ , et la fréquence est $f_{k} = \frac{n _{k}}{n}$ . On a $\sum_{k} n_{k} = n$ et $\sum_{k} f_{k} = 1$ . Les fréquences cumulées sont les sommes $F_{k} = f_{1} + \dots + f_{k}$ .

Définition 6.5Fonction de répartition empirique, quantiles

La fonction de répartition de la série est

$F (t) = \frac{# { i ∣ x _{i} \leq t }}{n},$

proportion d'observations inférieures ou égales à $t$ . Pour $α \in] 0, 1 [$ , un quantile d'ordre $α$ est une valeur $q$ telle qu'au moins une proportion $α$ des observations lui soit inférieure ou égale, et au moins $1 - α$ supérieure ou égale. Les quantiles d'ordre $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{3}{4}$ sont les quartiles $Q_{1}$ , $Q_{2}$ (la médiane), $Q_{3}$ .

Définition 6.6Indicateurs de tendance centrale

La moyenne de la série est $x ˉ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$ . La médiane est le quantile d'ordre $\frac{1}{2}$ : elle partage la série en deux moitiés d'effectifs égaux.

Proposition 6.7Effet d'une transformation affine

Si l'on remplace chaque $x_{i}$ par $y_{i} = a x_{i} + b$ ( $a, b$ réels), alors

$y ˉ = a x ˉ + b, Med (y) = a Med (x) + b si a > 0.$

Démonstration

Pour la moyenne, $\frac{1}{n} \sum (a x_{i} + b) = a \frac{1}{n} \sum x_{i} + \frac{nb}{n}$ . Pour la médiane, une transformation affine de coefficient $a > 0$ est strictement croissante : elle conserve l'ordre des observations, donc la position centrale. Si $a < 0$ , l'ordre s'inverse et la médiane devient l'image de la médiane, mais les quartiles $Q_{1}$ et $Q_{3}$ s'échangent.

Définition 6.8Indicateurs de dispersion

L'étendue est $max x_{i} - min x_{i}$ . L'écart interquartile est $Q_{3} - Q_{1}$ . La variance empirique et l'écart-type sont

$s_{x}^{2} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (x_{i} - x ˉ)^{2}, s_{x} = s_{x}^{2} .$

◆Théorème 6.9Formule de Koenig

$s_{x}^{2} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n x_{i}^{2} - x ˉ^{2} .$

Démonstration

En développant le carré :

$\frac{1}{n} \sum (x_{i} - x ˉ)^{2} = \frac{1}{n} \sum (x_{i}^{2} - 2 x ˉ x_{i} + x ˉ^{2}) = \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} - 2 x ˉ \cdot \frac{1}{n} \sum x_{i} + x ˉ^{2} = \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} - 2 x ˉ^{2} + x ˉ^{2},$

puisque $\frac{1}{n} \sum x_{i} = x ˉ$ et que $x ˉ^{2}$ est constant.

ImportantLa variance est une moyenne de carrés moins un carré de moyenne

C'est la forme à retenir, et elle est plus commode en calcul : elle ne demande qu'un passage sur les données pour accumuler $\sum x_{i}$ et $\sum x_{i}^{2}$ .

AttentionChoisir ses indicateurs

Moyenne et écart-type sont sensibles aux valeurs extrêmes ; médiane et écart interquartile ne le sont pas. Sur des salaires, où quelques très hautes rémunérations tirent la moyenne vers le haut, la médiane décrit bien mieux le salarié typique. Le programme demande explicitement de discuter la pertinence des indicateurs selon les données — ce n'est pas un exercice de calcul, c'est un exercice de jugement.

Exemple 6.10Deux séries, même moyenne

$A = (10, 10, 10, 10, 10)$ et $B = (0, 5, 10, 15, 20)$ ont la même moyenne $x ˉ = 10$ et la même médiane $10$ . Mais $s_{A} = 0$ et $s_{B}^{2} = \frac{1}{5} (100 + 25 + 0 + 25 + 100) = 50$ , soit $s_{B} \approx 7, 07$ . Une tendance centrale ne dit rien de la dispersion.

Python : Décrire un jeu de données


import numpy as np

x = np.array([1200, 1350, 1400, 1500, 1600, 1750, 2100, 2400, 6800])

print("moyenne  :", x.mean())           # 2233.3  <- tiree par le 6800
print("mediane  :", np.median(x))        # 1600.0
print("ecart-type :", x.std())          # 1653.8  (numpy divise par n)
q1, q3 = np.percentile(x, [25, 75])
print("Q1, Q3, interquartile :", q1, q3, q3 - q1)

La moyenne dépasse sept des neuf observations — elle est comprise entre la septième ( $2100$ ) et la huitième ( $2400$ ) : une seule valeur extrême suffit à la rendre trompeuse. La médiane, elle, n'a pas bougé.

6.2 Événements

Définition 6.11Expérience aléatoire, univers

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît les résultats possibles sans pouvoir prédire lequel surviendra. L'ensemble de ces résultats est l'univers, noté $Ω$ ; on le suppose fini dans ce chapitre. Une partie de $Ω$ est un événement, et $P (Ω)$ est l'ensemble des événements. Un singleton est un événement élémentaire.

Définition 6.12Opérations sur les événements

Pour $A$ et $B$ événements : $A \cup B$ est « $A$ ou $B$ », $A \cap B$ est « $A$ et $B$ », $A$ est « non $A$ ». Les événements $A$ et $B$ sont incompatibles lorsque $A \cap B = \emptyset$ .

iRemarqueLes mêmes opérations qu'au chapitre 1

Un événement est une partie : les opérations sur les événements sont celles sur les ensembles, et traduisent les connecteurs logiques. De Morgan s'y lit directement : $A \cup B = A \cap B$ signifie que « ni $A$ ni $B$ » équivaut à « pas $A$ et pas $B$ ».

Définition 6.13Système complet d'événements

Une famille finie $(A_{i})_{i \in I}$ d'événements est un système complet lorsque

$A_{i} \cap A_{j} = \emptyset pour i \neq = j, et i \in I ⋃ A_{i} = Ω.$

Autrement dit : les $A_{i}$ ne se recouvrent pas et couvrent tout — exactement une des situations $A_{i}$ se réalise.

Exemple 6.14Le plus simple des systèmes complets

$(A, A)$ est un système complet dès que $A$ est un événement. C'est celui qu'on utilise le plus souvent : on découpe selon qu'un événement se produit ou non.

6.3 Coefficients binomiaux

Définition 6.15Factorielle

$n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ pour $n \geq 1$ , et $0! = 1$ .

iRemarqueCe que compte

n!

$n!$ est le nombre de bijections d'un ensemble à $n$ éléments dans lui-même, c'est-à-dire le nombre de façons d'ordonner $n$ objets : $n$ choix pour le premier, $n - 1$ pour le deuxième, et ainsi de suite.

Définition 6.16Coefficient binomial

Pour $0 \leq p \leq n$ , $(p n)$ est le nombre de parties à $p$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments. C'est aussi le nombre de chemins d'un arbre réalisant $p$ succès pour $n$ répétitions.

Proposition 6.17Symétrie

$(p n) = (n - p n)$ .

Démonstration

Choisir les $p$ éléments d'une partie, c'est choisir les $n - p$ éléments qu'on laisse de côté : l'application « passer au complémentaire » est une bijection entre les parties à $p$ éléments et celles à $n - p$ éléments.

◆Théorème 6.18Formule du triangle de Pascal

Pour $1 \leq p \leq n$ :

$(p n) = (p - 1 n - 1) + (p n - 1) .$

Démonstration

Fixons un élément $x$ de l'ensemble à $n$ éléments. Les parties à $p$ éléments se répartissent sans recouvrement en celles qui contiennent $x$ — il reste à choisir $p - 1$ éléments parmi les $n - 1$ autres — et celles qui ne le contiennent pas, soit $(p n - 1)$ .

◆Théorème 6.19Formule explicite

$(p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!} .$

ImportantPascal plutôt que les factorielles

Pour un calcul numérique, la relation de Pascal est bien plus efficace : elle n'additionne que des entiers déjà obtenus, tandis que la formule explicite fabrique $100!$ — un nombre à $158$ chiffres — pour finalement calculer $(50 100)$ , qui en a $30$ .

6.4 Probabilité

Définition 6.20Probabilité sur un univers fini

Une probabilité sur $Ω$ fini est une application $P : P (Ω) \to [0, 1]$ telle que

$P (Ω) = 1$ ;
pour tous $A, B$ incompatibles, $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .

Proposition 6.21Premières conséquences

$P (\emptyset) = 0$ , $P (A) = 1 - P (A)$ , et si $A \subset B$ alors $P (A) \leq P (B)$ .

Démonstration

$A$ et $A$ sont incompatibles de réunion $Ω$ , d'où $P (A) + P (A) = 1$ . En prenant $A = Ω$ on obtient $P (\emptyset) = 0$ . Si $A \subset B$ , alors $B$ est la réunion disjointe de $A$ et de $B \cap A$ , donc $P (B) = P (A) + P (B \cap A) \geq P (A)$ .

◆Théorème 6.22Formule du crible

Pour tous événements $A$ et $B$ :

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B),$

et pour trois événements :

$P (A \cup B \cup C) = P (A) + P (B) + P (C) - P (A \cap B) - P (A \cap C) - P (B \cap C) + P (A \cap B \cap C) .$

iRemarquePourquoi retrancher

En ajoutant $P (A)$ et $P (B)$ , on a compté deux fois la partie commune. La formule à trois événements corrige de la même façon, puis re-corrige la sur-correction — c'est le principe d'inclusion-exclusion.

Définition 6.23Équiprobabilité

Lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité, on parle d'équiprobabilité, et pour tout événement $A$ :

$P (A) = \frac{card A}{card Ω} = \frac{nombre de cas favorables}{nombre de cas possibles} .$

AttentionL'équiprobabilité se justifie

Elle ne va pas de soi : elle traduit une symétrie de l'expérience (dé équilibré, tirage au hasard). Sur la somme de deux dés, les onze résultats possibles ne sont pas équiprobables — c'est en revenant aux $36$ couples qu'on retrouve l'équiprobabilité.

6.5 Probabilités conditionnelles

Définition 6.24Probabilité conditionnelle

Soit $A$ un événement de probabilité non nulle. Pour tout événement $B$ , la probabilité de $B$ sachant $A$ est

$P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} .$

Proposition 6.25

P_{A}

est une probabilité

L'application $B \mapsto P_{A} (B)$ est une probabilité sur $Ω$ . Toutes les formules établies s'y appliquent — en particulier $P_{A} (B) = 1 - P_{A} (B)$ .

◆Théorème 6.26Formule des probabilités composées

Si $P (A) \neq = 0$ , alors $P (A \cap B) = P (A) P_{A} (B)$ . Plus généralement, si $P (A_{1} \cap \dots \cap A_{n - 1}) \neq = 0$ :

$P (i = 1 ⋂ n A_{i}) = P (A_{1}) P_{A_{1}} (A_{2}) P_{A_{1} \cap A_{2}} (A_{3}) \dots P_{A_{1} \cap \dots \cap A_{n - 1}} (A_{n}) .$

ImportantC'est la formule de l'arbre

Chaque facteur est la probabilité portée par une branche ; la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées. Un arbre bien construit est une application de cette formule.

◆Théorème 6.27Formule des probabilités totales

Soit $(A_{i})_{1 \leq i \leq n}$ un système complet d'événements. Pour tout événement $B$ :

$P (B) = i = 1 \sum n P (B \cap A_{i}),$

et si de plus $P (A_{i}) \neq = 0$ pour tout $i$ :

$P (B) = i = 1 \sum n P_{A_{i}} (B) P (A_{i}) .$

Démonstration

Les $A_{i}$ étant deux à deux incompatibles et de réunion $Ω$ , les $B \cap A_{i}$ sont deux à deux incompatibles et de réunion $B$ . L'additivité donne la première égalité, et la définition de $P_{A_{i}}$ la seconde.

◆Théorème 6.28Formule de Bayes

Soit $(A_{i})$ un système complet d'événements de probabilités non nulles, et $B$ un événement de probabilité non nulle. Alors

$P_{B} (A_{k}) = \frac{P _{A_{k}} ( B ) P ( A _{k} )}{i = 1 \sum n P _{A_{i}} ( B ) P ( A _{i} )} .$

iRemarqueRenverser le conditionnement

Bayes répond à la question inverse de celle que l'on sait traiter : on connaît la probabilité de l'effet sachant la cause, on cherche celle de la cause sachant l'effet. Le dénominateur n'est autre que $P (B)$ , calculé par les probabilités totales.

Exemple 6.29Un test de dépistage

Une maladie touche $1 %$ d'une population. Un test est positif chez $99 %$ des malades et chez $2 %$ des personnes saines. Une personne testée positive est-elle probablement malade ?

Soit $M$ « être malade » et $T$ « le test est positif ». On a $P (M) = 0, 01$ , $P_{M} (T) = 0, 99$ , $P_{M} (T) = 0, 02$ . Les probabilités totales donnent

$P (T) = 0, 99 \times 0, 01 + 0, 02 \times 0, 99 = 0, 0099 + 0, 0198 = 0, 0297,$

puis Bayes :

$P_{T} (M) = \frac{0 , 0099}{0 , 0297} = \frac{1}{3} \approx 33 %.$

Un test pourtant très fiable ne rend malade qu'une personne positive sur trois : les personnes saines sont si nombreuses que leurs $2 %$ de faux positifs dépassent le total des vrais positifs. C'est le piège classique du raisonnement probabiliste, et il se déjoue par le calcul, jamais par l'intuition.

Le calcul précédent surprend, et le dessin explique pourquoi. Représentons la population entière par un rectangle : les malades n'en occupent qu'un centième. Les faux positifs, bien que rares en proportion, sont prélevés sur une population immense — et finissent plus nombreux que les vrais positifs.

6.6 Indépendance

Définition 6.30Indépendance de deux événements

$A$ et $B$ sont indépendants lorsque

$P (A \cap B) = P (A) P (B) .$

Si $P (A) \neq = 0$ , cela équivaut à $P_{A} (B) = P (B)$ : savoir que $A$ s'est produit ne change rien à la probabilité de $B$ .

AttentionIndépendant n'est pas incompatible

Ce sont même des propriétés presque contraires. Si $A$ et $B$ sont incompatibles et de probabilités non nulles, alors $P (A \cap B) = 0$ tandis que $P (A) P (B) > 0$ : ils ne sont pas indépendants. Savoir que $A$ s'est produit interdit $B$ — c'est une information maximale, pas une absence d'information.

Définition 6.31Indépendance mutuelle

Les événements $A_{1}, \dots, A_{n}$ sont mutuellement indépendants si pour toute partie $J$ de ${1, \dots, n}$ :

$P (i \in J ⋂ A_{i}) = i \in J \prod P (A_{i}) .$

AttentionDeux à deux ne suffit pas

L'indépendance mutuelle est strictement plus forte que l'indépendance deux à deux : il ne suffit pas de vérifier les couples, il faut toutes les sous-familles.

Proposition 6.32Stabilité par passage au complémentaire

Si $A_{1}, \dots, A_{n}$ sont mutuellement indépendants, alors les événements $B_{1}, \dots, B_{n}$ le sont encore, où chaque $B_{i}$ vaut $A_{i}$ ou $A_{i}$ .

Exemple 6.33Au moins un succès

On répète $n$ fois de façon indépendante une expérience réussissant avec probabilité $p$ . La probabilité d'au moins un succès se calcule par le complémentaire :

$P (au moins un succ e ˋ s) = 1 - P (aucun succ e ˋ s) = 1 - (1 - p)^{n} .$

Passer au complémentaire évite une somme de $n$ termes — c'est le réflexe à avoir devant « au moins un ».

Python : Simuler pour vérifier

Une simulation ne démontre rien, mais elle détecte les erreurs de modèle.


import numpy as np
rng = np.random.default_rng(0)

n = 1_000_000
malade  = rng.random(n) < 0.01
positif = np.where(malade, rng.random(n) < 0.99, rng.random(n) < 0.02)

print(malade[positif].mean())   #  0.333 : conforme au calcul de Bayes

La fréquence observée approche $\frac{1}{3}$ : le calcul et la simulation s'accordent. S'ils divergeaient, c'est le modèle qu'il faudrait reprendre, pas la simulation.

6.7 L'essentiel du chapitre

Fiche de synthèse

Statistiques : moyenne et écart-type sensibles aux valeurs extrêmes, médiane et interquartile non. Koenig : $s_{x}^{2} = \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} - x ˉ^{2}$ .
Transformation affine : $y ˉ = a x ˉ + b$ ; $s_{y} = ∣ a ∣ s_{x}$ .
Système complet : deux à deux incompatibles, de réunion $Ω$ . Le plus utile : $(A, A)$ .
Crible : $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ .
Composées : $P (A \cap B) = P (A) P_{A} (B)$ — la formule de l'arbre.
Totales : $P (B) = \sum_{i} P_{A_{i}} (B) P (A_{i})$ .
Bayes : $P_{B} (A_{k}) = \frac{P _{A_{k}} ( B ) P ( A _{k} )}{P ( B )}$ — renverse le conditionnement.
Indépendance : $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ . Indépendant $\neq =$ incompatible. Mutuelle $\neq =$ deux à deux.
« Au moins un » : passer au complémentaire.

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