Suites numériques, modèles discrets

Cours complet · mathématiques (première), chapitre 2 · première, spécialité mathématiques

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Une population qui augmente chaque année, un capital placé à taux fixe, une dose de médicament éliminée de moitié chaque heure : beaucoup de phénomènes évoluent par étapes discrètes. Les suites numériques en sont la modélisation naturelle. Ce chapitre présente leurs modes de génération, formalise les suites arithmétiques et géométriques — avec les démonstrations du programme — et développe une première intuition de la notion de limite.

2.1 Modes de génération d'une suite

Définition 2.1Suite numérique

Une suite numérique $(u_{n})$ est une liste ordonnée et infinie de nombres réels : à chaque entier naturel $n$ (le rang) est associé un réel $u_{n}$ (le terme de rang $n$ ). On note indifféremment $u (n)$ ou $u_{n}$ , et la suite elle-même $(u (n))$ ou $(u_{n})$ . Formellement, une suite est une fonction de $N$ dans $R$ .

Définition 2.2Trois modes de génération

Formule explicite $u_{n} = f (n)$ : chaque terme se calcule directement à partir de son rang. Exemple : $u_{n} = n^{2} + 1$ .
Relation de récurrence $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , avec un premier terme donné : chaque terme se calcule à partir du précédent. Exemple : $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3$ .
Algorithme ou motif : la suite est décrite par un procédé de construction (programme, figure géométrique, dénombrement).

iRemarque

Avec une formule explicite, on obtient $u_{100}$ en un seul calcul ; avec une récurrence, il faut en principe calculer les $100$ termes précédents. D'où l'intérêt de chercher une formule explicite pour une suite définie autrement — c'est tout l'enjeu des suites arithmétiques et géométriques.

Exemple 2.3Une suite définie par un motif géométrique

Les nombres triangulaires $T_{n}$ comptent les points d'un triangle à $n$ lignes :

Chaque triangle s'obtient du précédent en ajoutant une ligne de $n$ points : la suite vérifie la récurrence $T_{n} = T_{n - 1} + n$ . On montrera plus loin la formule explicite $T_{n} = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .

Méthode : Passer d'un registre à l'autre

Une même suite peut se décrire en langue naturelle (« chaque terme est le double du précédent augmenté de 3 »), en registre algébrique ( $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3$ ), ou en registre graphique (nuage de points $(n; u_{n})$ ). Savoir traduire un énoncé d'un registre à l'autre est une capacité attendue : repérer les mots « chaque », « le précédent », « augmente de », « est multiplié par »… et les transcrire en symboles.

2.2 Représentation graphique d'une suite

Une suite se représente par le nuage des points isolés $(n; u_{n})$ : contrairement à une fonction de la variable réelle, on ne relie pas les points, car la suite n'est définie que pour les rangs entiers.

Deux suites : en orange, une suite arithmétique (points alignés) ; en bleu, une suite géométrique de raison $0, 75$ (décroissance de plus en plus douce).

2.3 Suites arithmétiques

Définition 2.4Suite arithmétique

Une suite $(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ lorsque l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même réel $r$ :

$u_{n + 1} = u_{n} + r pour tout entier n .$

Elle modélise les évolutions successives à accroissements constants (croissance linéaire).

◆Théorème 2.5Terme général d'une suite arithmétique

Si $(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_{0}$ , alors pour tout entier $n$ :

$u_{n} = u_{0} + n r, et plus g e ˊ n e ˊ ralement u_{n} = u_{p} + (n - p) r .$

Démonstration (exigible). Pour passer de $u_{0}$ à $u_{n}$ , on effectue $n$ étapes, et chaque étape ajoute $r$ :

$u_{n} = r u_{n} - u_{n - 1} + r u_{n - 1} - u_{n - 2} + \dots + r u_{1} - u_{0} + u_{0} = u_{0} + n r,$

car la somme comporte exactement $n$ différences toutes égales à $r$ . Pour la forme générale, on part de $u_{p}$ et on effectue $n - p$ étapes : $u_{n} = u_{p} + (n - p) r$ . $□$

iRemarqueLien avec les fonctions affines

$u_{n} = u_{0} + n r = f (n)$ avec $f (x) = r x + u_{0}$ affine : les points $(n; u_{n})$ sont alignés sur la droite de pente $r$ . La raison $r$ joue pour les suites arithmétiques le rôle du coefficient directeur pour les fonctions affines.

Exemple 2.6

Un abonnement coûte $120$ € à l'ouverture puis $15$ € par mois. Le coût total après $n$ mois est arithmétique : $c_{n} = 120 + 15 n$ . Après deux ans : $c_{24} = 120 + 15 \times 24 = 480$ €.

◆Théorème 2.7Somme des premiers entiers

Pour tout entier $n \geq 1$ :

$1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2} .$

Démonstration (exigible). Notons $S = 1 + 2 + \dots + n$ et écrivons la somme dans les deux sens :

$S S = = 1 n + + 2 (n - 1) + + \dots \dots + + n 1$

En additionnant colonne par colonne, chaque paire vaut $n + 1$ , et il y a $n$ colonnes :

$2 S = n (n + 1), d’o u ˋ S = \frac{n ( n + 1 )}{2} . □$

La somme $S = 1 + 2 + \dots + n$ (escalier bleu) et sa copie retournée (orange) pavent un rectangle $n \times (n + 1)$ : c'est la preuve géométrique de $2 S = n (n + 1)$ .

Proposition 2.8Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique

$u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = (n + 1) \times \frac{u _{0} + u _{n}}{2} (nombre de termes \times moyenne des extr e ˆ mes) .$

Exemple 2.9

$S = 5 + 8 + 11 + \dots + 62$ (suite arithmétique de raison $3$ ). Nombre de termes : $\frac{62 - 5}{3} + 1 = 20$ . Donc $S = 20 \times \frac{5 + 62}{2} = 20 \times 33, 5 = 670$ .

2.4 Suites géométriques

Définition 2.10Suite géométrique

Une suite $(u_{n})$ est géométrique de raison $q \neq = 0$ lorsque l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même réel $q$ :

$u_{n + 1} = q u_{n} pour tout entier n .$

Elle modélise les évolutions successives à taux constant (croissance ou décroissance exponentielle).

ImportantAutomatisme : taux d'évolution fixe

\Rightarrow

suite géométrique

Une grandeur qui évolue de $t %$ à chaque étape est multipliée à chaque étape par le coefficient multiplicateur $q = 1 + \frac{t}{100}$ : la suite de ses valeurs est géométrique de raison $q$ . Hausse de $5 %$ : $q = 1, 05$ ; baisse de $20 %$ : $q = 0, 80$ . Pour reconnaître une suite géométrique dans un tableau de valeurs, on examine le rapport $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ de deux termes consécutifs : s'il est constant, la suite est géométrique.

◆Théorème 2.11Terme général d'une suite géométrique

Si $(u_{n})$ est géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_{0}$ , alors pour tout entier $n$ :

$u_{n} = u_{0} q^{n}, et plus g e ˊ n e ˊ ralement u_{n} = u_{p} q^{n - p} .$

Démonstration (exigible). Pour $u_{n} \neq = 0$ , formons le produit des quotients successifs :

$\frac{u _{n}}{u _{0}} = \frac{u _{1}}{u _{0}} \times \frac{u _{2}}{u _{1}} \times \dots \times \frac{u _{n}}{u _{n - 1}} = n facteurs q \times q \times \dots \times q = q^{n},$

car tous les facteurs intermédiaires se simplifient en cascade (produit télescopique). D'où $u_{n} = u_{0} q^{n}$ ; en partant de $u_{p}$ , il reste $n - p$ facteurs : $u_{n} = u_{p} q^{n - p}$ . $□$

Exemple 2.12

Un capital de $2000$ € est placé à $3 %$ par an (intérêts composés). Après $n$ années : $c_{n} = 2000 \times 1, 0 3^{n}$ . Après $10$ ans, $c_{10} = 2000 \times 1, 0 3^{10} \approx 2688$ €.

◆Théorème 2.13Somme des puissances de

q

Pour tout réel $q \neq = 1$ et tout entier $n \geq 0$ :

$1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q} .$

Démonstration (exigible). Notons $S = 1 + q + \dots + q^{n}$ . Multiplions par $q$ :

$q S = q + q^{2} + \dots + q^{n + 1} .$

Soustrayons : dans $S - q S$ , tous les termes intermédiaires s'éliminent deux à deux :

$S - q S = 1 - q^{n + 1}, soit S (1 - q) = 1 - q^{n + 1} .$

Comme $q \neq = 1$ , on peut diviser par $1 - q$ : $S = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ . $□$

iRemarque

Pour une suite géométrique quelconque : $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = u_{0} \times \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ (on factorise par $u_{0}$ ). Retenir : premier terme $\times \frac{1 - q ^{nombre de termes}}{1 - q}$ .

iRemarqueVers la fonction exponentielle

La croissance géométrique est une croissance à temps discret. Au chapitre 6, la fonction exponentielle en sera l'analogue à temps continu : on verra que pour tout réel $a$ , la suite $(e^{na})$ est précisément une suite géométrique de raison $e^{a}$ .

2.5 Sens de variation d'une suite

Définition 2.14Suite croissante, décroissante

La suite $(u_{n})$ est croissante lorsque $u_{n + 1} \geq u_{n}$ pour tout $n$ , décroissante lorsque $u_{n + 1} \leq u_{n}$ pour tout $n$ (strictement si les inégalités sont strictes) ; constante si $u_{n + 1} = u_{n}$ pour tout $n$ .

Méthode : Trois stratégies pour le sens de variation

Signe de la différence : étudier $u_{n + 1} - u_{n}$ ; si elle est $\geq 0$ pour tout $n$ , la suite est croissante.
Comparaison du quotient à $1$ (termes strictement positifs) : comparer $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ à $1$ .
Fonction associée (suite explicite $u_{n} = f (n)$ ) : si $f$ est croissante sur $[0; + \infty [$ , alors $(u_{n})$ est croissante.

Proposition 2.15Cas des suites de référence

Suite arithmétique de raison $r$ : croissante si $r > 0$ , décroissante si $r < 0$ (car $u_{n + 1} - u_{n} = r$ ).
Suite géométrique de premier terme $u_{0} > 0$ et de raison $q > 0$ : croissante si $q > 1$ , décroissante si $0 < q < 1$ (car $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = q$ ).

iRemarqueAttention aux raisons négatives

Si $q < 0$ , les termes changent de signe à chaque rang (suite alternée) : la suite n'est ni croissante ni décroissante. Exemple : $u_{n} = (- 2)^{n}$ donne $1$ , $- 2$ , $4$ , $- 8$ …

2.6 Vers la notion de limite

Sur des exemples, on observe le comportement de $u_{n}$ quand $n$ devient très grand. Toute formalisation est exclue en première : il s'agit de développer une intuition.

La suite $u_{n} = 1 + \frac{1}{n + 1}$ : les termes s'accumulent aussi près que l'on veut de $1$ (droite orange). On dit que la suite tend vers $1$ , ou qu'elle a pour limite $1$ .

Exemple 2.16Trois comportements types

$u_{n} = n^{2}$ : les termes dépassent n'importe quel seuil ; la suite tend vers $+ \infty$ .
$u_{n} = 0, 8^{n}$ : les termes se rapprochent de $0$ (géométrique avec $0 < q < 1$ ) ; limite $0$ .
$u_{n} = (- 1)^{n}$ : les termes oscillent entre $- 1$ et $1$ sans se stabiliser ; pas de limite.

Méthode : Conjecturer une limite, chercher un seuil

Pour conjecturer une limite : calculer les termes pour de grandes valeurs de $n$ (calculatrice, Python) et observer leur stabilisation ou leur explosion. Un algorithme de seuil affine la conjecture : chercher le premier rang $n$ tel que $u_{n}$ dépasse un seuil donné (limite infinie) ou s'approche de la limite conjecturée à $1 0^{- 3}$ près.

2.7 Algorithmes


def terme(n):
    # Terme de rang n de la suite récurrente u_{n+1} = 2 u_n + 3, u_0 = 1
    u = 1
    for i in range(n):      # on applique n fois la relation
        u = 2 * u + 3
    return u

def somme(n):
    # Somme u_0 + u_1 + ... + u_n de la même suite
    u, s = 1, 1
    for i in range(n):
        u = 2 * u + 3
        s = s + u
    return s

def seuil(M):
    # Premier rang n tel que u_n > M (croissance vers +infini)
    u, n = 1, 0
    while u <= M:
        u = 2 * u + 3
        n = n + 1
    return n


def factorielle(n):
    # n! = 1 x 2 x ... x n : accumulateur multiplicatif
    p = 1
    for i in range(1, n + 1):
        p = p * i
    return p

def syracuse(u0, n):
    # Liste des n premiers termes de la suite de Syracuse partant de u0
    L = [u0]
    u = u0
    for i in range(n - 1):
        if u % 2 == 0:
            u = u // 2
        else:
            u = 3 * u + 1
        L.append(u)
    return L

def fibonacci(n):
    # Liste des n premiers termes : 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... (u_{n+2} = u_{n+1} + u_n)
    L = [1, 1]
    for i in range(n - 2):
        L.append(L[-1] + L[-2])
    return L

Exemple 2.17

syracuse(7, 17) renvoie [7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1] : la suite finit par atteindre $1$ (conjecture de Syracuse : c'est le cas pour tout $u_{0}$ , mais personne ne sait le démontrer !). fibonacci(8) renvoie [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21].

2.8 Un peu d'histoire

iRemarqueLes suites avant les suites

Bien avant leur étude formalisée, les suites apparaissent pour approcher des nombres : Archimède encadre $π$ par les périmètres de polygones inscrits et circonscrits dont il double le nombre de côtés (suite de valeurs de plus en plus précises) ; Héron d'Alexandrie approche $a$ par la récurrence $u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + \frac{a}{u _{n}})$ . Elles servent aussi à compter : le problème des lapins de Fibonacci (1202) engendre la suite $1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots$ Au XIV^e siècle, Oresme calcule déjà des sommes de termes de suites géométriques.

2.9 Approfondissements

Exemple 2.18La tour de Hanoï

On doit déplacer $n$ disques d'une tige à une autre, un par un, sans jamais poser un disque sur un plus petit, à l'aide d'une tige intermédiaire.

Notons $h_{n}$ le nombre minimal de déplacements. Pour déplacer $n + 1$ disques : on déplace les $n$ petits sur la tige intermédiaire ( $h_{n}$ coups), puis le grand disque ( $1$ coup), puis les $n$ petits sur le grand ( $h_{n}$ coups) :

$h_{n + 1} = 2 h_{n} + 1, h_{1} = 1.$

En posant $v_{n} = h_{n} + 1$ , on obtient $v_{n + 1} = 2 v_{n}$ : la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $2$ et $v_{1} = 2$ , donc $v_{n} = 2^{n}$ et

$h_{n} = 2^{n} - 1.$

Pour $64$ disques (la légende), $h_{64} = 2^{64} - 1 \approx 1, 8 \times 1 0^{19}$ déplacements : à un par seconde, près de $585$ milliards d'années.

Proposition 2.19Sommes des premiers carrés et des premiers cubes

Pour tout entier $n \geq 1$ :

$1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}, 1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3} = (\frac{n ( n + 1 )}{2})^{2} .$

La seconde formule dit que la somme des cubes est le carré de la somme $1 + 2 + \dots + n$ .

Exemple 2.20Remboursement d'un emprunt par annuités constantes

On emprunte $C = 10000$ € au taux annuel de $2 %$ , remboursé par $n = 5$ annuités constantes $a$ . Le capital restant dû suit la récurrence $d_{k + 1} = 1, 02 d_{k} - a$ avec $d_{0} = C$ et $d_{5} = 0$ . En déroulant :

$d_{5} = 1, 0 2^{5} C - a (1 + 1, 02 + \dots + 1, 0 2^{4}) = 1, 0 2^{5} C - a \frac{1 , 0 2 ^{5} - 1}{0 , 02} = 0,$

d'où $a = \frac{0 , 02 \times 1 , 0 2 ^{5}}{1 , 0 2 ^{5} - 1} \times 10000 \approx 2121, 58$ €. Les sommes géométriques sont au cœur des calculs financiers.

2.10 Quiz interactif style NotebookLM

Un quiz interactif d'auto-évaluation à choix multiples au format NotebookLM est disponible pour ce chapitre sur la plateforme en ligne (https://adloun.net/playground).

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