L'espace des n-uplets réels, sous-espaces vectoriels et applications linéaires

Cours complet · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 7 · prépa ECG, 1re année

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Ce chapitre donne un cadre à ce que le premier semestre avait rencontré sans le nommer : l'ensemble des solutions d'un système homogène était stable par somme et par multiplication par un réel, et le produit d'une matrice par une colonne transformait un vecteur en un autre. Ces deux observations vont devenir les notions de sous-espace vectoriel et d'application linéaire.

AttentionUn cadre volontairement concret

Le programme est explicite : ce chapitre ne doit pas donner lieu à un exposé théorique. On travaille dans $R^{n}$ — et l'on privilégie $n \in {2, 3, 4}$ — jamais dans un espace vectoriel abstrait. Les vecteurs sont des colonnes de $M_{n, 1} (R)$ .

7.1 L'espace $R^{n}$

Définition 7.1

R^{n}

et ses deux lois

$R^{n}$ est l'ensemble des $n$ -uplets de réels, que l'on écrit en colonne. On y définit

$x_{1} ⋮ x_{n} + y_{1} ⋮ y_{n} = x_{1} + y_{1} ⋮ x_{n} + y_{n}, λ \cdot x_{1} ⋮ x_{n} = λ x_{1} ⋮ λ x_{n} .$

La première est une loi interne ( $R^{n} \times R^{n} \to R^{n}$ ), la seconde une loi externe ( $R \times R^{n} \to R^{n}$ ).

Proposition 7.2Propriétés

L'addition est associative et commutative, admet $0_{R^{n}}$ pour élément neutre et tout vecteur admet un opposé. La loi externe vérifie, pour tous $λ, μ \in R$ et $u, v \in R^{n}$ :

$λ (u + v) = λ u + λ v, (λ + μ) u = λ u + μu, λ (μu) = (λ μ) u, 1 \cdot u = u .$

Définition 7.3Combinaison linéaire

Une combinaison linéaire des vecteurs $u_{1}, \dots, u_{p}$ est un vecteur de la forme $λ_{1} u_{1} + \dots + λ_{p} u_{p}$ , avec $λ_{i} \in R$ .

Définition 7.4Base canonique

La base canonique de $R^{n}$ est la famille $(e_{1}, \dots, e_{n})$ où $e_{i}$ a un $1$ en $i$ -ème position et des $0$ ailleurs. Tout vecteur s'écrit $X = x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n}$ , et la colonne de ses coordonnées dans cette base est $X$ elle-même.

7.2 Sous-espaces vectoriels

Définition 7.5Sous-espace vectoriel de

R^{n}

Une partie $F$ de $R^{n}$ est un sous-espace vectoriel lorsqu'elle est l'ensemble des combinaisons linéaires d'une famille finie de vecteurs.

Proposition 7.6Stabilité

Un sous-espace vectoriel $F$ de $R^{n}$ contient $0$ , et est stable par combinaison linéaire : si $u, v \in F$ et $λ, μ \in R$ , alors $λ u + μv \in F$ .

ImportantC'est ainsi qu'on vérifie en pratique

Pour montrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel, on vérifie qu'elle contient $0$ et qu'elle est stable par combinaison linéaire. L'oubli du « contient $0$ » est l'erreur la plus fréquente : ${(x, y) ∣ x + y = 1}$ est stable par rien du tout, et n'est pas un sous-espace vectoriel.

Proposition 7.7Les sous-espaces de

R^{2}

Les sous-espaces vectoriels de $R^{2}$ sont exactement : ${0}$ , les droites vectorielles (ensembles $R u$ avec $u \neq = 0$ ), et $R^{2}$ tout entier.

◆Théorème 7.8Solutions d'un système homogène

L'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène à $n$ inconnues est un sous-espace vectoriel de $R^{n}$ .

Démonstration

Le système s'écrit $A X = 0$ . La colonne nulle est solution ; et si $A X = 0$ et $A X^{'} = 0$ , alors $A (λ X + μ X^{'}) = λ A X + μ A X^{'} = 0$ par distributivité du produit matriciel. La partie est donc stable par combinaison linéaire.

iRemarqueLa promesse tenue

C'est exactement la proposition démontrée au chapitre 2, désormais nommée. La méthode du pivot ne sert plus seulement à résoudre : elle décrit un sous-espace vectoriel.

Définition 7.9Sous-espace engendré

Pour des vecteurs $u_{1}, \dots, u_{p}$ de $R^{n}$ , on note

$Vect (u_{1}, \dots, u_{p}) = {λ_{1} u_{1} + \dots + λ_{p} u_{p} ∣ λ_{i} \in R} .$

C'est un sous-espace vectoriel, et la famille $(u_{1}, \dots, u_{p})$ en est dite génératrice.

7.3 Bases et dimension

Définition 7.10Base

$(u_{1}, \dots, u_{p})$ est une base du sous-espace vectoriel $F$ si tout vecteur de $F$ se décompose de manière unique comme combinaison linéaire de $u_{1}, \dots, u_{p}$ .

Définition 7.11Famille libre

$(u_{1}, \dots, u_{p})$ est libre lorsque la seule combinaison linéaire nulle est celle à coefficients tous nuls :

$λ_{1} u_{1} + \dots + λ_{p} u_{p} = 0 ⟹ λ_{1} = \dots = λ_{p} = 0.$

Une famille non libre est dite liée.

Proposition 7.12Base

=

libre

+

génératrice

Une famille est une base de $F$ si et seulement si elle est libre et génératrice de $F$ .

Démonstration

Si la famille est une base, elle engendre $F$ par définition ; et si une combinaison linéaire est nulle, l'unicité de la décomposition du vecteur $0$ — qui s'écrit avec des coefficients nuls — force tous les $λ_{i}$ à être nuls. Réciproquement, si la famille est génératrice, toute décomposition existe ; et si deux décompositions d'un même vecteur existaient, leur différence serait une combinaison linéaire nulle à coefficients non tous nuls, contredisant la liberté.

◆Théorème 7.13Dimension, résultat admis

Si un sous-espace vectoriel admet une base de $p$ vecteurs, alors toutes ses bases ont $p$ vecteurs. Ce nombre est la dimension de $F$ , notée $dim F$ .

◆Théorème 7.14Cardinaux, résultats admis

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de dimension $d$ .

Toute famille libre de $F$ a au plus $d$ vecteurs.
Toute famille génératrice de $F$ a au moins $d$ vecteurs.
Une famille de $d$ vecteurs de $F$ qui est libre ou génératrice est une base de $F$ .

ImportantLe théorème qui fait gagner la moitié du travail

Le dernier point est celui qu'on utilise le plus : si l'on connaît déjà la dimension, il suffit de vérifier une des deux propriétés. Prouver la liberté est presque toujours plus rapide que prouver le caractère générateur.

Définition 7.15Rang d'une famille

Le rang de $(u_{1}, \dots, u_{p})$ est la dimension de $Vect (u_{1}, \dots, u_{p})$ .

Exemple 7.16Déterminer une base et la dimension

Soit $F = {(x, y, z) \in R^{3} ∣ x + y - z = 0}$ . En posant $z = x + y$ , tout vecteur de $F$ s'écrit

$x y x + y = x 101 + y 011 .$

Ces deux vecteurs engendrent $F$ ; ils sont libres (leurs deux premières coordonnées imposent $x = y = 0$ ). C'est donc une base : $dim F = 2$ , un plan de $R^{3}$ .

7.4 Applications linéaires de $R^{n}$ dans $R^{m}$

Définition 7.17Application linéaire associée à une matrice

Soit $M \in M_{m, n} (R)$ . L'application

$f : R^{n} \to R^{m}, X ⟼ M X$

est linéaire : $f (λ X + μ Y) = λ f (X) + μ f (Y)$ pour tous $X, Y \in R^{n}$ et $λ, μ \in R$ .

Proposition 7.18Composer, c'est multiplier

Si $f : X \mapsto M X$ de $R^{n}$ dans $R^{m}$ et $g : Y \mapsto N Y$ de $R^{m}$ dans $R^{p}$ , alors $g \circ f : X \mapsto (N M) X$ . La composition des applications linéaires correspond au produit des matrices.

iRemarquePourquoi le produit matriciel est ce qu'il est

La formule $(A B)_{ij} = \sum_{k} a_{ik} b_{k j}$ , qui pouvait sembler arbitraire au chapitre 2, est exactement ce qu'il faut pour que composer revienne à multiplier. Et l'on comprend du même coup pourquoi le produit n'est pas commutatif : composer dans l'autre sens ne donne pas la même transformation.

Définition 7.19Noyau et image

Pour $f : X \mapsto M X$ de $R^{n}$ dans $R^{m}$ :

$ker f = {X \in R^{n} ∣ M X = 0}, Im f = {M X ∣ X \in R^{n}} .$

Proposition 7.20Ce sont des sous-espaces vectoriels

$ker f$ est un sous-espace vectoriel de $R^{n}$ — c'est l'ensemble des solutions du système homogène $M X = 0$ — et $Im f$ est un sous-espace vectoriel de $R^{m}$ , engendré par les colonnes de $M$ .

Démonstration

Pour le noyau, c'est le théorème sur les systèmes homogènes. Pour l'image, $M X = x_{1} C_{1} + \dots + x_{n} C_{n}$ où les $C_{j}$ sont les colonnes de $M$ : l'image est donc $Vect (C_{1}, \dots, C_{n})$ .

Définition 7.21Rang d'une matrice

Le rang de $M$ , noté $rg (M)$ , est le rang de la famille de ses vecteurs colonnes, c'est-à-dire $dim Im f$ .

◆Théorème 7.22Rang et transposée, admis

$rg (M) = rg (^{t} M)$ : le rang se lit indifféremment sur les colonnes ou sur les lignes.

◆Théorème 7.23Théorème du rang, admis

Pour $f : R^{n} \to R^{m}$ linéaire de matrice $M$ :

$dim ker f + rg (M) = n .$

ImportantLire le théorème du rang

$n$ est la dimension de l'espace de départ. Le théorème dit que ce que l'application « écrase » (le noyau) et ce qu'elle « atteint » (l'image) se partagent exactement cette dimension. Plus le noyau est gros, plus l'image est petite.

Exemple 7.24Appliquer le théorème du rang

Soit $M = (122436)$ , définissant $f : R^{3} \to R^{2}$ . Les trois colonnes sont toutes proportionnelles à $(12)$ : l'image est une droite, donc $rg (M) = 1$ . Le théorème du rang donne alors $dim ker f = 3 - 1 = 2$ : le noyau est un plan de $R^{3}$ , ce que le pivot confirme puisque le système $M X = 0$ se réduit à la seule équation $x + 2 y + 3 z = 0$ .

Python : Rang et noyau, numériquement


import numpy as np

M = np.array([[1., 2., 3.],
              [2., 4., 6.]])
r = np.linalg.matrix_rank(M)
print("rang :", r)                        # 1
print("dim du noyau :", M.shape[1] - r)   # 2, par le theoreme du rang

Attention : matrix_rank décide qu'une valeur est « nulle » en deçà d'un seuil numérique. Sur des données mesurées, un rang calculé peut donc dépasser le rang exact — le résultat est une estimation, pas une preuve.

7.5 L'essentiel du chapitre

Fiche de synthèse

Sous-espace vectoriel : contient $0$ et stable par combinaison linéaire. L'oubli du « contient $0$ » est l'erreur classique.
Les solutions d'un système homogène forment un sous-espace vectoriel — l'exemple fondamental.
Base $=$ libre $+$ génératrice $=$ décomposition unique. Toutes les bases ont le même cardinal : la dimension.
En dimension $d$ : une famille de $d$ vecteurs libre ou génératrice est une base — vérifier une seule des deux suffit.
Composer des applications linéaires, c'est multiplier les matrices. C'est la raison d'être du produit matriciel.
$ker f$ (système homogène) et $Im f$ (engendrée par les colonnes) sont des sous-espaces vectoriels.
Théorème du rang : $dim ker f + rg (M) = n$ , où $n$ est la dimension au départ.

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L'espace des n-uplets réels, sous-espaces vectoriels et applications linéaires

7.1 L'espace Rn

7.2 Sous-espaces vectoriels

7.3 Bases et dimension

7.4 Applications linéaires de Rn dans Rm

Python : Rang et noyau, numériquement

7.5 L'essentiel du chapitre

7.1 L'espace $R^{n}$

7.4 Applications linéaires de $R^{n}$ dans $R^{m}$