Convergences, approximations et estimation
Cours · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 12 · prépa ECG, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun
Un sondage interroge mille personnes et annonce un pourcentage « à deux points près ». D'où vient cette précision, et que veut dire « près » ? Ce chapitre y répond, et il boucle l'année : la moyenne d'un grand échantillon se rapproche de l'espérance — c'est la loi faible des grands nombres — et l'écart suit approximativement une loi normale — c'est le théorème limite central.
De là découle toute la statistique inférentielle : estimer un paramètre inconnu, et dire avec quelle confiance.
Le programme précise que ce chapitre « ne doit pas faire l'objet d'un exposé théorique » et que « toutes les indications devront être fournies aux candidats quant à la justification de l'utilisation des approximations ». On apprend à s'en servir, pas à les démontrer.
12.1 Deux inégalités
Si est une variable aléatoire positive admettant une espérance, alors
Si admet un moment d'ordre , alors
Bienaymé-Tchebychev ne suppose rien sur la loi de — d'où sa généralité, et sa faiblesse : pour une loi normale, elle majore par , alors que la vraie valeur est . On s'en sert quand on ne sait rien, et l'on passe au théorème limite central dès qu'on peut.
12.2 Loi faible des grands nombres
Soit une suite de variables aléatoires indépendantes, de même espérance et de même variance. Posons . Alors
Démonstration
et par indépendance. Bienaymé-Tchebychev donne
Exercices du chapitre
- Markov en action corrigé
- Bienaymé-Tchebychev corrigé
- Une majoration qu'on ne peut pas resserrer corrigé
- La loi faible des grands nombres corrigé
- Combien de lancers ? corrigé
- Convergence en loi corrigé