Vocabulaire ensembliste et logique

Cours complet · mathématiques (première), chapitre 1 · première, spécialité mathématiques

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Le langage des ensembles et de la logique, mis en place en seconde, est transversal : il intervient dans tous les chapitres, des suites aux probabilités. Ce chapitre consolide ces acquis et introduit les nouveautés de première : le statut des lettres et des égalités, les quantifications (souvent implicites !), leur négation, et le raisonnement par contraposée.

1.1 Ensembles : rappels et notations

Définition 1.1Appartenance, inclusion, opérations

Soit $E$ un ensemble et $A$ , $B$ deux parties de $E$ .

$x \in A$ : l'élément $x$ appartient à $A$ ; $A \subset E$ : $A$ est inclus dans $E$ (tout élément de $A$ est dans $E$ ).
$A \cap B$ (intersection) : les éléments qui sont dans $A$ et dans $B$ .
$A \cup B$ (réunion) : les éléments qui sont dans $A$ ou dans $B$ (ou inclusif).
$A$ (ou $E ∖ A$ ) : le complémentaire de $A$ dans $E$ , formé des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$ .

iRemarque

On note toujours $N \subset Z \subset Q \subset R$ , et les intervalles de $R$ comme $[a; b]$ ou $] 0; + \infty [$ . Un couple $(a; b)$ est ordonné, et le produit cartésien $A \times B$ est l'ensemble des couples $(a; b)$ avec $a \in A$ et $b \in B$ — le plan repéré s'identifie à $R^{2} = R \times R$ .

Exemple 1.2Les ensembles dans le langage des probabilités

En probabilités (chapitre 10), l'univers $Ω$ joue le rôle de $E$ , les événements sont des parties de $Ω$ , « $A$ et $B$ » se traduit par $A \cap B$ , « $A$ ou $B$ » par $A \cup B$ , et l'événement contraire par $A$ . Le vocabulaire ensembliste est le vocabulaire des probabilités.

1.2 Statut des lettres et des égalités

En première, on doit savoir de quoi on parle quand on écrit une lettre ou une égalité : c'est une nouveauté explicite du programme.

Définition 1.3Statut d'une lettre

Dans une expression mathématique, une lettre peut être :

une variable : elle parcourt un ensemble ( $x$ dans « la fonction $x \mapsto x^{2}$ ») ;
une inconnue : on cherche ses valeurs possibles ( $x$ dans « résoudre $x^{2} = 3$ ») ;
un paramètre : une constante non précisée dont dépend le problème ( $m$ dans « la droite $y = m x + 1$ », $a$ , $b$ , $c$ dans « $a x^{2} + b x + c$ »).

Définition 1.4Statut d'une égalité

Une identité est une égalité vraie pour toutes les valeurs des lettres : $(x + 1)^{2} = x^{2} + 2 x + 1$ (quantification universelle implicite : « pour tout réel $x$ »).
Une équation est une égalité dont on cherche pour quelles valeurs de l'inconnue elle est vraie : $x^{2} = 2 x + 3$ (vraie seulement pour $x = - 1$ et $x = 3$ ).

Exemple 1.5

Dans « pour tout réel $x$ , $x^{2} - s x + p = (x - r_{1}) (x - r_{2})$ », la lettre $x$ est une variable (identité en $x$ ), tandis que $s$ , $p$ , $r_{1}$ , $r_{2}$ sont des paramètres liés par $s = r_{1} + r_{2}$ et $p = r_{1} r_{2}$ (chapitre 3). Écrire ensuite « résoudre $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ » change le statut de $x$ : c'est désormais une inconnue.

iRemarquePourquoi c'est important

Confondre identité et équation mène à des absurdités : « simplifier » l'équation $x^{2} = 4 x$ en divisant par $x$ fait perdre la solution $x = 0$ , car on a traité l'égalité comme si elle était vraie pour tout $x$ (et notamment $x \neq = 0$ ), alors que $x$ est une inconnue dont $0$ est justement une valeur possible.

1.3 Propositions et connecteurs

Définition 1.6Connecteurs « et », « ou »

Soit $P$ et $Q$ deux propositions. « $P$ et $Q$ » est vraie lorsque les deux le sont ; « $P$ ou $Q$ » est vraie lorsque l'une au moins l'est (ou inclusif). Côté ensembles : « et » $\leftrightarrow$ $\cap$ , « ou » $\leftrightarrow$ $\cup$ .

Méthode : Le contre-exemple

Pour montrer qu'une proposition universelle (« pour tout $x$ … ») est fausse, il suffit d'exhiber un seul contre-exemple. Pour montrer qu'elle est vraie, un exemple ne suffit jamais : il faut une démonstration.

Exemple 1.7

« Pour toute suite $(u_{n})$ croissante, $(u_{n})$ tend vers $+ \infty$ » est fausse : la suite $u_{n} = 1 - \frac{1}{n + 1}$ est croissante mais tend vers $1$ (chapitre 2). Ce contre-exemple clôt la discussion.

1.4 Implication, équivalence, conditions nécessaire et suffisante

Définition 1.8Implication, réciproque, équivalence

« $P \Rightarrow Q$ » : chaque fois que $P$ est vraie, $Q$ l'est aussi.
La réciproque de « $P \Rightarrow Q$ » est « $Q \Rightarrow P$ » ; elle peut être vraie ou fausse indépendamment.
« $P \Leftrightarrow Q$ » (équivalence) : les deux implications sont vraies.

Définition 1.9Condition nécessaire, condition suffisante

Lorsque « $P \Rightarrow Q$ » est vraie, on dit que :

$P$ est une condition suffisante pour $Q$ (il suffit que $P$ soit vraie pour que $Q$ le soit) ;
$Q$ est une condition nécessaire pour $P$ (il faut que $Q$ soit vraie pour que $P$ puisse l'être).

Exemple 1.10

Pour une fonction $f$ dérivable, « $f$ admet un extremum local en $a$ (intérieur à l'intervalle) $\Rightarrow$ $f^{'} (a) = 0$ » (chapitre 5). La condition $f^{'} (a) = 0$ est donc nécessaire pour un extremum… mais pas suffisante : pour $f (x) = x^{3}$ , on a $f^{'} (0) = 0$ sans extremum en $0$ . La réciproque est fausse.

iRemarque« il faut » / « il suffit »

Dans un énoncé, « il faut que » annonce une condition nécessaire, « il suffit que » une condition suffisante. « Il faut et il suffit » annonce une équivalence.

1.5 Quantifications, souvent implicites

Définition 1.11Quantifications universelle et existentielle

Universelle : « pour tout $x$ de $E$ , $P (x)$ » — la propriété vaut pour chaque élément.
Existentielle : « il existe (au moins) un $x$ de $E$ tel que $P (x)$ ».

Les symboles $\forall$ et $\exists$ ne sont pas exigibles : on rédige en français.

iRemarqueQuantifications implicites — un piège classique

Beaucoup d'énoncés cachent leur quantificateur. « Si $x > 2$ alors $x^{2} > 4$ » signifie « pour tout réel $x$ , si $x > 2$ alors $x^{2} > 4$ ». De même, l'identité $(x + 1)^{2} = x^{2} + 2 x + 1$ sous-entend « pour tout $x$ ». Savoir repérer la quantification implicite est indispensable pour nier ou démontrer correctement une proposition.

Méthode : Nier une proposition quantifiée

La négation échange les deux types de quantification :

négation de « pour tout $x$ , $P (x)$ » : « il existe $x$ tel que non $P (x)$ » ;
négation de « il existe $x$ tel que $P (x)$ » : « pour tout $x$ , non $P (x)$ ».

C'est exactement le principe du contre-exemple : nier un « pour tout », c'est exhiber un « il existe ».

Exemple 1.12

La négation de « tous les termes de la suite $(u_{n})$ sont positifs » est « il existe un rang $n$ tel que $u_{n} < 0$ » — et non « tous les termes sont négatifs » ! De même, la négation de « la fonction $f$ s'annule au moins une fois sur $I$ » est « pour tout $x$ de $I$ , $f (x) \neq = 0$ ».

1.6 Trois types de raisonnement

Méthode : Raisonnement par disjonction des cas

On découpe l'étude en plusieurs cas qui couvrent toutes les situations, et l'on conclut dans chacun. Exemple type : discuter selon le signe du discriminant $Δ$ (chapitre 3), ou selon la parité d'un entier.

Méthode : Raisonnement par l'absurde

Pour prouver $P$ , on suppose « non $P$ » et l'on en déduit une contradiction. Exemple type au programme : montrer que la fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$ (chapitre 4) — on suppose que le taux de variation a une limite finie et on aboutit à une contradiction.

Définition 1.13Contraposée

La contraposée de « $P \Rightarrow Q$ » est « (non $Q$ ) $\Rightarrow$ (non $P$ ) ». Une implication et sa contraposée sont toujours vraies en même temps : démontrer l'une, c'est démontrer l'autre.

Méthode : Raisonnement par contraposée

Pour démontrer « $P \Rightarrow Q$ », il est parfois plus simple de démontrer « (non $Q$ ) $\Rightarrow$ (non $P$ ) ». On l'utilise quand la négation des propositions est plus maniable que les propositions elles-mêmes.

Exemple 1.14Démonstration par contraposée

Montrons : « si $n^{2}$ est pair, alors $n$ est pair ». Par contraposée, il suffit de montrer : « si $n$ est impair, alors $n^{2}$ est impair ». Or si $n = 2 k + 1$ , alors $n^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 1 = 2 (2 k^{2} + 2 k) + 1$ , qui est impair. $□$

iRemarqueContraposée ou absurde ?

Les deux raisonnements se ressemblent, mais leur structure diffère : la contraposée démontre une implication en la retournant ; l'absurde démontre une proposition quelconque en réfutant sa négation. Dans l'exemple ci-dessus, l'absurde consisterait à supposer « $n^{2}$ pair et $n$ impair » et à en tirer une contradiction — c'est la même idée, mais la contraposée est plus directe.

1.7 Quiz interactif style NotebookLM

Tester vos connaissances en autonomie avant de passer aux exercices !

Appartenance vs Inclusion. Soit $E = {1; 2; 3}$ . Quelle affirmation est rigoureusement exacte ?

$2 \subset E$
${2} \in E$
${2} \subset E$
$2 = {2}$

Corrigé NotebookLM : C. Le symbole $\subset$ relie deux ensembles ( ${2} \subset E$ ), tandis que $\in$ relie un élément à un ensemble ( $2 \in E$ ).

Statut de l'inconnue. Un élève résout $x^{2} = 5 x$ en écrivant « $x = 5$ ». Quel est le piège ?

Aucun, $5$ est l'unique solution.
En divisant par $x$ , il a supposé $x \neq = 0$ et a éliminé la solution $x = 0$ .
$x$ est un paramètre et non une inconnue.

Corrigé NotebookLM : B. L'inconnue $x$ peut s'annuler ; la résolution rigoureuse $x (x - 5) = 0$ donne deux solutions : $S = {0; 5}$ .

Contre-exemple. Comment prouver que la phrase « le produit de deux fonctions croissantes est toujours croissant » est fausse ?

En calculant la dérivée $(f g)^{'}$ .
En exhibant le contre-exemple $f (x) = g (x) = x$ (croissantes sur $R$ , mais $(f g) (x) = x^{2}$ décroît sur $R_{-}$ ).
Un exemple ne suffit jamais, il faut une preuve abstraite.

Corrigé NotebookLM : B. Un seul contre-exemple suffit à réfuter une proposition universelle ( $\forall$ ).

Négation de la quantification universelle. Quelle est la négation de « Pour tout $n \in N$ , $u_{n} > 0$ » ?

Pour tout $n \in N$ , $u_{n} \leq 0$ .
Il existe au moins un entier $n$ tel que $u_{n} \leq 0$ .
Il existe au moins un entier $n$ tel que $u_{n} < 0$ .

Corrigé NotebookLM : B. $non (\forall n, P (n)) ⟺ \exists n, non P (n)$ . La négation de $u_{n} > 0$ est $u_{n} \leq 0$ .

Contraposée. Quelle est la contraposée de « Si $n^{2}$ est pair, alors $n$ est pair » ?

Si $n$ est pair, alors $n^{2}$ est pair.
Si $n$ est impair, alors $n^{2}$ est impair.
Si $n^{2}$ est impair, alors $n$ est impair.

Corrigé NotebookLM : B. La contraposée de $P \Rightarrow Q$ est $(non Q) \Rightarrow (non P)$ .

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