Suites numériques, modèles discrets

Cours · mathématiques (première), chapitre 2 · première, spécialité mathématiques · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Diagramme en toile d'une suite récurrente qui converge vers le point fixe, intersection de la courbe et de la droite y = x.

Une population qui augmente chaque année, un capital placé à taux fixe, une dose de médicament éliminée de moitié chaque heure : beaucoup de phénomènes évoluent par étapes discrètes. Les suites numériques en sont la modélisation naturelle. Ce chapitre présente leurs modes de génération, formalise les suites arithmétiques et géométriques — avec les démonstrations du programme — et développe une première intuition de la notion de limite.

2.1 Modes de génération d'une suite

Définition 2.1Suite numérique

Une suite numérique $(u_{n})$ est une liste ordonnée et infinie de nombres réels : à chaque entier naturel $n$ (le rang) est associé un réel $u_{n}$ (le terme de rang $n$ ). On note indifféremment $u (n)$ ou $u_{n}$ , et la suite elle-même $(u (n))$ ou $(u_{n})$ . Formellement, une suite est une fonction de $N$ dans $R$ .

Définition 2.2Trois modes de génération

Formule explicite $u_{n} = f (n)$ : chaque terme se calcule directement à partir de son rang. Exemple : $u_{n} = n^{2} + 1$ .
Relation de récurrence $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , avec un premier terme donné : chaque terme se calcule à partir du précédent. Exemple : $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3$ .
Algorithme ou motif : la suite est décrite par un procédé de construction (programme, figure géométrique, dénombrement).

iRemarque

Avec une formule explicite, on obtient $u_{100}$ en un seul calcul ; avec une récurrence, il faut en principe calculer les $100$ termes précédents. D'où l'intérêt de chercher une formule explicite pour une suite définie autrement — c'est tout l'enjeu des suites arithmétiques et géométriques.

Exemple 2.3Une suite définie par un motif géométrique

Les nombres triangulaires $T_{n}$ comptent les points d'un triangle à $n$ lignes :

Chaque triangle s'obtient du précédent en ajoutant une ligne de $n$ points : la suite vérifie la récurrence $T_{n} = T_{n - 1} + n$ . On montrera plus loin la formule explicite $T_{n} = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .

Méthode : Passer d'un registre à l'autre

Une même suite peut se décrire en langue naturelle (« chaque terme est le double du précédent augmenté de 3 »), en registre algébrique ( $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3$ ), ou en registre graphique (nuage de points $(n; u_{n})$ ). Savoir traduire un énoncé d'un registre à l'autre est une capacité attendue : repérer les mots « chaque », « le précédent », « augmente de », « est multiplié par »… et les transcrire en symboles.

2.2 Représentation graphique d'une suite

Une suite se représente par le nuage des points isolés $(n; u_{n})$ : contrairement à une fonction de la variable réelle, on ne relie pas les points, car la suite n'est définie que pour les rangs entiers.

Deux suites : en orange, une suite arithmétique (points alignés) ; en bleu, une suite géométrique de raison $0, 75$ (décroissance de plus en plus douce).

2.3 Suites arithmétiques

Définition 2.4Suite arithmétique

Une suite $(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ lorsque l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même réel $r$ :

$u_{n + 1} = u_{n} + r pour tout entier n .$

Elle modélise les évolutions successives à accroissements constants (croissance linéaire).

◆Théorème 2.5Terme général d'une suite arithmétique

Si $(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_{0}$ , alors pour tout entier $n$ :

$u_{n} = u_{0} + n r, et plus g e ˊ n e ˊ ralement u_{n} = u_{p} + (n - p) r .$

Démonstration (exigible). Pour passer de $u_{0}$ à $u_{n}$ , on effectue $n$ étapes, et chaque étape ajoute $r$ :

$u_{n} = r u_{n} - u_{n - 1} + r u_{n - 1} - u_{n - 2} + \dots + r u_{1} - u_{0} + u_{0} = u_{0} + n r,$

car la somme comporte exactement $n$ différences toutes égales à $r$ . Pour la forme générale, on part de $u_{p}$ et on effectue $n - p$ étapes : $u_{n} = u_{p} + (n - p) r$ . $□$

iRemarqueLien avec les fonctions affines

$u_{n} = u_{0} + n r = f (n)$ avec $f (x) = r x + u_{0}$ affine : les points $(n; u_{n})$ sont alignés sur la droite de pente $r$ . La raison $r$ joue pour les suites arithmétiques le rôle du coefficient directeur pour les fonctions affines.

Exercices du chapitre

On construit des carrés avec des allumettes corrigé
On empile des cubes pour former des «escaliers» corrigé
n° 3 corrigé
n° 4 corrigé
Chaque heure, l'organisme élimine d'un médicament corrigé
Un lac contient tonnes d'algues corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre