Variables aléatoires à densité

Cours complet · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 11 · prépa ECG, 2e année

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Toutes les variables aléatoires rencontrées jusqu'ici étaient discrètes : elles prenaient un nombre fini ou dénombrable de valeurs, et leur loi se donnait par une liste de $P (X = k)$ . Or une durée d'attente, un rendement, une erreur de mesure prennent leurs valeurs dans un intervalle entier, et la probabilité qu'elles vaillent exactement $2, 5$ est nulle.

Il faut donc un autre objet. Ce sera la densité : une fonction dont l'aire, et non la valeur, donne les probabilités. Le chapitre 6 a fourni les intégrales généralisées qui la rendent possible.

AttentionLes calculs se font sur un segment

Toutes les intégrales de ce chapitre sont généralisées, et le programme est formel : « les techniques de calcul ne seront pratiquées qu'avec des intégrales sur un segment ». On intègre donc de $a$ à $x$ , puis on fait tendre $x$ vers l'infini.

11.1 Densité et fonction de répartition

Définition 11.1Variable aléatoire à densité

$X$ est une variable aléatoire à densité lorsque sa fonction de répartition $F_{X}$ est continue sur $R$ et de classe $C^{1}$ sur $R$ éventuellement privé d'un ensemble fini de points. Toute fonction $f_{X}$ positive qui ne diffère de $F_{X}^{'}$ qu'en un nombre fini de points est une densité de $X$ , et

$F_{X} (x) = \int_{- \infty}^{x} f_{X} (t) d t .$

◆Théorème 11.2Reconnaître une densité

Toute fonction $f$ positive, continue sur $R$ sauf en un nombre fini de points, et telle que $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) d t = 1$ , est la densité d'une variable aléatoire.

◆Théorème 11.3Probabilités et densité

Pour tous réels $a < b$ :

$P ([a ⩽ X ⩽ b]) = \int_{a}^{b} f_{X} (t) d t = F_{X} (b) - F_{X} (a), P ([X = a]) = 0.$

ImportantLes inégalités strictes n'importent plus

Puisque $P ([X = a]) = 0$ , les écritures $P (a < X < b)$ , $P (a ⩽ X < b)$ , $P (a < X ⩽ b)$ et $P (a ⩽ X ⩽ b)$ ont toutes la même valeur. C'est un allègement considérable par rapport au cas discret.

◆Théorème 11.4Transformation affine

Si $X$ est à densité et $Y = a X + b$ avec $a \neq = 0$ , alors $Y$ est à densité et

$f_{Y} (t) = \frac{1}{∣ a ∣} f_{X} (\frac{t - b}{a}) .$

ImportantOn passe toujours par la fonction de répartition

Pour trouver la loi de $Y = φ (X)$ , on n'attaque jamais la densité directement. On écrit $F_{Y} (t) = P ([φ (X) ⩽ t])$ , on résout l'inégalité pour se ramener à un événement sur $X$ , on lit $F_{X}$ , et l'on dérive en dernier. C'est le seul chemin, et il vaut pour $X^{2}$ , $e^{X}$ , ou n'importe quoi d'autre.

11.2 Espérance et variance

Définition 11.5Espérance

$X$ de densité $f_{X}$ admet une espérance si et seulement si $\int_{- \infty}^{+ \infty} t f_{X} (t) d t$ converge absolument, et alors $E (X)$ est cette intégrale. $X$ est centrée si $E (X) = 0$ .

◆Théorème 11.6Théorème de transfert

Si $f_{X}$ est nulle hors de $] a, b [$ et si $g$ est continue sur $] a, b [$ sauf en un nombre fini de points, alors $g (X)$ admet une espérance si et seulement si $\int_{a}^{b} g (t) f_{X} (t) d t$ converge absolument, et $E (g (X)) = \int_{a}^{b} g (t) f_{X} (t) d t$ .

Définition 11.7Variance

$V (X) = E ((X - E (X))^{2}) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ , et $σ (X) = V (X)$ . $X$ est centrée réduite si $E (X) = 0$ et $V (X) = 1$ .

AttentionUne variable peut n'avoir ni espérance ni variance

La convergence de $\int f_{X} = 1$ ne garantit rien sur $\int t f_{X}$ . Il existe des lois parfaitement définies sans espérance — l'exercice 8 en donne une. Toujours justifier l'existence avant de calculer.

11.3 Les trois lois usuelles

11.3.1 Loi uniforme

Définition 11.8Loi uniforme

$X ↪ U [a, b]$ lorsque $f_{X} (t) = \frac{1}{b - a}$ sur $[a, b]$ et $0$ ailleurs. Alors

$E (X) = \frac{a + b}{2}, V (X) = \frac{( b - a ) ^{2}}{12} .$

11.3.2 Loi exponentielle

Définition 11.9Loi exponentielle

$X ↪ E (λ)$ , $λ > 0$ , lorsque $f_{X} (t) = λ e^{- λ t}$ pour $t ⩾ 0$ et $0$ sinon. Alors $F_{X} (t) = 1 - e^{- λ t}$ sur $[0, + \infty [$ ,

$E (X) = \frac{1}{λ}, V (X) = \frac{1}{λ ^{2}} .$

◆Théorème 11.10Absence de mémoire

$X ↪ E (λ)$ si et seulement si $X$ est une variable à densité, positive, vérifiant

$\forall (s, t) \in (R_{+})^{2}, P ([X > s + t] ∣ [X > s]) = P ([X > t]) .$

11.3.3 Loi normale

Définition 11.11Loi normale

$X ↪ N (μ, σ^{2})$ , $σ > 0$ , lorsque

$f_{X} (t) = \frac{1}{σ 2 π} exp (- \frac{( t - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}) .$

Alors $E (X) = μ$ et $V (X) = σ^{2}$ . On note $Φ$ la fonction de répartition de $N (0, 1)$ .

◆Théorème 11.12Les trois faits à savoir

$X ↪ N (μ, σ^{2}) ⟺ X^{*} = \frac{X - μ}{σ} ↪ N (0, 1)$ .
$Φ (- x) = 1 - Φ (x)$ pour tout réel $x$ .
Une somme de variables indépendantes suivant des lois normales suit une loi normale.

11.4 Transferts et méthode d'inversion

ImportantSimuler une loi exponentielle avec un tirage uniforme

Soit $Y ↪ U [0, 1 [$ et $λ > 0$ . Posons

$X = - \frac{1}{λ} ln (1 - Y) .$

Alors $X ↪ E (λ)$ .

Démonstration

Pour $t ⩾ 0$ , comme $- \frac{1}{λ} ln (1 - Y) ⩽ t$ équivaut à $ln (1 - Y) ⩾ - λ t$ , puis à $1 - Y ⩾ e^{- λ t}$ , puis à $Y ⩽ 1 - e^{- λ t}$ :

$F_{X} (t) = P ([Y ⩽ 1 - e^{- λ t}]) = 1 - e^{- λ t},$

puisque $Y$ est uniforme sur $[0, 1 [$ . C'est la fonction de répartition de $E (λ)$ .

◆Théorème 11.13Deux transformées affines à connaître

$X ↪ U [0, 1] ⟺ a + (b - a) X ↪ U [a, b] (a < b),$

$X ↪ N (m, σ^{2}) ⟺ a X + b ↪ N (am + b, a^{2} σ^{2}) (a \neq = 0) .$

Python : Simuler par inversion, et vérifier


import random, math

random.seed(0)
lam, N = 1.5, 200000
ech = [-math.log(1 - random.random())/lam for _ in range(N)]

moy = sum(ech)/N
var = sum((x - moy)**2 for x in ech)/N
print(round(moy, 4), round(var, 4))     # proche de 0.6667 et 0.4444
print(round(1/lam, 4), round(1/lam**2, 4))

On ne dispose que d'un générateur uniforme, et l'on en tire une loi exponentielle : c'est exactement la méthode d'inversion du cours. Les deux premiers moments confirment le résultat — sans le démontrer.

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