Étude élémentaire des séries

Cours · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 9 · prépa ECG, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La série géométrique 1/2 + 1/4 + 1/8 + … remplit peu à peu un carré d'aire 1.

Une série n'est rien d'autre qu'une suite — celle de ses sommes partielles. Ce chapitre prolonge donc directement celui du premier semestre, et prépare le suivant : c'est une série qui définira l'espérance d'une variable aléatoire prenant une infinité de valeurs.

AttentionLe niveau d'exigence

Le programme est net : aucune technicité n'est exigible en première année. Les techniques de comparaison sur les séries à termes positifs sont renvoyées en deuxième année. On apprend ici à reconnaître les séries usuelles et à calculer leurs sommes.

9.1 Convergence d'une série

Définition 9.1Série, sommes partielles

Soit $(u_{n})_{n \geq n_{0}}$ une suite réelle. La série de terme général $u_{n}$ , notée $\sum_{n \geq n_{0}} u_{n}$ , est la suite $(S_{n})$ de ses sommes partielles :

$S_{n} = k = n_{0} \sum n u_{k} .$

Définition 9.2Convergence

La série $\sum u_{n}$ converge lorsque la suite $(S_{n})$ admet une limite finie. Cette limite est alors la somme de la série, notée $n = n_{0} \sum + \infty u_{n}$ . Sinon la série diverge.

ImportantTrois objets à ne pas confondre

$u_{n}$ est le terme général — un nombre. $\sum u_{n}$ désigne la série — un objet dont on étudie la nature. $\sum_{n = n_{0}}^{+ \infty} u_{n}$ est la somme — un nombre, qui n'existe que si la série converge. Écrire la somme avant d'avoir établi la convergence n'a pas de sens.

Proposition 9.3Combinaison linéaire

Si $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ convergent, alors pour tous $λ, μ \in R$ la série $\sum (λ u_{n} + μ v_{n})$ converge et

$n = n_{0} \sum + \infty (λ u_{n} + μ v_{n}) = λ n = n_{0} \sum + \infty u_{n} + μ n = n_{0} \sum + \infty v_{n} .$

Démonstration

Les sommes partielles de $\sum (λ u_{n} + μ v_{n})$ valent $λ S_{n} + μ T_{n}$ , où $(S_{n})$ et $(T_{n})$ sont celles de $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ . Les opérations sur les limites de suites concluent.

AttentionDeux séries divergentes peuvent avoir une somme convergente

La réciproque est fausse : $\sum \frac{1}{n}$ et $\sum (- \frac{1}{n})$ divergent toutes deux, mais leur somme terme à terme est la série nulle, qui converge. On ne peut donc pas « couper » une série convergente en deux morceaux sans précaution.

9.2 Le lien suite-série

Proposition 9.4Série télescopique

Soit $(u_{n})$ une suite. La série $\sum (u_{n + 1} - u_{n})$ converge si et seulement si la suite $(u_{n})$ converge, et l'on a alors

$n = n_{0} \sum + \infty (u_{n + 1} - u_{n}) = n \to + \infty lim u_{n} - u_{n_{0}} .$

Exercices du chapitre

Deux séries qui divergent corrigé
Converger sans qu'on sache vers quoi corrigé
La divergence harmonique, par paquets corrigé
Deux séries géométriques corrigé
Une série dérivée corrigé
Une série arithmético-géométrique corrigé

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