Calcul différentiel et intégral

Cours complet · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 8 · prépa ECG, 1re année

Travailler ce chapitre sur Adloun Exercices corrigés de ce chapitre

Ce chapitre met en place les méthodes courantes de travail sur les fonctions : dériver, reconnaître une convexité, résoudre une équation différentielle, intégrer. C'est le chapitre le plus outillé du semestre, et le plus directement utile en économie — la convexité d'une fonction de coût, l'équilibre d'un modèle dynamique et le calcul d'un surplus en sortent tous.

AttentionAucune démonstration exigible

Comme au chapitre sur les fonctions, aucune démonstration concernant les résultats de ce chapitre n'est exigible, et tous les résultats sur la convexité sont admis. Ce qui compte : les énoncer avec leurs hypothèses et savoir s'en servir.

8.1 Dérivation

Définition 8.1Dérivée en un point

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ et $x \in I$ . $f$ est dérivable en $x$ si le taux d'accroissement $\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$ admet une limite finie quand $h \to 0$ . Cette limite est le nombre dérivé $f^{'} (x)$ .

Proposition 8.2Développement à l'ordre 1 et tangente

$f$ est dérivable en $x$ si et seulement s'il existe une fonction $ε$ de limite nulle en $0$ telle que

$f (x + h) = f (x) + h f^{'} (x) + h ε (h) .$

La tangente au graphe au point d'abscisse $x$ a pour équation $y = f (x) + f^{'} (x) (y - x)$ , où l'on a écrit $y$ pour l'abscisse courante : c'est la droite qui approche le mieux la courbe au voisinage de $x$ .

iRemarqueDeux lectures d'une même égalité

$f (x + h) \approx f (x) + h f^{'} (x)$ pour $h$ petit : c'est la formule de l'approximation affine, et c'est aussi l'équation de la tangente. On lit la même chose du point de vue du calcul et du point de vue du dessin.

Définition 8.3Dérivées à gauche, à droite

On définit de même $f_{g}^{'} (x)$ et $f_{d}^{'} (x)$ en faisant tendre $h$ vers $0$ par valeurs négatives ou positives. $f$ est dérivable en $x$ si et seulement si ces deux dérivées existent et sont égales.

Exemple 8.4La valeur absolue en 0

Pour $f (x) = ∣ x ∣$ , on a $f_{d}^{'} (0) = 1$ et $f_{g}^{'} (0) = - 1$ : $f$ n'est pas dérivable en $0$ . Le graphe y présente un point anguleux — il n'a pas de tangente.

Proposition 8.5Trois limites de référence

$x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1, x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1, x \to 0 lim \frac{( 1 + x ) ^{α} - 1}{x} = α .$

Démonstration

Ce sont les taux d'accroissement en $0$ des fonctions $x \mapsto e^{x}$ , $x \mapsto ln (1 + x)$ et $x \mapsto (1 + x)^{α}$ , dont les dérivées en $0$ valent respectivement $1$ , $1$ et $α$ .

Proposition 8.6Opérations

Si $u$ et $v$ sont dérivables :

$(λ u + μv)^{'} = λ u^{'} + μ v^{'}, (uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}, (\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}, (v \circ u)^{'} = u^{'} \times (v^{'} \circ u) .$

En particulier $(u^{α})^{'} = α u^{'} u^{α - 1}$ , $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ et $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ .

◆Théorème 8.7Inégalité des accroissements finis

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ telle que $∣ f^{'} ∣ \leq k$ sur $I$ . Alors

$\forall (a, b) \in I^{2}, ∣ f (b) - f (a) ∣ \leq k ∣ b - a ∣.$

ImportantÀ quoi elle sert vraiment

Elle contrôle l'écart des images par l'écart des antécédents. Son usage principal en ECG : l'étude des suites récurrentes $u_{n + 1} = f (u_{n})$ . Si $ℓ$ est un point fixe de $f$ et si $∣ f^{'} ∣ \leq k < 1$ , alors

$∣ u_{n + 1} - ℓ ∣ = ∣ f (u_{n}) - f (ℓ) ∣ \leq k ∣ u_{n} - ℓ ∣,$

d'où par récurrence $∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq k^{n} ∣ u_{0} - ℓ ∣ \to 0$ : la suite converge vers $ℓ$ , et d'autant plus vite que $k$ est petit.

AttentionPas de théorie générale des suites récurrentes

Le programme exclut explicitement tout exposé théorique sur les suites récurrentes générales. On traite des exemples avec l'inégalité ci-dessus, sans bâtir de théorie.

◆Théorème 8.8Signe de la dérivée, résultats admis

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ .

$f^{'} = 0$ sur $I$ $⟺$ $f$ est constante ;
$f^{'} \geq 0$ sur $I$ $⟺$ $f$ est croissante ;
si $f^{'} \geq 0$ sur $I$ et si $f^{'}$ ne s'annule qu'en un nombre fini de points, alors $f$ est strictement croissante.

iRemarqueLe troisième point est celui qu'on utilise

$x \mapsto x^{3}$ a une dérivée qui s'annule en $0$ , et pourtant elle est strictement croissante. Exiger $f^{'} > 0$ partout serait trop fort ; le bon énoncé tolère un nombre fini d'annulations.

Proposition 8.9Extremum local

Si $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et si $f^{'}$ s'annule en $x_{0} \in I$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum local en $x_{0}$ .

AttentionDeux conditions, pas une

S'annuler ne suffit pas : $f^{'}$ doit changer de signe. Pour $f (x) = x^{3}$ , $f^{'} (0) = 0$ sans changement de signe, et $0$ n'est pas un extremum. Et l'intervalle doit être ouvert : sur $[0, 1]$ , la fonction $x \mapsto x$ atteint ses extremums aux bornes, où sa dérivée ne s'annule pas.

8.2 Dérivées successives

Définition 8.10Classes de régularité

$f$ est deux fois dérivable si $f^{'}$ est dérivable ; on note $f^{''}$ sa dérivée. $f$ est de classe $C^{1}$ sur $I$ si elle est dérivable et si $f^{'}$ est continue ; de classe $C^{2}$ si $f^{'}$ est elle-même $C^{1}$ ; de classe $C^{\infty}$ si elle est indéfiniment dérivable.

iRemarqueLes usuelles sont toutes

C^{\infty}

Polynômes, exponentielle, logarithme et puissances sont de classe $C^{\infty}$ sur leur domaine, ainsi que leurs sommes, produits, quotients et composées. En ECG, la question de la régularité se pose rarement — sauf aux points de raccord d'une fonction définie par morceaux.

8.3 Convexité

Définition 8.11Fonction convexe

$f$ est convexe sur un intervalle $I$ si pour tous $x_{1}, x_{2} \in I$ et tous $t_{1}, t_{2} \in [0, 1]$ avec $t_{1} + t_{2} = 1$ :

$f (t_{1} x_{1} + t_{2} x_{2}) \leq t_{1} f (x_{1}) + t_{2} f (x_{2}) .$

$f$ est concave lorsque $- f$ est convexe (l'inégalité est renversée).

ImportantCe que dit l'inégalité

$t_{1} x_{1} + t_{2} x_{2}$ décrit le segment $[x_{1}, x_{2}]$ quand $t_{1}$ parcourt $[0, 1]$ , et $t_{1} f (x_{1}) + t_{2} f (x_{2})$ décrit la corde. L'inégalité dit donc : la courbe est en dessous de ses cordes. Pour une fonction concave, elle est au-dessus.

◆Théorème 8.12Caractérisation, résultats admis

Soit $f$ de classe $C^{2}$ sur un intervalle $I$ . Les trois propositions suivantes sont équivalentes :

$f$ est convexe sur $I$ ;
$f^{'}$ est croissante sur $I$ ;
$f^{''} \geq 0$ sur $I$ ;

et dans ce cas, la courbe de $f$ est au-dessus de ses tangentes. Pour la concavité, tout se renverse : $f^{'}$ décroissante, $f^{''} \leq 0$ , courbe sous ses tangentes.

Définition 8.13Point d'inflexion

Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente, c'est-à-dire où $f^{''}$ s'annule en changeant de signe.

◆Théorème 8.14Convexité et minimum, admis

Si $f$ est convexe et de classe $C^{2}$ sur un intervalle ouvert, et si $f^{'} (x_{0}) = 0$ , alors $f$ admet un minimum en $x_{0}$ — et ce minimum est global sur l'intervalle.

ImportantPourquoi l'économie s'y intéresse

C'est ce théorème qui rend l'optimisation utilisable. Pour une fonction convexe, un point où la dérivée s'annule est le minimum : on n'a pas à comparer plusieurs candidats, ni à craindre un minimum local qui ne serait pas global. Une fonction de coût convexe traduit des rendements décroissants — chaque unité supplémentaire coûte davantage que la précédente — et c'est précisément la croissance de $f^{'}$ , le coût marginal.

Exemple 8.15Coût moyen et coût marginal

Soit $C (q) = q^{2} + 4 q + 9$ le coût de production de $q$ unités. Le coût marginal est $C^{'} (q) = 2 q + 4$ , croissant : $C$ est convexe, ce que confirme $C^{''} = 2 > 0$ . Le coût moyen $\frac{C ( q )}{q} = q + 4 + \frac{9}{q}$ a pour dérivée $1 - \frac{9}{q ^{2}}$ , qui s'annule en $q = 3$ en changeant de signe : le coût moyen est minimal pour $q = 3$ , et vaut alors $10$ . On vérifie que $C^{'} (3) = 10$ également — au minimum du coût moyen, coût moyen et coût marginal coïncident.

8.4 Équations différentielles linéaires à coefficients constants

iRemarqueTemps discret, temps continu

Les suites du premier semestre modélisaient une évolution par étapes ; les équations différentielles modélisent une évolution continue. Ce sont deux langages pour la même question — d'où viennent les mêmes notions d'équilibre et de convergence.

8.4.1 Premier ordre

◆Théorème 8.16Résolution de

y^{'} + a y = b (t)

Soit $a \in R$ et $b$ continue sur un intervalle $I$ .

Les solutions de l'équation homogène $y^{'} + a y = 0$ sont les fonctions $t \mapsto λ e^{- a t}$ , $λ \in R$ .
Les solutions de l'équation complète sont les $y = y_{p} + λ e^{- a t}$ , où $y_{p}$ est une solution particulière quelconque.

Lorsque $b$ est constante et $a \neq = 0$ , la fonction constante $y_{p} = \frac{b}{a}$ convient.

iRemarqueL'ensemble des solutions homogènes est stable

Il contient la fonction nulle et est stable par combinaison linéaire : c'est un sous-espace vectoriel, exactement comme l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène. La structure « solution particulière $+$ solutions homogènes » est la même dans les deux cas.

Exemple 8.17Un modèle d'ajustement

Un prix $p (t)$ s'ajuste vers son niveau d'équilibre $p ˉ$ à une vitesse proportionnelle à l'écart : $p^{'} (t) = - α (p (t) - p ˉ)$ avec $α > 0$ , soit $p^{'} + α p = α p ˉ$ . La solution est

$p (t) = p ˉ + (p (0) - p ˉ) e^{- α t} t \to + \infty p ˉ .$

Quel que soit le prix initial, le système converge vers l'équilibre, et d'autant plus vite que $α$ est grand.

8.4.2 Second ordre

◆Théorème 8.18Résolution de

y^{''} + a y^{'} + b y = c

On suppose que l'équation caractéristique $r^{2} + a r + b = 0$ a ses racines réelles.

Deux racines distinctes $r_{1} \neq = r_{2}$ : les solutions homogènes sont $t \mapsto λ e^{r_{1} t} + μ e^{r_{2} t}$ .
Racine double $r$ : les solutions homogènes sont $t \mapsto (λ + μ t) e^{r t}$ .

Les solutions de l'équation complète s'obtiennent en ajoutant une solution particulière. Si $b \neq = 0$ et si le second membre est la constante $c$ , la fonction constante $\frac{c}{b}$ convient.

AttentionRacines réelles seulement

Comme pour les suites récurrentes d'ordre $2$ , le cas d'un discriminant négatif n'est pas au programme de première année.

Proposition 8.19Principe de superposition

Si $y_{1}$ est solution de $y^{''} + a y^{'} + b y = c_{1} (t)$ et $y_{2}$ solution de $y^{''} + a y^{'} + b y = c_{2} (t)$ , alors $y_{1} + y_{2}$ est solution de $y^{''} + a y^{'} + b y = c_{1} (t) + c_{2} (t)$ .

8.4.3 Trajectoires et équilibre

Définition 8.20Trajectoire, équilibre

Une trajectoire est une solution particulière de l'équation, associée à des conditions initiales données. Une trajectoire d'équilibre est une trajectoire constante.

Proposition 8.21Unicité des trajectoires

Une trajectoire est entièrement déterminée par ses conditions initiales. Deux trajectoires distinctes ne se rencontrent donc jamais.

iRemarqueConvergence et équilibre

On constate sur les exemples que si une trajectoire converge lorsque $t \to + \infty$ , elle converge vers un équilibre. C'est intuitif : si $y (t)$ tend vers une limite $ℓ$ , alors $y^{'} (t)$ tend vers $0$ , et l'équation impose $a ℓ = b$ — la valeur de l'état stationnaire.

8.5 Intégration sur un segment

Définition 8.22Primitive

$F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F^{'} = f$ . Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.

◆Théorème 8.23Existence, admis

Toute fonction continue sur un intervalle y admet au moins une primitive.

Définition 8.24Intégrale

Soit $f$ continue sur $I$ et $F$ une primitive de $f$ . Pour $(a, b) \in I^{2}$ :

$\int_{a}^{b} f (t) d t = F (b) - F (a) .$

Cette valeur ne dépend pas de la primitive choisie, puisque deux primitives diffèrent d'une constante qui s'élimine dans la différence.

iRemarqueL'aire sous la courbe

Pour $f$ continue positive sur $[a, b]$ , cette intégrale est l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$ . La méthode des rectangles vue en terminale l'approche ; la fonction « aire depuis $a$ » admet précisément $f$ pour dérivée, ce qui fait le pont entre les deux définitions.

Proposition 8.25Propriétés

Pour $f, g$ continues sur $I$ , $λ, μ \in R$ et $a, b, c \in I$ :

$\int_{a}^{b} (λ f + μg) = λ \int_{a}^{b} f + μ \int_{a}^{b} g, \int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f (Chasles) .$

Si $a \leq b$ et $f \geq 0$ sur $[a, b]$ , alors $\int_{a}^{b} f \geq 0$ ; et si de plus $f$ est continue et $\int_{a}^{b} f = 0$ , alors $f$ est identiquement nulle sur $[a, b]$ .

◆Théorème 8.26Majoration, admis

Si $a \leq b$ :

$\int_{a}^{b} f (t) d t \leq \int_{a}^{b} ∣ f (t) ∣ d t .$

ImportantMajorer une intégrale

Deux techniques, à connaître toutes les deux : l'inégalité ci-dessus, et l'intégration d'une inégalité — si $m \leq f \leq M$ sur $[a, b]$ alors $m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f \leq M (b - a)$ . C'est souvent la seule façon d'encadrer une intégrale qu'on ne sait pas calculer.

8.5.1 Techniques de calcul

Proposition 8.27Primitives « à vue »

Le schéma le plus fréquent est celui de la dérivée d'une puissance composée :

$\int u^{'} (x) u (x)^{α} d x = \frac{u ( x ) ^{α + 1}}{α + 1} (α \neq = - 1), \int \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )} d x = ln ∣ u (x) ∣.$

De même $\int u^{'} (x) e^{u (x)} d x = e^{u (x)}$ .

◆Théorème 8.28Intégration par parties

Pour $u, v$ de classe $C^{1}$ sur $[a, b]$ :

$\int_{a}^{b} u^{'} (t) v (t) d t = [u (t) v (t)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u (t) v^{'} (t) d t .$

◆Théorème 8.29Changement de variable

Soit $φ$ de classe $C^{1}$ et strictement monotone sur $[α, β]$ , et $f$ continue. Alors

$\int_{φ (α)}^{φ (β)} f (x) d x = \int_{α}^{β} f (φ (t)) φ^{'} (t) d t .$

AttentionSans excès de technicité

Le programme demande explicitement d'éviter tout excès de technicité : les changements de variables autres qu'affines sont précisés dans l'énoncé. On ne cherche pas de substitution astucieuse par soi-même.

Exemple 8.30Une intégration par parties

$\int_{1}^{e} ln t d t = [t ln t]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} t \times \frac{1}{t} d t = e - (e - 1) = 1,$

en posant $u^{'} (t) = 1$ et $v (t) = ln t$ .

Python : Intégrer numériquement, et mesurer l'erreur


def rectangles(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    return h * sum(f(a + k * h) for k in range(n))

def trapezes(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    interieur = sum(f(a + k * h) for k in range(1, n))
    return h * (f(a) / 2 + interieur + f(b) / 2)

import math
for n in [10, 100, 1000]:
    print(n, rectangles(math.log, 1, math.e, n),
             trapezes(math.log, 1, math.e, n))

La valeur exacte est $1$ . Les rectangles gagnent un chiffre exact quand $n$ est multiplié par $10$ ; les trapèzes en gagnent deux. Multiplier les points ne remplace jamais une meilleure méthode.

8.6 L'essentiel du chapitre

Fiche de synthèse

$f (x + h) = f (x) + h f^{'} (x) + h ε (h)$ : approximation affine et tangente.
Accroissements finis : $∣ f^{'} ∣ \leq k \Rightarrow ∣ f (b) - f (a) ∣ \leq k ∣ b - a ∣$ . Avec $k < 1$ et un point fixe $ℓ$ : $∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq k^{n} ∣ u_{0} - ℓ ∣$ .
Stricte croissance : $f^{'} \geq 0$ s'annulant en un nombre fini de points suffit.
Extremum : $f^{'}$ s'annule en changeant de signe, sur un intervalle ouvert.
Convexe ( $C^{2}$ ) $⟺ f^{'}$ croissante $⟺ f^{''} \geq 0$ ; courbe sous ses cordes, au-dessus de ses tangentes. Si $f$ convexe et $f^{'} (x_{0}) = 0$ , alors minimum global.
$y^{'} + a y = b$ : homogène $λ e^{- a t}$ , plus une particulière. $y^{''} + a y^{'} + b y = c$ : équation caractéristique, racines réelles seulement.
Équilibre $=$ trajectoire constante ; une trajectoire qui converge converge vers un équilibre.
Intégrale $= F (b) - F (a)$ ; Chasles ; positivité ; $\int f \leq \int ∣ f ∣$ ; intégrer une inégalité pour encadrer.
À vue : $u^{'} u^{α}$ , $\frac{u ^{'}}{u}$ , $u^{'} e^{u}$ . IPP et changement de variable ( $C^{1}$ strictement monotone, indiqué dans l'énoncé).

Continuer sur Adloun : animation, QCM, fiches, exercices