Étude élémentaire des séries

Cours complet · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 9 · prépa ECG, 1re année

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Une série n'est rien d'autre qu'une suite — celle de ses sommes partielles. Ce chapitre prolonge donc directement celui du premier semestre, et prépare le suivant : c'est une série qui définira l'espérance d'une variable aléatoire prenant une infinité de valeurs.

AttentionLe niveau d'exigence

Le programme est net : aucune technicité n'est exigible en première année. Les techniques de comparaison sur les séries à termes positifs sont renvoyées en deuxième année. On apprend ici à reconnaître les séries usuelles et à calculer leurs sommes.

9.1 Convergence d'une série

Définition 9.1Série, sommes partielles

Soit $(u_{n})_{n \geq n_{0}}$ une suite réelle. La série de terme général $u_{n}$ , notée $\sum_{n \geq n_{0}} u_{n}$ , est la suite $(S_{n})$ de ses sommes partielles :

$S_{n} = k = n_{0} \sum n u_{k} .$

Définition 9.2Convergence

La série $\sum u_{n}$ converge lorsque la suite $(S_{n})$ admet une limite finie. Cette limite est alors la somme de la série, notée $n = n_{0} \sum + \infty u_{n}$ . Sinon la série diverge.

ImportantTrois objets à ne pas confondre

$u_{n}$ est le terme général — un nombre. $\sum u_{n}$ désigne la série — un objet dont on étudie la nature. $\sum_{n = n_{0}}^{+ \infty} u_{n}$ est la somme — un nombre, qui n'existe que si la série converge. Écrire la somme avant d'avoir établi la convergence n'a pas de sens.

Proposition 9.3Combinaison linéaire

Si $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ convergent, alors pour tous $λ, μ \in R$ la série $\sum (λ u_{n} + μ v_{n})$ converge et

$n = n_{0} \sum + \infty (λ u_{n} + μ v_{n}) = λ n = n_{0} \sum + \infty u_{n} + μ n = n_{0} \sum + \infty v_{n} .$

Démonstration

Les sommes partielles de $\sum (λ u_{n} + μ v_{n})$ valent $λ S_{n} + μ T_{n}$ , où $(S_{n})$ et $(T_{n})$ sont celles de $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ . Les opérations sur les limites de suites concluent.

AttentionDeux séries divergentes peuvent avoir une somme convergente

La réciproque est fausse : $\sum \frac{1}{n}$ et $\sum (- \frac{1}{n})$ divergent toutes deux, mais leur somme terme à terme est la série nulle, qui converge. On ne peut donc pas « couper » une série convergente en deux morceaux sans précaution.

9.2 Le lien suite-série

Proposition 9.4Série télescopique

Soit $(u_{n})$ une suite. La série $\sum (u_{n + 1} - u_{n})$ converge si et seulement si la suite $(u_{n})$ converge, et l'on a alors

$n = n_{0} \sum + \infty (u_{n + 1} - u_{n}) = n \to + \infty lim u_{n} - u_{n_{0}} .$

Démonstration

La somme partielle se télescope :

$k = n_{0} \sum n (u_{k + 1} - u_{k}) = (u_{n_{0} + 1} - u_{n_{0}}) + (u_{n_{0} + 2} - u_{n_{0} + 1}) + \dots + (u_{n + 1} - u_{n}) = u_{n + 1} - u_{n_{0}} .$

Cette expression admet une limite finie exactement lorsque $(u_{n})$ converge.

ImportantUn outil dans les deux sens

Ce lien sert autant à étudier une série à partir d'une suite qu'à étudier une suite à partir d'une série. C'est aussi la seule méthode élémentaire pour calculer la somme exacte d'une série qui n'est pas usuelle : reconnaître un télescopage.

Exemple 9.5Une somme télescopique

Pour $n \geq 1$ , $\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ . Donc

$k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 1 )} = 1 - \frac{1}{n + 1} n \to + \infty 1.$

La série converge et sa somme vaut $1$ .

9.3 Séries à termes positifs, convergence absolue

Définition 9.6Série à termes positifs

$\sum u_{n}$ est à termes positifs lorsque $u_{n} \geq 0$ pour tout $n$ . Ses sommes partielles forment alors une suite croissante.

Proposition 9.7Critère de convergence

Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée. Sinon, $S_{n} \to + \infty$ .

Démonstration

$(S_{n})$ est croissante ; le théorème de la limite monotone donne l'alternative : majorée, elle converge ; non majorée, elle tend vers $+ \infty$ .

Définition 9.8Convergence absolue

$\sum u_{n}$ est absolument convergente lorsque la série $\sum ∣ u_{n} ∣$ converge.

◆Théorème 9.9Résultat admis

Toute série absolument convergente est convergente.

iRemarquePourquoi cette notion en première année

Le programme la mentionne pour une raison précise : elle permettra de définir l'espérance d'une variable aléatoire discrète prenant une infinité de valeurs. Sans convergence absolue, la somme dépendrait de l'ordre dans lequel on additionne les termes, ce qui n'aurait aucun sens pour une espérance.

9.4 Séries usuelles

◆Théorème 9.10Série géométrique et ses dérivées

Soit $q \in R$ avec $∣ q ∣ < 1$ . Les trois séries suivantes convergent et

$n = 0 \sum + \infty q^{n} = \frac{1}{1 - q}, n = 1 \sum + \infty n q^{n - 1} = \frac{1}{( 1 - q ) ^{2}}, n = 2 \sum + \infty n (n - 1) q^{n - 2} = \frac{2}{( 1 - q ) ^{3}} .$

Si $∣ q ∣ \geq 1$ , la série géométrique diverge.

Démonstration

Pour la première, la somme partielle vaut $\frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ , et $q^{n + 1} \to 0$ dès que $∣ q ∣ < 1$ . Les deux autres s'obtiennent en dérivant formellement la première une fois puis deux fois par rapport à $q$ — ce procédé est admis à ce stade. Si $∣ q ∣ \geq 1$ , le terme général ne tend pas vers $0$ et la série ne peut pas converger.

ImportantRetenir les trois, pas seulement la première

Les deux dernières sont exactement celles qui donneront l'espérance et la variance de la loi géométrique au chapitre suivant. Ce n'est pas un hasard si le programme les place ici.

◆Théorème 9.11Série exponentielle, résultat admis

Pour tout $x \in R$ , la série $\sum_{n \geq 0} \frac{x ^{n}}{n !}$ converge et

$n = 0 \sum + \infty \frac{x ^{n}}{n !} = e^{x} .$

iRemarqueElle aussi servira

La série exponentielle donnera l'espérance de la loi de Poisson. Notez que le cas $x = 1$ fournit $e = \sum \frac{1}{n !}$ , une écriture qui converge extrêmement vite : sept termes suffisent pour trois décimales exactes.

Proposition 9.12Condition nécessaire de convergence

Si $\sum u_{n}$ converge, alors $u_{n} \to 0$ .

Démonstration

$u_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ , et les deux sommes partielles tendent vers la même limite $S$ : la différence tend vers $0$ .

AttentionLa réciproque est fausse

$\frac{1}{n} \to 0$ , et pourtant la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ diverge. Le critère ne sert donc qu'à éliminer : si le terme général ne tend pas vers $0$ , la série diverge — mais s'il y tend, on n'a rien conclu.

Python : Calculer une somme, et savoir quand s'arrêter


def somme_exp(x, N):
    s, terme = 1.0, 1.0
    for n in range(1, N + 1):
        terme = terme * x / n      # on ne recalcule jamais x**n / n!
        s = s + terme
    return s

import math
for N in [3, 5, 10, 20]:
    print(N, somme_exp(1, N), math.e)

Deux remarques. On calcule chaque terme à partir du précédent : calculer $x^{n}$ et $n!$ séparément fabrique des nombres énormes pour un quotient minuscule. Et la boucle s'arrête à $N$ fixé : une somme infinie ne se calcule jamais, on l'approche — encore faut-il savoir que la série converge, ce que le programme ne dit pas.

9.5 L'essentiel du chapitre

Fiche de synthèse

Une série est la suite de ses sommes partielles. Ne pas confondre terme général, série et somme.
Télescopage : $\sum (u_{n + 1} - u_{n})$ converge $⟺$ $(u_{n})$ converge. Seule méthode élémentaire pour une somme exacte hors séries usuelles.
Termes positifs : converge $⟺$ sommes partielles majorées.
Convergence absolue $\Rightarrow$ convergence (admis). Sert à définir l'espérance.
Géométriques ( $∣ q ∣ < 1$ ) : $\sum q^{n} = \frac{1}{1 - q}$ , $\sum n q^{n - 1} = \frac{1}{( 1 - q ) ^{2}}$ , $\sum n (n - 1) q^{n - 2} = \frac{2}{( 1 - q ) ^{3}}$ .
Exponentielle : $\sum \frac{x ^{n}}{n !} = e^{x}$ .
$\sum u_{n}$ converge $\Rightarrow u_{n} \to 0$ . La réciproque est fausse : $\sum \frac{1}{n}$ diverge.

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