Probabilités — variables aléatoires réelles

Cours · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 10 · prépa ECG, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La loi d'une variable aléatoire discrète, en bâtons, et son espérance.

Ce chapitre généralise l'étude du premier semestre à des univers qui ne sont plus nécessairement finis, et introduit l'objet central de toute la suite : la variable aléatoire. Une variable aléatoire n'est ni une variable, ni aléatoire — c'est une fonction, qui associe un nombre à chaque issue de l'expérience. Ce nom malheureux est universel ; il faut faire avec.

AttentionLe niveau d'exigence

Le programme demande de généraliser sans soulever de difficulté théorique. En particulier : le mot tribu n'est pas employé, démontrer qu'une application est une variable aléatoire n'est pas exigible, et les questions d'ordre de sommation ou de dénombrabilité ne sont pas soulevées.

10.1 Espace probabilisé

Définition 10.1Espace probabilisé

On note $(Ω, A, P)$ un espace probabilisé : $Ω$ est l'univers des issues, $A$ l'ensemble des événements, et $P$ une probabilité. L'ensemble $A$ contient $Ω$ , et est stable par passage au complémentaire, par union et par intersection dénombrables.

Définition 10.2Système complet dénombrable

Une famille $(A_{i})_{i \in I}$ , $I$ fini ou dénombrable, est un système complet d'événements si les $A_{i}$ sont deux à deux incompatibles et si leur réunion vaut $Ω$ .

◆Théorème 10.3Formules généralisées

Toutes les formules du premier semestre s'étendent aux systèmes complets dénombrables. En particulier, pour $(A_{i})_{i \in I}$ système complet d'événements de probabilités non nulles et $B$ un événement :

$P (B) = i \in I \sum P_{A_{i}} (B) P (A_{i}) (probabilit e ˊ s totales),$

et la formule de Bayes s'en déduit comme au premier semestre.

Définition 10.4Indépendance d'une suite infinie

Une suite $(A_{n})_{n \in N}$ d'événements est mutuellement indépendante si pour toute partie finie $J$ de $N$ :

$P (i \in J ⋂ A_{i}) = i \in J \prod P (A_{i}) .$

10.2 Variables aléatoires réelles

Définition 10.5Variable aléatoire réelle

Une variable aléatoire réelle sur $(Ω, A)$ est une application $X : Ω \to R$ telle que pour tout $x \in R$ , ${ω \in Ω ∣ X (ω) \leq x} \in A$ .

ImportantLes notations, à maîtriser absolument

On écrit $[X \leq x]$ , $[X = x]$ , $[X \in I]$ pour désigner les événements ${ω ∣ X (ω) \leq x}$ , etc. Ces crochets ne sont pas décoratifs : $[X = x]$ est un événement, donc une partie de $Ω$ , et $P (X = x)$ a un sens. La confusion entre la variable $X$ , ses valeurs $x$ et les événements $[X = x]$ est la source d'erreurs la plus fréquente du chapitre.

Proposition 10.6Système complet associé

Si $X (Ω) = {x_{i} ∣ i \in I}$ , la famille $([X = x_{i}])_{i \in I}$ est un système complet d'événements : $X$ prend exactement une valeur pour chaque issue.

10.3 Variables aléatoires discrètes

Définition 10.7Variable aléatoire discrète

$X$ est discrète si l'ensemble $X (Ω)$ de ses valeurs peut être indexé par une partie finie ou infinie de $N$ .

Définition 10.8Loi d'une variable aléatoire discrète

La loi de $X$ est la donnée des $P (X = x)$ pour $x \in X (Ω)$ . Ces nombres sont positifs et de somme $1$ .

Proposition 10.9Loi de

Y = g (X)

Si $g$ est définie sur $X (Ω)$ , alors $Y = g (X)$ est une variable aléatoire discrète et, pour tout $y \in Y (Ω)$ :

$P (Y = y) = x \in X (Ω), g (x) = y \sum P (X = x) .$

Exemple 10.10Un carré fait fusionner des valeurs

Si $X$ prend les valeurs $- 1, 0, 1$ avec probabilités $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ , alors $Y = X^{2}$ prend les valeurs $0$ et $1$ , avec $P (Y = 0) = \frac{1}{2}$ et $P (Y = 1) = P (X = - 1) + P (X = 1) = \frac{1}{2}$ . Deux valeurs de $X$ se sont regroupées : c'est le cas général quand $g$ n'est pas injective.

10.3.1 Espérance

Définition 10.11Espérance

Si $X (Ω)$ est fini, l'espérance de $X$ est

$E (X) = x \in X (Ω) \sum x P (X = x) .$

Si $X (Ω)$ est infini, $X$ admet une espérance si et seulement si la série $\sum x P (X = x)$ est absolument convergente, et l'espérance est alors sa somme.

Exercices du chapitre

Espérance et variance d'une loi finie corrigé
Une image, de deux façons corrigé
Recalibrer une note corrigé
$E (X) = n p$ sans aucune somme corrigé
La somme de deux dés corrigé
Une loi binomiale corrigé

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