Probabilités — variables aléatoires réelles

Cours complet · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 10 · prépa ECG, 1re année

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Ce chapitre généralise l'étude du premier semestre à des univers qui ne sont plus nécessairement finis, et introduit l'objet central de toute la suite : la variable aléatoire. Une variable aléatoire n'est ni une variable, ni aléatoire — c'est une fonction, qui associe un nombre à chaque issue de l'expérience. Ce nom malheureux est universel ; il faut faire avec.

AttentionLe niveau d'exigence

Le programme demande de généraliser sans soulever de difficulté théorique. En particulier : le mot tribu n'est pas employé, démontrer qu'une application est une variable aléatoire n'est pas exigible, et les questions d'ordre de sommation ou de dénombrabilité ne sont pas soulevées.

10.1 Espace probabilisé

Définition 10.1Espace probabilisé

On note $(Ω, A, P)$ un espace probabilisé : $Ω$ est l'univers des issues, $A$ l'ensemble des événements, et $P$ une probabilité. L'ensemble $A$ contient $Ω$ , et est stable par passage au complémentaire, par union et par intersection dénombrables.

Définition 10.2Système complet dénombrable

Une famille $(A_{i})_{i \in I}$ , $I$ fini ou dénombrable, est un système complet d'événements si les $A_{i}$ sont deux à deux incompatibles et si leur réunion vaut $Ω$ .

◆Théorème 10.3Formules généralisées

Toutes les formules du premier semestre s'étendent aux systèmes complets dénombrables. En particulier, pour $(A_{i})_{i \in I}$ système complet d'événements de probabilités non nulles et $B$ un événement :

$P (B) = i \in I \sum P_{A_{i}} (B) P (A_{i}) (probabilit e ˊ s totales),$

et la formule de Bayes s'en déduit comme au premier semestre.

Définition 10.4Indépendance d'une suite infinie

Une suite $(A_{n})_{n \in N}$ d'événements est mutuellement indépendante si pour toute partie finie $J$ de $N$ :

$P (i \in J ⋂ A_{i}) = i \in J \prod P (A_{i}) .$

10.2 Variables aléatoires réelles

Définition 10.5Variable aléatoire réelle

Une variable aléatoire réelle sur $(Ω, A)$ est une application $X : Ω \to R$ telle que pour tout $x \in R$ , ${ω \in Ω ∣ X (ω) \leq x} \in A$ .

ImportantLes notations, à maîtriser absolument

On écrit $[X \leq x]$ , $[X = x]$ , $[X \in I]$ pour désigner les événements ${ω ∣ X (ω) \leq x}$ , etc. Ces crochets ne sont pas décoratifs : $[X = x]$ est un événement, donc une partie de $Ω$ , et $P (X = x)$ a un sens. La confusion entre la variable $X$ , ses valeurs $x$ et les événements $[X = x]$ est la source d'erreurs la plus fréquente du chapitre.

Proposition 10.6Système complet associé

Si $X (Ω) = {x_{i} ∣ i \in I}$ , la famille $([X = x_{i}])_{i \in I}$ est un système complet d'événements : $X$ prend exactement une valeur pour chaque issue.

10.3 Variables aléatoires discrètes

Définition 10.7Variable aléatoire discrète

$X$ est discrète si l'ensemble $X (Ω)$ de ses valeurs peut être indexé par une partie finie ou infinie de $N$ .

Définition 10.8Loi d'une variable aléatoire discrète

La loi de $X$ est la donnée des $P (X = x)$ pour $x \in X (Ω)$ . Ces nombres sont positifs et de somme $1$ .

Proposition 10.9Loi de

Y = g (X)

Si $g$ est définie sur $X (Ω)$ , alors $Y = g (X)$ est une variable aléatoire discrète et, pour tout $y \in Y (Ω)$ :

$P (Y = y) = x \in X (Ω), g (x) = y \sum P (X = x) .$

Exemple 10.10Un carré fait fusionner des valeurs

Si $X$ prend les valeurs $- 1, 0, 1$ avec probabilités $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ , alors $Y = X^{2}$ prend les valeurs $0$ et $1$ , avec $P (Y = 0) = \frac{1}{2}$ et $P (Y = 1) = P (X = - 1) + P (X = 1) = \frac{1}{2}$ . Deux valeurs de $X$ se sont regroupées : c'est le cas général quand $g$ n'est pas injective.

10.3.1 Espérance

Définition 10.11Espérance

Si $X (Ω)$ est fini, l'espérance de $X$ est

$E (X) = x \in X (Ω) \sum x P (X = x) .$

Si $X (Ω)$ est infini, $X$ admet une espérance si et seulement si la série $\sum x P (X = x)$ est absolument convergente, et l'espérance est alors sa somme.

iRemarquePourquoi l'absolue convergence

C'est la raison d'être de cette notion, rencontrée au chapitre sur les séries. Sans elle, la somme dépendrait de l'ordre dans lequel on énumère les valeurs — ce qui n'aurait aucun sens pour une moyenne. Et il existe bel et bien des variables aléatoires sans espérance.

◆Théorème 10.12Linéarité et positivité, admis

Si $X$ et $Y$ admettent une espérance, alors pour tous réels $a, b$ :

$E (a X + bY) = a E (X) + b E (Y), et X \geq 0 ⟹ E (X) \geq 0.$

En particulier $E (a X + b) = a E (X) + b$ .

Définition 10.13Variable centrée

$X$ est centrée si $E (X) = 0$ . Pour toute $X$ admettant une espérance, $X - E (X)$ est centrée.

◆Théorème 10.14Théorème de transfert, admis

Soit $g$ définie sur $X (Ω)$ . Alors $g (X)$ admet une espérance si et seulement si la série $\sum g (x) P (X = x)$ converge absolument, et dans ce cas

$E (g (X)) = x \in X (Ω) \sum g (x) P (X = x) .$

ImportantCe que le transfert évite

Sans lui, calculer $E (X^{2})$ exigerait de déterminer d'abord la loi de $X^{2}$ . Le théorème permet de sommer directement $\sum x^{2} P (X = x)$ en utilisant la loi de $X$ . C'est le résultat le plus utilisé du chapitre.

10.3.2 Variance

Définition 10.15Variance, écart-type

Si $X$ admet une espérance $m$ et si $(X - m)^{2}$ admet une espérance, on pose

$V (X) = E [(X - m)^{2}], σ (X) = V (X) .$

◆Théorème 10.16Formule de Kœnig-Huygens

$V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} .$

Démonstration

Par le théorème de transfert et la linéarité :

$E [(X - m)^{2}] = E [X^{2} - 2 m X + m^{2}] = E (X^{2}) - 2 m E (X) + m^{2} = E (X^{2}) - m^{2} .$

Proposition 10.17Transformation affine

$V (a X + b) = a^{2} V (X)$ et $σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X)$ .

iRemarqueLe

b

disparaît

Translater une variable ne change pas sa dispersion — c'est cohérent avec l'intuition, et avec ce qui avait été observé sur les séries statistiques.

Définition 10.18Variable centrée réduite

Si $σ (X) \neq = 0$ , la variable centrée réduite associée à $X$ est

$X^{⋆} = \frac{X - E ( X )}{σ ( X )},$

qui vérifie $E (X^{⋆}) = 0$ et $V (X^{⋆}) = 1$ .

10.4 Lois usuelles finies

Définition 10.19Loi certaine

$X$ suit une loi certaine si elle ne prend qu'une valeur $c$ avec probabilité $1$ . Alors $E (X) = c$ et $V (X) = 0$ .

Proposition 10.20Caractérisation par la variance

$V (X) = 0$ si et seulement si $X$ suit une loi certaine.

Définition 10.21Loi de Bernoulli

$X ↪ B (p)$ si $X (Ω) = {0, 1}$ avec $P (X = 1) = p$ et $P (X = 0) = 1 - p$ . Alors

$E (X) = p, V (X) = p (1 - p) .$

Démonstration

$E (X) = 0 \times (1 - p) + 1 \times p = p$ . Comme $X^{2} = X$ (les valeurs sont $0$ et $1$ ), $E (X^{2}) = p$ et Kœnig-Huygens donne $V (X) = p - p^{2} = p (1 - p)$ .

Définition 10.22Loi binomiale

$X ↪ B (n, p)$ compte le nombre de succès en $n$ répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ :

$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}, 0 \leq k \leq n,$

et $E (X) = n p$ , $V (X) = n p (1 - p)$ .

iRemarqueLa loi binomiale redonne le binôme de Newton

La somme des probabilités vaut $1$ , ce qui s'écrit

$k = 0 \sum n (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k} = 1 = (p + (1 - p))^{n} .$

Plus généralement, pour $a, b > 0$ , en posant $p = \frac{a}{a + b}$ on retrouve $(a + b)^{n} = \sum_{k} (k n) a^{k} b^{n - k}$ : la formule du binôme est une conséquence de ce que les probabilités d'une loi somment à $1$ .

Définition 10.23Loi uniforme

$X ↪ U ([[1, n]])$ si $P (X = k) = \frac{1}{n}$ pour $1 \leq k \leq n$ . Alors

$E (X) = \frac{n + 1}{2}, V (X) = \frac{n ^{2} - 1}{12} .$

Plus généralement, pour $X ↪ U ([[a, b]])$ : $E (X) = \frac{a + b}{2}$ et $V (X) = \frac{( b - a + 1 ) ^{2} - 1}{12}$ .

Démonstration

$E (X) = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} k = \frac{1}{n} \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{n + 1}{2}$ , et $E (X^{2}) = \frac{1}{n} \cdot \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} = \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$ . Kœnig-Huygens donne alors $V (X) = \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} - \frac{( n + 1 ) ^{2}}{4} = \frac{n ^{2} - 1}{12}$ . Le cas $[[a, b]]$ s'obtient par la transformation affine $X = (a - 1) + U$ avec $U ↪ U ([[1, b - a + 1]])$ .

10.5 Lois usuelles infinies

Définition 10.24Loi géométrique

$X ↪ G (p)$ ( $0 < p < 1$ ) est le rang d'apparition du premier succès dans une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$ :

$\forall k \in N^{*}, P (X = k) = p (1 - p)^{k - 1} .$

◆Théorème 10.25Moments de la loi géométrique

Si $X ↪ G (p)$ , alors $X$ admet une espérance et une variance, et

$E (X) = \frac{1}{p}, V (X) = \frac{1 - p}{p ^{2}} .$

Démonstration

Posons $q = 1 - p$ , avec $∣ q ∣ < 1$ . Alors

$E (X) = k = 1 \sum + \infty k p q^{k - 1} = p k = 1 \sum + \infty k q^{k - 1} = p \cdot \frac{1}{( 1 - q ) ^{2}} = \frac{p}{p ^{2}} = \frac{1}{p},$

en utilisant la série $\sum k q^{k - 1}$ du chapitre 9. Pour la variance, on calcule $E [X (X - 1)] = p q \sum_{k \geq 2} k (k - 1) q^{k - 2} = pq \cdot \frac{2}{p ^{3}} = \frac{2 q}{p ^{2}}$ , d'où $E (X^{2}) = \frac{2 q}{p ^{2}} + \frac{1}{p}$ et $V (X) = \frac{2 q}{p ^{2}} + \frac{1}{p} - \frac{1}{p ^{2}} = \frac{q}{p ^{2}}$ .

ImportantLes trois séries du chapitre 9 servent ici

$\sum q^{n}$ , $\sum n q^{n - 1}$ et $\sum n (n - 1) q^{n - 2}$ donnent respectivement la somme des probabilités, l'espérance et la variance. C'est pour ce calcul-là que le programme les avait placées au chapitre précédent.

iRemarqueSans mémoire

La loi géométrique modélise une attente sans mémoire : sachant qu'on a déjà échoué $n$ fois, la loi du nombre d'essais restants est encore $G (p)$ . Le passé n'informe pas l'avenir — ce qui est vrai d'un dé, et faux d'une machine qui s'use.

Définition 10.26Loi de Poisson

$X ↪ P (λ)$ ( $λ > 0$ ) si $X (Ω) = N$ et

$P (X = k) = e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !} .$

◆Théorème 10.27Moments de la loi de Poisson

$E (X) = λ$ et $V (X) = λ$ .

Démonstration

La somme des probabilités vaut $e^{- λ} \sum_{k} \frac{λ ^{k}}{k !} = e^{- λ} e^{λ} = 1$ , par la série exponentielle. Ensuite

$E (X) = k \geq 1 \sum k e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !} = λ e^{- λ} k \geq 1 \sum \frac{λ ^{k - 1}}{( k - 1 )!} = λ .$

De même $E [X (X - 1)] = λ^{2}$ , d'où $E (X^{2}) = λ^{2} + λ$ et $V (X) = λ$ .

iRemarqueEspérance et variance égales

C'est la signature de la loi de Poisson. Sur des données réelles, un rapport $\frac{variance}{moyenne}$ proche de $1$ suggère un modèle de Poisson ; nettement supérieur à $1$ , il l'exclut.

ImportantContexte d'utilisation

La loi de Poisson compte des événements rares survenant indépendamment pendant une durée fixée : appels reçus par un standard, sinistres déclarés à un assureur, clients arrivant à un guichet. On remarquera qu'elle est la loi « limite » d'une suite de lois binomiales $B (n, \frac{λ}{n})$ — beaucoup d'épreuves, chacune de très faible probabilité. Cette notion de limite sera précisée en deuxième année.

Python : Simuler une loi, vérifier ses moments


import numpy as np
rng = np.random.default_rng(0)

def geometrique(p, taille):
    """Rang du premier succes, simule sans utiliser rng.geometric."""
    X = np.ones(taille, dtype=int)
    encore = rng.random(taille) >= p          # ceux qui ont echoue
    while encore.any():
        X[encore] += 1
        encore[encore] = rng.random(encore.sum()) >= p
    return X

p = 0.2
X = geometrique(p, 200_000)
print(X.mean(), 1 / p)                  #  5.0
print(X.var(),  (1 - p) / p ** 2)       #  20.0

La moyenne empirique approche $\frac{1}{p}$ et la variance empirique $\frac{1 - p}{p ^{2}}$ . Un écart persistant signalerait une erreur — de calcul ou de modèle. C'est ainsi qu'on se relit.

10.6 L'essentiel du chapitre

Fiche de synthèse

$[X = x]$ est un événement. Ne pas confondre $X$ , ses valeurs et ces événements.
Espérance : $\sum x P (X = x)$ , sous réserve de convergence absolue si $X (Ω)$ est infini.
Transfert : $E (g (X)) = \sum g (x) P (X = x)$ — sans calculer la loi de $g (X)$ .
Kœnig-Huygens : $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ ; $E (a X + b) = a E (X) + b$ ; $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ .
Bernoulli $B (p)$ : $p$ ; $p (1 - p)$ .
Binomiale $B (n, p)$ : $n p$ ; $n p (1 - p)$ .
Uniforme $U ([[1, n]])$ : $\frac{n + 1}{2}$ ; $\frac{n ^{2} - 1}{12}$ .
Géométrique $G (p)$ : $P (X = k) = p (1 - p)^{k - 1}$ ; $\frac{1}{p}$ ; $\frac{1 - p}{p ^{2}}$ . Sans mémoire.
Poisson $P (λ)$ : $e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !}$ ; espérance $=$ variance $= λ$ . Événements rares.

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