Calcul différentiel et intégral

Cours · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 8 · prépa ECG, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une courbe convexe et sa tangente, qui reste en dessous de la courbe.

Ce chapitre met en place les méthodes courantes de travail sur les fonctions : dériver, reconnaître une convexité, résoudre une équation différentielle, intégrer. C'est le chapitre le plus outillé du semestre, et le plus directement utile en économie — la convexité d'une fonction de coût, l'équilibre d'un modèle dynamique et le calcul d'un surplus en sortent tous.

AttentionAucune démonstration exigible

Comme au chapitre sur les fonctions, aucune démonstration concernant les résultats de ce chapitre n'est exigible, et tous les résultats sur la convexité sont admis. Ce qui compte : les énoncer avec leurs hypothèses et savoir s'en servir.

8.1 Dérivation

Définition 8.1Dérivée en un point

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ et $x \in I$ . $f$ est dérivable en $x$ si le taux d'accroissement $\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$ admet une limite finie quand $h \to 0$ . Cette limite est le nombre dérivé $f^{'} (x)$ .

Proposition 8.2Développement à l'ordre 1 et tangente

$f$ est dérivable en $x$ si et seulement s'il existe une fonction $ε$ de limite nulle en $0$ telle que

$f (x + h) = f (x) + h f^{'} (x) + h ε (h) .$

La tangente au graphe au point d'abscisse $x$ a pour équation $y = f (x) + f^{'} (x) (y - x)$ , où l'on a écrit $y$ pour l'abscisse courante : c'est la droite qui approche le mieux la courbe au voisinage de $x$ .

iRemarqueDeux lectures d'une même égalité

$f (x + h) \approx f (x) + h f^{'} (x)$ pour $h$ petit : c'est la formule de l'approximation affine, et c'est aussi l'équation de la tangente. On lit la même chose du point de vue du calcul et du point de vue du dessin.

Définition 8.3Dérivées à gauche, à droite

On définit de même $f_{g}^{'} (x)$ et $f_{d}^{'} (x)$ en faisant tendre $h$ vers $0$ par valeurs négatives ou positives. $f$ est dérivable en $x$ si et seulement si ces deux dérivées existent et sont égales.

Exemple 8.4La valeur absolue en 0

Pour $f (x) = ∣ x ∣$ , on a $f_{d}^{'} (0) = 1$ et $f_{g}^{'} (0) = - 1$ : $f$ n'est pas dérivable en $0$ . Le graphe y présente un point anguleux — il n'a pas de tangente.

Proposition 8.5Trois limites de référence

$x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1, x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1, x \to 0 lim \frac{( 1 + x ) ^{α} - 1}{x} = α .$

Démonstration

Ce sont les taux d'accroissement en $0$ des fonctions $x \mapsto e^{x}$ , $x \mapsto ln (1 + x)$ et $x \mapsto (1 + x)^{α}$ , dont les dérivées en $0$ valent respectivement $1$ , $1$ et $α$ .

Proposition 8.6Opérations

Si $u$ et $v$ sont dérivables :

$(λ u + μv)^{'} = λ u^{'} + μ v^{'}, (uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}, (\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}, (v \circ u)^{'} = u^{'} \times (v^{'} \circ u) .$

En particulier $(u^{α})^{'} = α u^{'} u^{α - 1}$ , $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ et $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ .

◆Théorème 8.7Inégalité des accroissements finis

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ telle que $∣ f^{'} ∣ \leq k$ sur $I$ . Alors

$\forall (a, b) \in I^{2}, ∣ f (b) - f (a) ∣ \leq k ∣ b - a ∣.$

ImportantÀ quoi elle sert vraiment

Elle contrôle l'écart des images par l'écart des antécédents. Son usage principal en ECG : l'étude des suites récurrentes $u_{n + 1} = f (u_{n})$ . Si $ℓ$ est un point fixe de $f$ et si $∣ f^{'} ∣ \leq k < 1$ , alors

$∣ u_{n + 1} - ℓ ∣ = ∣ f (u_{n}) - f (ℓ) ∣ \leq k ∣ u_{n} - ℓ ∣,$

d'où par récurrence $∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq k^{n} ∣ u_{0} - ℓ ∣ \to 0$ : la suite converge vers $ℓ$ , et d'autant plus vite que $k$ est petit.

AttentionPas de théorie générale des suites récurrentes

Le programme exclut explicitement tout exposé théorique sur les suites récurrentes générales. On traite des exemples avec l'inégalité ci-dessus, sans bâtir de théorie.

◆Théorème 8.8Signe de la dérivée, résultats admis

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ .

$f^{'} = 0$ sur $I$ $⟺$ $f$ est constante ;
$f^{'} \geq 0$ sur $I$ $⟺$ $f$ est croissante ;
si $f^{'} \geq 0$ sur $I$ et si $f^{'}$ ne s'annule qu'en un nombre fini de points, alors $f$ est strictement croissante.

iRemarqueLe troisième point est celui qu'on utilise

$x \mapsto x^{3}$ a une dérivée qui s'annule en $0$ , et pourtant elle est strictement croissante. Exiger $f^{'} > 0$ partout serait trop fort ; le bon énoncé tolère un nombre fini d'annulations.

Proposition 8.9Extremum local

Si $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et si $f^{'}$ s'annule en $x_{0} \in I$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum local en $x_{0}$ .

Exercices du chapitre

Quatre dérivées corrigé
Une racine carrée à cinq centièmes près corrigé
Un point fixe, et la vitesse de convergence corrigé
Convexité de $x ln x$ corrigé
Coût marginal minimal et point d'inflexion corrigé
Le point d'inflexion d'une courbe logistique corrigé

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