L'espace des n-uplets réels, sous-espaces vectoriels et applications linéaires

Cours · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 7 · prépa ECG, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Un sous-espace vectoriel : le plan engendré par u et v contient aussi leur somme u + v.

Ce chapitre donne un cadre à ce que le premier semestre avait rencontré sans le nommer : l'ensemble des solutions d'un système homogène était stable par somme et par multiplication par un réel, et le produit d'une matrice par une colonne transformait un vecteur en un autre. Ces deux observations vont devenir les notions de sous-espace vectoriel et d'application linéaire.

AttentionUn cadre volontairement concret

Le programme est explicite : ce chapitre ne doit pas donner lieu à un exposé théorique. On travaille dans $R^{n}$ — et l'on privilégie $n \in {2, 3, 4}$ — jamais dans un espace vectoriel abstrait. Les vecteurs sont des colonnes de $M_{n, 1} (R)$ .

7.1 L'espace $R^{n}$

Définition 7.1

R^{n}

et ses deux lois

$R^{n}$ est l'ensemble des $n$ -uplets de réels, que l'on écrit en colonne. On y définit

$x_{1} ⋮ x_{n} + y_{1} ⋮ y_{n} = x_{1} + y_{1} ⋮ x_{n} + y_{n}, λ \cdot x_{1} ⋮ x_{n} = λ x_{1} ⋮ λ x_{n} .$

La première est une loi interne ( $R^{n} \times R^{n} \to R^{n}$ ), la seconde une loi externe ( $R \times R^{n} \to R^{n}$ ).

Proposition 7.2Propriétés

L'addition est associative et commutative, admet $0_{R^{n}}$ pour élément neutre et tout vecteur admet un opposé. La loi externe vérifie, pour tous $λ, μ \in R$ et $u, v \in R^{n}$ :

$λ (u + v) = λ u + λ v, (λ + μ) u = λ u + μu, λ (μu) = (λ μ) u, 1 \cdot u = u .$

Définition 7.3Combinaison linéaire

Une combinaison linéaire des vecteurs $u_{1}, \dots, u_{p}$ est un vecteur de la forme $λ_{1} u_{1} + \dots + λ_{p} u_{p}$ , avec $λ_{i} \in R$ .

Définition 7.4Base canonique

La base canonique de $R^{n}$ est la famille $(e_{1}, \dots, e_{n})$ où $e_{i}$ a un $1$ en $i$ -ème position et des $0$ ailleurs. Tout vecteur s'écrit $X = x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n}$ , et la colonne de ses coordonnées dans cette base est $X$ elle-même.

7.2 Sous-espaces vectoriels

Définition 7.5Sous-espace vectoriel de

R^{n}

Une partie $F$ de $R^{n}$ est un sous-espace vectoriel lorsqu'elle est l'ensemble des combinaisons linéaires d'une famille finie de vecteurs.

Proposition 7.6Stabilité

Un sous-espace vectoriel $F$ de $R^{n}$ contient $0$ , et est stable par combinaison linéaire : si $u, v \in F$ et $λ, μ \in R$ , alors $λ u + μv \in F$ .

ImportantC'est ainsi qu'on vérifie en pratique

Pour montrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel, on vérifie qu'elle contient $0$ et qu'elle est stable par combinaison linéaire. L'oubli du « contient $0$ » est l'erreur la plus fréquente : ${(x, y) ∣ x + y = 1}$ est stable par rien du tout, et n'est pas un sous-espace vectoriel.

Proposition 7.7Les sous-espaces de

R^{2}

Les sous-espaces vectoriels de $R^{2}$ sont exactement : ${0}$ , les droites vectorielles (ensembles $R u$ avec $u \neq = 0$ ), et $R^{2}$ tout entier.

◆Théorème 7.8Solutions d'un système homogène

L'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène à $n$ inconnues est un sous-espace vectoriel de $R^{n}$ .

Exercices du chapitre

Trois candidats sous-espaces corrigé
Intersection oui, réunion non corrigé
Un sous-espace donné par deux équations corrigé
Deux vecteurs colinéaires corrigé
Une famille qui n'est pas libre corrigé
Deux familles de trois vecteurs corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre

L'espace des n-uplets réels, sous-espaces vectoriels et applications linéaires

7.1 L'espace Rn

7.2 Sous-espaces vectoriels

Exercices du chapitre

7.1 L'espace $R^{n}$