Vocabulaire ensembliste et logique

Cours · mathématiques (première), chapitre 1 · première, spécialité mathématiques · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Deux ensembles A et B et leur intersection.

Le langage des ensembles et de la logique, mis en place en seconde, est transversal : il intervient dans tous les chapitres, des suites aux probabilités. Ce chapitre consolide ces acquis et introduit les nouveautés de première : le statut des lettres et des égalités, les quantifications (souvent implicites !), leur négation, et le raisonnement par contraposée.

1.1 Ensembles : rappels et notations

Définition 1.1Appartenance, inclusion, opérations

Soit $E$ un ensemble et $A$ , $B$ deux parties de $E$ .

$x \in A$ : l'élément $x$ appartient à $A$ ; $A \subset E$ : $A$ est inclus dans $E$ (tout élément de $A$ est dans $E$ ).
$A \cap B$ (intersection) : les éléments qui sont dans $A$ et dans $B$ .
$A \cup B$ (réunion) : les éléments qui sont dans $A$ ou dans $B$ (ou inclusif).
$A$ (ou $E ∖ A$ ) : le complémentaire de $A$ dans $E$ , formé des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$ .

iRemarque

On note toujours $N \subset Z \subset Q \subset R$ , et les intervalles de $R$ comme $[a; b]$ ou $] 0; + \infty [$ . Un couple $(a; b)$ est ordonné, et le produit cartésien $A \times B$ est l'ensemble des couples $(a; b)$ avec $a \in A$ et $b \in B$ — le plan repéré s'identifie à $R^{2} = R \times R$ .

Exemple 1.2Les ensembles dans le langage des probabilités

En probabilités (chapitre 10), l'univers $Ω$ joue le rôle de $E$ , les événements sont des parties de $Ω$ , « $A$ et $B$ » se traduit par $A \cap B$ , « $A$ ou $B$ » par $A \cup B$ , et l'événement contraire par $A$ . Le vocabulaire ensembliste est le vocabulaire des probabilités.

1.2 Statut des lettres et des égalités

En première, on doit savoir de quoi on parle quand on écrit une lettre ou une égalité : c'est une nouveauté explicite du programme.

Définition 1.3Statut d'une lettre

Dans une expression mathématique, une lettre peut être :

une variable : elle parcourt un ensemble ( $x$ dans « la fonction $x \mapsto x^{2}$ ») ;
une inconnue : on cherche ses valeurs possibles ( $x$ dans « résoudre $x^{2} = 3$ ») ;
un paramètre : une constante non précisée dont dépend le problème ( $m$ dans « la droite $y = m x + 1$ », $a$ , $b$ , $c$ dans « $a x^{2} + b x + c$ »).

Définition 1.4Statut d'une égalité

Une identité est une égalité vraie pour toutes les valeurs des lettres : $(x + 1)^{2} = x^{2} + 2 x + 1$ (quantification universelle implicite : « pour tout réel $x$ »).
Une équation est une égalité dont on cherche pour quelles valeurs de l'inconnue elle est vraie : $x^{2} = 2 x + 3$ (vraie seulement pour $x = - 1$ et $x = 3$ ).

Exemple 1.5

Dans « pour tout réel $x$ , $x^{2} - s x + p = (x - r_{1}) (x - r_{2})$ », la lettre $x$ est une variable (identité en $x$ ), tandis que $s$ , $p$ , $r_{1}$ , $r_{2}$ sont des paramètres liés par $s = r_{1} + r_{2}$ et $p = r_{1} r_{2}$ (chapitre 3). Écrire ensuite « résoudre $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ » change le statut de $x$ : c'est désormais une inconnue.

Exercices du chapitre

Décrire en compréhension puis en extension l'ensemble A = { n ∈ ℕ tel… corrigé
Soit un ensemble et, deux parties de corrigé
Un élève «résout» l'équation ainsi corrigé
Expliciter la quantification implicite, puis écrire la négation corrigé
Montrer par un contre-exemple que la proposition « pour toutes… corrigé
n° 6 corrigé

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