Fonctions polynômes du second degré

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Une parabole, ses deux racines et son sommet sur l'axe de symétrie.

Les fonctions polynômes du second degré prolongent la fonction carré étudiée en seconde. Elles sont partout : trajectoires paraboliques, problèmes d'optimisation, variance en statistiques. Ce chapitre organise leurs trois formes — développée, canonique, factorisée —, démontre la résolution de l'équation du second degré (démonstration exigible) et entraîne à choisir la forme adaptée à chaque problème.

3.1 Trois formes pour une même fonction

Définition 3.1Fonction polynôme du second degré

Une fonction polynôme du second degré est une fonction $f$ définie sur $R$ par

$f (x) = a x^{2} + b x + c avec a \neq = 0$

( $a$ , $b$ , $c$ réels, appelés coefficients — ce sont des paramètres). Sa courbe représentative est une parabole, tournée vers le haut si $a > 0$ , vers le bas si $a < 0$ .

L'allure de la parabole ne dépend que du signe de $a$ : « vallée » si $a > 0$ , « colline » si $a < 0$ .

Définition 3.2Les trois formes

Selon le problème, on écrit $f$ sous l'une des formes suivantes :

développée réduite : $f (x) = a x^{2} + b x + c$ — pour calculer une image, lire $c = f (0)$ ;
canonique : $f (x) = a (x - α)^{2} + β$ — pour lire le sommet $S (α; β)$ et les variations ;
factorisée (lorsqu'elle existe) : $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ — pour lire les racines $x_{1}$ , $x_{2}$ et le signe.

Méthode : Compléter le carré

Pour passer à la forme canonique dans les cas simples, on utilise l'identité

$x^{2} + 2 α x = (x + α)^{2} - α^{2} :$

on repère le double produit, on fait apparaître un carré parfait, on compense.

Exemple 3.3

$f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ . Le double produit $- 6 x = 2 \times (- 3) \times x$ invite à écrire :

$f (x) = (x - 3)^{2} - 9 + 5 = (x - 3)^{2} - 4.$

Le sommet est $S (3; - 4)$ . On peut poursuivre avec l'identité $A^{2} - B^{2}$ : $f (x) = (x - 3 - 2) (x - 3 + 2) = (x - 5) (x - 1)$ — la forme factorisée, qui donne les racines $1$ et $5$ .

3.2 Forme factorisée : racines et signe

Définition 3.4Racine

Une racine de $f$ est une solution de l'équation $f (x) = 0$ : graphiquement, une abscisse de point d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses.

Proposition 3.5Signe d'une fonction du second degré factorisée

Si $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ avec $x_{1} < x_{2}$ , alors $f (x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et du signe de $- a$ (signe contraire) entre les racines :

$x f (x) - \infty signe de a x_{1} 0 signe de - a x_{2} 0 signe de a + \infty$

Cas $a > 0$ : la parabole plonge sous l'axe uniquement entre ses deux racines.

Exercices du chapitre

Pour f(x) = -3(x + 2)(x - 4) : donner les racines, l'axe de symétrie… corrigé
Résoudre: (a); (b); (c) corrigé
Déterminer toutes les fonctions polynômes du second degré s'annulant… corrigé
Discuter, selon le réel, le nombre de solutions de l'équation corrigé
Résoudre l'inéquation, puis l'inéquation corrigé
Un projectile est lancé corrigé

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