Variables aléatoires à densité

Cours · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 11 · prépa ECG, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La courbe en cloche d'une loi normale, avec l'aire comprise entre μ − σ et μ + σ.

Toutes les variables aléatoires rencontrées jusqu'ici étaient discrètes : elles prenaient un nombre fini ou dénombrable de valeurs, et leur loi se donnait par une liste de $P (X = k)$ . Or une durée d'attente, un rendement, une erreur de mesure prennent leurs valeurs dans un intervalle entier, et la probabilité qu'elles vaillent exactement $2, 5$ est nulle.

Il faut donc un autre objet. Ce sera la densité : une fonction dont l'aire, et non la valeur, donne les probabilités. Le chapitre 6 a fourni les intégrales généralisées qui la rendent possible.

AttentionLes calculs se font sur un segment

Toutes les intégrales de ce chapitre sont généralisées, et le programme est formel : « les techniques de calcul ne seront pratiquées qu'avec des intégrales sur un segment ». On intègre donc de $a$ à $x$ , puis on fait tendre $x$ vers l'infini.

11.1 Densité et fonction de répartition

Définition 11.1Variable aléatoire à densité

$X$ est une variable aléatoire à densité lorsque sa fonction de répartition $F_{X}$ est continue sur $R$ et de classe $C^{1}$ sur $R$ éventuellement privé d'un ensemble fini de points. Toute fonction $f_{X}$ positive qui ne diffère de $F_{X}^{'}$ qu'en un nombre fini de points est une densité de $X$ , et

$F_{X} (x) = \int_{- \infty}^{x} f_{X} (t) d t .$

◆Théorème 11.2Reconnaître une densité

Toute fonction $f$ positive, continue sur $R$ sauf en un nombre fini de points, et telle que $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) d t = 1$ , est la densité d'une variable aléatoire.

◆Théorème 11.3Probabilités et densité

Pour tous réels $a < b$ :

$P ([a ⩽ X ⩽ b]) = \int_{a}^{b} f_{X} (t) d t = F_{X} (b) - F_{X} (a), P ([X = a]) = 0.$

ImportantLes inégalités strictes n'importent plus

Puisque $P ([X = a]) = 0$ , les écritures $P (a < X < b)$ , $P (a ⩽ X < b)$ , $P (a < X ⩽ b)$ et $P (a ⩽ X ⩽ b)$ ont toutes la même valeur. C'est un allègement considérable par rapport au cas discret.

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