Espaces Probabilisés et Variables Aléatoires Discrètes

Cours · mathématiques (PSI), chapitre 11 · CPGE PSI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La loi d'une variable aléatoire discrète, en bâtons, et son espérance.

11.1 Introduction et vue d'ensemble

L'extension du calcul des probabilités aux univers quelconques et aux variables aléatoires discrètes à valeurs dans un ensemble infini (typiquement $N$ ou $Z$ ) constitue l'un des piliers de l'analyse moderne en classe de PSI / PSI*. Ce cadre unificateur formalise l'étude des temps d'attente d'événements aléatoires (processus de Poisson, files d'attente, télécommunications, algorithmes stochastiques) et la concentration des moyennes empiriques vers les grandeurs théoriques (loi faible des grands nombres).

La théorie repose sur l'axiomatique de Kolmogorov (espace probabilisé $(Ω, A, P)$ , $σ$ -additivité), les théorèmes fondamentaux de continuité de la mesure, l'étude rigoureuse de l'indépendance (lemme des coalitions), les outils de sommation infinie (familles sommables, formule de transfert, théorème de Fubini), les fonctions génératrices et les inégalités de concentration.

Figure : La formule des probabilités totales. Les événements

A_{0}, A_{1}, A_{2}, \dots

forment un système complet : deux à deux disjoints, ils recouvrent l'univers. L'événement $B$ se découpe alors en les morceaux $B \cap A_{n}$ , eux aussi deux à deux disjoints, et la $σ$ -additivité donne $P (B) = \sum_{n} P (B \cap A_{n}) = \sum_{n} P (B ∣ A_{n}) P (A_{n})$ . Tout le travail consiste à choisir le découpage pour lequel les $P (B ∣ A_{n})$ sont

connues.

11.2 Ensembles Dénombrables et Familles Sommables

Cette section est un préalable technique, mais elle n'est pas un détour. Dès que l'univers cesse d'être fini — et il le cesse dès qu'on attend le premier succès d'une série d'épreuves —, additionner des probabilités devient additionner une infinité de termes, et il faut savoir dans quel ordre. La réponse du programme est qu'il n'y a pas d'ordre : une famille indexée par un ensemble dénombrable quelconque n'en possède pas naturellement, et c'est la notion de famille sommable qui permet de s'en passer.

Le prix à payer est une exigence d'absolue convergence, et le bénéfice est double : la somme ne dépend pas de l'ordre choisi, et l'on peut regrouper les termes en paquets comme on veut. Ces deux libertés sont utilisées à chaque page de la suite du chapitre, souvent sans être nommées.

11.2.1 Dénombrabilité

Définition 11.1Ensemble au plus dénombrable

Un ensemble $E$ est dit au plus dénombrable s'il est en bijection avec une partie de $N$ . Il est dit dénombrable s'il est en bijection avec $N$ tout entier, c'est-à-dire s'il peut être décrit en extension sous la forme d'une suite d'éléments deux à deux distincts :

$E = {x_{n}, n \in N} .$

Proposition 11.2Propriétés de stabilité de la dénombrabilité

Toute partie d'un ensemble dénombrable est au plus dénombrable.
L'ensemble $Z$ des entiers relatifs est dénombrable.
Le produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles dénombrables est dénombrable (en particulier $N^{2}$ , $N^{k}$ , $Z^{k}$ ).
La réunion d'une famille au plus dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable :

$n \in N ⋃ E_{n} est d e ˊ nombrable si chaque E_{n} l’est .$

Le corps des rationnels $Q$ est dénombrable. En revanche, $R$ et $C$ ne sont pas dénombrables.

Ces propriétés servent à une seule chose, mais elle est constante : établir qu'un ensemble d'indices est au plus dénombrable, condition sans laquelle rien de ce qui suit ne s'applique. Le point 4 est le plus utile — une réunion dénombrable de dénombrables reste dénombrable —, et le point 5 marque la limite du cadre : une variable aléatoire à valeurs réelles quelconques sort du chapitre, qui ne traite que le cas discret, c'est-à-dire à valeurs dans un ensemble au plus dénombrable.

11.2.2 Familles sommables de réels positifs

Définition 11.3Somme d'une famille positive dans

[0, + \infty]

Soit $I$ un ensemble au plus dénombrable et $(x_{i})_{i \in I}$ une famille d'éléments de $[0, + \infty]$ . On associe à cette famille sa somme $\sum_{i \in I} x_{i} \in [0, + \infty]$ définie par :

$i \in I \sum x_{i} = J \subset I, J fini sup j \in J \sum x_{j} .$

La famille $(x_{i})_{i \in I}$ est dite sommable si sa somme est finie : $\sum_{i \in I} x_{i} < + \infty$ .

La définition par borne supérieure mérite d'être comprise plutôt que retenue : elle ne choisit aucun ordre d'énumération, elle regarde toutes les sommes finies à la fois. Pour une famille positive, ces sommes finies croissent avec le paquet d'indices considéré, et leur borne supérieure existe toujours dans $[0, + \infty]$ — c'est pourquoi une famille positive a toujours une somme, éventuellement infinie, et pourquoi seul le caractère fini de cette somme reste à discuter.

◆Théorème 11.4Théorème de sommation par paquets et Fubini positif

Soit $(x_{i})_{i \in I}$ une famille d'éléments de $[0, + \infty]$ .

Pour tout découpage en paquets disjoints de $I$ : $I = ⨆_{n \in N} I_{n}$ , on a :

$i \in I \sum x_{i} = n = 0 \sum + \infty (i \in I_{n} \sum x_{i}) .$

Théorème de Fubini positif : Pour une famille $(a_{j, k})_{(j, k) \in J \times K}$ d'éléments de $[0, + \infty]$ indexée par un produit dénombrable :

$(j, k) \in J \times K \sum a_{j, k} = j \in J \sum (k \in K \sum a_{j, k}) = k \in K \sum j \in J \sum a_{j, k} .$

Ce théorème est l'outil de calcul le plus employé du chapitre. Le premier point autorise à découper un ensemble d'indices en paquets et à sommer paquet par paquet — c'est ce que fait la formule des probabilités totales, où les paquets sont les événements d'un système complet. Le second permet d'intervertir deux sommations, ce dont on se sert pour établir la formule sommatoire $E (X) = \sum_{n \geq 1} P (X \geq n)$ , ou la multiplicativité de l'espérance.

L'hypothèse de positivité est ce qui rend ces échanges gratuits : aucune convergence n'est à vérifier au préalable, puisque les deux membres sont définis dans $[0, + \infty]$ et qu'on démontre leur égalité, finie ou non. C'est la raison pour laquelle on commence toujours par appliquer Fubini positif aux modules, quitte à revenir ensuite aux quantités signées.

11.2.3 Familles sommables de nombres complexes

Définition 11.5Sommabilité dans

C

Une famille $(x_{i})_{i \in I}$ de nombres complexes est dite sommable si la famille des modules $(∣ x_{i} ∣)_{i \in I}$ est sommable dans $[0, + \infty [$ :

$i \in I \sum ∣ x_{i} ∣ < + \infty.$

Pour $I = N$ , la sommabilité équivaut à la convergence absolue de la série $\sum x_{n}$ .

ImportantSommable, ce n'est pas convergent

Une série semi-convergente comme $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ converge, mais la famille $(\frac{( - 1 ) ^{n}}{n})_{n \geq 1}$ n'est pas sommable. Aucun résultat de cette section ne s'y applique : ni le regroupement par paquets, ni l'interversion des sommations, ni le produit de deux sommes. Ce n'est pas une précaution formelle — le théorème de réarrangement de Riemann affirme qu'en changeant l'ordre des termes d'une telle série on peut lui faire prendre n'importe quelle valeur.

En probabilités, la conséquence est directe : une variable aléatoire dont la famille $(x P (X = x))_{x}$ n'est pas sommable n'a pas d'espérance, même si l'on parvient à donner un sens à la somme en énumérant les valeurs dans un certain ordre. « $X$ admet une espérance » signifie toujours $E (∣ X ∣) < + \infty$ .

◆Théorème 11.6Propriétés fondamentales des familles sommables complexes

Soient $(x_{i})_{i \in I}$ et $(y_{i})_{i \in I}$ deux familles sommables de nombres complexes.

Domination : Si $∣ z_{i} ∣ \leq ∣ x_{i} ∣$ pour tout $i \in I$ , alors $(z_{i})_{i \in I}$ est sommable et $∣ \sum_{i \in I} z_{i} ∣ \leq \sum_{i \in I} ∣ x_{i} ∣$ .
Linéarité : Pour tous $λ, μ \in C$ , la famille $(λ x_{i} + μ y_{i})_{i \in I}$ est sommable et :

$i \in I \sum (λ x_{i} + μ y_{i}) = λ i \in I \sum x_{i} + μ i \in I \sum y_{i} .$

Sommation par paquets : Si $I = ⨆_{n = 0}^{+ \infty} I_{n}$ , alors chaque sous-famille $(x_{i})_{i \in I_{n}}$ est sommable, la suite des sommes partielles $S_{n} = \sum_{i \in I_{n}} x_{i}$ forme une série absolument convergente, et :

$i \in I \sum x_{i} = n = 0 \sum + \infty (i \in I_{n} \sum x_{i}) .$

Théorème de Fubini : Si $\sum_{j \in J} \sum_{k \in K} ∣ a_{j, k} ∣ < + \infty$ , alors :

$(j, k) \in J \times K \sum a_{j, k} = j \in J \sum (k \in K \sum a_{j, k}) = k \in K \sum j \in J \sum a_{j, k} .$

Produit de deux sommes : Si $(u_{j})_{j \in J}$ et $(v_{k})_{k \in K}$ sont sommables, alors $(u_{j} v_{k})_{(j, k) \in J \times K}$ est sommable et :

$(j, k) \in J \times K \sum u_{j} v_{k} = j \in J \sum u_{j} (k \in K \sum v_{k}) .$

11.3 Espaces Probabilisés et Probabilités Conditionnelles

En probabilités finies, on affectait une probabilité à toutes les parties de $Ω$ et la question ne se posait pas. Sur un univers infini, elle se pose : il n'est pas toujours possible de mesurer toutes les parties de manière cohérente. La solution de Kolmogorov est de choisir d'avance la famille des parties que l'on accepte de mesurer — la tribu —, et d'exiger qu'elle soit stable par les opérations logiques qu'on voudra faire, y compris en nombre dénombrable.

Le second changement est le passage de l'additivité finie à la $σ$ -additivité. Il paraît anodin et ne l'est pas : c'est lui, et lui seul, qui donne les théorèmes de continuité, donc le droit de passer à la limite sur une suite d'événements. Sans lui, la probabilité d'un temps d'attente ne pourrait même pas être définie.

11.3.1 Espaces probabilisables, Tribus et Événements

Définition 11.7Tribu et Espace probabilisable

Soit $Ω$ un ensemble quelconque appelé univers. Une famille $A$ de parties de $Ω$ est appelée une tribu (ou $σ$ -algèbre) sur $Ω$ si :

$Ω \in A$ .
$A$ est stable par passage au complémentaire : $\forall A \in A, A ˉ = Ω ∖ A \in A$ .
$A$ est stable par réunion dénombrable : pour toute suite $(A_{n})_{n \in N}$ d'éléments de $A$ ,

$n = 0 ⋃ + \infty A_{n} \in A .$

Le couple $(Ω, A)$ est appelé un espace probabilisable. Les éléments de $A$ sont appelés les événements.

Les trois axiomes se lisent en langage courant. Le premier dit que « quelque chose se produit » est un événement ; le deuxième que la négation d'un événement en est un ; le troisième que « l'un au moins des $A_{n}$ se produit » en est un, même pour une infinité dénombrable de $A_{n}$ . C'est ce troisième point qui distingue une tribu d'une algèbre, et c'est lui qui permettra d'écrire des événements comme « le succès finit par arriver », réunion infinie des « le succès arrive au rang $n$ ».

Proposition 11.8Opérations sur les événements

Par les lois de De Morgan, une tribu est également stable par intersection dénombrable :

$n = 0 ⋂ + \infty A_{n} = n = 0 ⋃ + \infty A ˉ_{n} \in A .$

Traduction logique de la réalisation des événements :

$ω \in ⋃_{n = 0}^{+ \infty} A_{n} ⟺ \exists n \in N, ω \in A_{n}$ (au moins un événement $A_{n}$ est réalisé).
$ω \in ⋂_{n = 0}^{+ \infty} A_{n} ⟺ \forall n \in N, ω \in A_{n}$ (tous les événements $A_{n}$ sont réalisés simultanément).

11.3.2 Mesure de Probabilité et Continuité de la Mesure

Définition 11.9Probabilité et

σ

-additivité

Soit $(Ω, A)$ un espace probabilisable. Une application $P : A \to [0, 1]$ est appelée une probabilité sur $(Ω, A)$ si :

$P (Ω) = 1$ .
$σ$ -additivité : Pour toute suite $(A_{n})_{n \in N}$ d'événements deux à deux disjoints ( $A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ pour $i \neq = j$ ) :

$P (n = 0 ⋃ + \infty A_{n}) = n = 0 \sum + \infty P (A_{n}) .$

Le triplet $(Ω, A, P)$ est alors appelé un espace probabilisé.

Proposition 11.10Propriétés élémentaires de la probabilité

$P (\emptyset) = 0$ et $P (A ˉ) = 1 - P (A)$ .
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ .
Croissance : Si $A \subset B$ , alors $P (A) \leq P (B)$ et $P (B ∖ A) = P (B) - P (A)$ .

Aucune de ces propriétés n'est propre au cas infini : elles se démontrent exactement comme en première année, à partir de l'additivité finie, qui est le cas particulier de la $σ$ -additivité où tous les $A_{n}$ sont vides à partir d'un certain rang.

◆Théorème 11.11Théorèmes de Continuité Croissante et Décroissante

Soit $(Ω, A, P)$ un espace probabilisé.

Continuité croissante : Si $(A_{n})_{n \in N}$ est une suite croissante d'événements ( $A_{n} \subset A_{n + 1}$ pour tout $n$ ), alors :

$n \to + \infty lim P (A_{n}) = P (n = 0 ⋃ + \infty A_{n}) .$

Continuité décroissante : Si $(B_{n})_{n \in N}$ est une suite décroissante d'événements ( $B_{n + 1} \subset B_{n}$ pour tout $n$ ), alors :

$n \to + \infty lim P (B_{n}) = P (n = 0 ⋂ + \infty B_{n}) .$

Ces deux énoncés se résument en une phrase : la probabilité commute avec les limites monotones d'événements. C'est le pendant probabiliste du théorème de la limite monotone, et il est constamment utilisé dans l'autre sens que celui où on l'énonce : pour calculer la probabilité d'un événement défini par une réunion ou une intersection infinie, on l'approche par ses tronquées finies, que l'on sait calculer.

Un exemple type : l'événement « le succès finit par arriver » est la réunion croissante des « le succès est arrivé avant le rang $n$ », dont la probabilité vaut $1 - q^{n}$ ; la continuité croissante donne aussitôt que le succès est presque sûr dès que $q < 1$ .

Démonstration (Démonstration de la continuité croissante)

Soit $(A_{n})_{n \in N}$ une suite croissante d'événements. Posons $C_{0} = A_{0}$ et pour tout $k \geq 1$ , $C_{k} = A_{k} ∖ A_{k - 1} = A_{k} \cap A ˉ_{k - 1}$ .

Les événements $(C_{k})_{k \in N}$ sont deux à deux disjoints.
Pour tout $n \in N$ , par télescopage ensembliste : $⋃_{k = 0}^{n} C_{k} = A_{n}$ .
De même, la réunion dénombrable coïncide : $⋃_{k = 0}^{+ \infty} C_{k} = ⋃_{n = 0}^{+ \infty} A_{n}$ .

Par $σ$ -additivité de la mesure de probabilité $P$ :

$P (n = 0 ⋃ + \infty A_{n}) = P (k = 0 ⋃ + \infty C_{k}) = k = 0 \sum + \infty P (C_{k}) = n \to + \infty lim k = 0 \sum n P (C_{k}) = n \to + \infty lim P (k = 0 ⋃ n C_{k}) = n \to + \infty lim P (A_{n}) .$

La continuité décroissante s'obtient immédiatement par passage au complémentaire : $B_{n} ↘ ⋂ B_{k} ⟺ B ˉ_{n} ↗ ⋃ B ˉ_{k}$ .

Proposition 11.12Sous-additivité dénombrable

Pour toute suite $(A_{n})_{n \in N}$ d'événements (non nécessairement disjoints ni monotones) :

$P (n = 0 ⋃ + \infty A_{n}) \leq n = 0 \sum + \infty P (A_{n}) .$

De plus, $lim_{n \to + \infty} P (⋃_{k = 0}^{n} A_{k}) = P (⋃_{k = 0}^{+ \infty} A_{k})$ et $lim_{n \to + \infty} P (⋂_{k = 0}^{n} A_{k}) = P (⋂_{k = 0}^{+ \infty} A_{k})$ .

11.3.3 Événements presque sûrs, négligeables et Systèmes quasi-complets

Définition 11.13Presque sûreté et Négligeabilité

Un événement $A \in A$ est dit :

Négligeable si $P (A) = 0$ .
Presque sûr si $P (A) = 1$ (ou de manière équivalente si $A ˉ$ est négligeable).

Une propriété portant sur les aléas est dite vraie presque sûrement (p.s.) si l'événement où elle est vérifiée est de probabilité 1.

Définition 11.14Système complet et quasi-complet d'événements

Une famille au plus dénombrable $(A_{n})_{n \in I}$ d'événements est appelée :

Un système complet d'événements (SCE) si les $A_{n}$ sont deux à deux disjoints et $⨆_{n \in I} A_{n} = Ω$ .
Un système quasi-complet d'événements si les $A_{n}$ sont deux à deux disjoints et $P (⋃_{n \in I} A_{n}) = 1$ (la réunion ne diffère de $Ω$ que par un événement négligeable).

Dans les deux cas, $\sum_{n \in I} P (A_{n}) = 1$ .

Exercices du chapitre

Construire une probabilité sur N corrigé
La loi géométrique de bout en bout corrigé
La loi de Poisson de bout en bout corrigé
L'absence de mémoire caractérise la géométrique corrigé
La loi des petits nombres corrigé
Le minimum de géométriques indépendantes corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre