Fonctions polynômes du second degré

Cours complet · mathématiques (première), chapitre 3 · première, spécialité mathématiques

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Les fonctions polynômes du second degré prolongent la fonction carré étudiée en seconde. Elles sont partout : trajectoires paraboliques, problèmes d'optimisation, variance en statistiques. Ce chapitre organise leurs trois formes — développée, canonique, factorisée —, démontre la résolution de l'équation du second degré (démonstration exigible) et entraîne à choisir la forme adaptée à chaque problème.

3.1 Trois formes pour une même fonction

Définition 3.1Fonction polynôme du second degré

Une fonction polynôme du second degré est une fonction $f$ définie sur $R$ par

$f (x) = a x^{2} + b x + c avec a \neq = 0$

( $a$ , $b$ , $c$ réels, appelés coefficients — ce sont des paramètres). Sa courbe représentative est une parabole, tournée vers le haut si $a > 0$ , vers le bas si $a < 0$ .

L'allure de la parabole ne dépend que du signe de $a$ : « vallée » si $a > 0$ , « colline » si $a < 0$ .

Définition 3.2Les trois formes

Selon le problème, on écrit $f$ sous l'une des formes suivantes :

développée réduite : $f (x) = a x^{2} + b x + c$ — pour calculer une image, lire $c = f (0)$ ;
canonique : $f (x) = a (x - α)^{2} + β$ — pour lire le sommet $S (α; β)$ et les variations ;
factorisée (lorsqu'elle existe) : $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ — pour lire les racines $x_{1}$ , $x_{2}$ et le signe.

Méthode : Compléter le carré

Pour passer à la forme canonique dans les cas simples, on utilise l'identité

$x^{2} + 2 α x = (x + α)^{2} - α^{2} :$

on repère le double produit, on fait apparaître un carré parfait, on compense.

Exemple 3.3

$f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ . Le double produit $- 6 x = 2 \times (- 3) \times x$ invite à écrire :

$f (x) = (x - 3)^{2} - 9 + 5 = (x - 3)^{2} - 4.$

Le sommet est $S (3; - 4)$ . On peut poursuivre avec l'identité $A^{2} - B^{2}$ : $f (x) = (x - 3 - 2) (x - 3 + 2) = (x - 5) (x - 1)$ — la forme factorisée, qui donne les racines $1$ et $5$ .

3.2 Forme factorisée : racines et signe

Définition 3.4Racine

Une racine de $f$ est une solution de l'équation $f (x) = 0$ : graphiquement, une abscisse de point d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses.

Proposition 3.5Signe d'une fonction du second degré factorisée

Si $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ avec $x_{1} < x_{2}$ , alors $f (x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et du signe de $- a$ (signe contraire) entre les racines :

$x f (x) - \infty signe de a x_{1} 0 signe de - a x_{2} 0 signe de a + \infty$

Cas $a > 0$ : la parabole plonge sous l'axe uniquement entre ses deux racines.

Proposition 3.6Somme et produit des racines

Si $f (x) = a x^{2} + b x + c$ admet deux racines $x_{1}$ et $x_{2}$ (éventuellement confondues), alors

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} et x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} .$

Démonstration. En développant la forme factorisée :

$a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = a x^{2} - a (x_{1} + x_{2}) x + a x_{1} x_{2} .$

En identifiant avec $a x^{2} + b x + c$ : $b = - a (x_{1} + x_{2})$ et $c = a x_{1} x_{2}$ , d'où les formules. $□$

Méthode : Détecter une racine « évidente » par somme et produit

Pour $x^{2} - s x + p$ (cas $a = 1$ ) : chercher mentalement deux nombres de somme $s$ et de produit $p$ . Exemple : $x^{2} - 7 x + 12$ — somme $7$ , produit $12$ : les racines sont $3$ et $4$ , donc $x^{2} - 7 x + 12 = (x - 3) (x - 4)$ , sans aucun calcul de discriminant. Autre réflexe : si les coefficients vérifient $a + b + c = 0$ , alors $1$ est racine (car $f (1) = a + b + c$ ), et l'autre racine vaut $\frac{c}{a}$ par le produit.

Proposition 3.7Construire une fonction à partir de ses racines

Les fonctions polynômes du second degré s'annulant en deux réels distincts $x_{1}$ et $x_{2}$ sont exactement les fonctions $x \mapsto a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ avec $a \neq = 0$ : il en existe une infinité, une pour chaque valeur de $a$ .

3.3 Forme canonique et discriminant

◆Théorème 3.8Forme canonique

Toute fonction polynôme du second degré $f (x) = a x^{2} + b x + c$ s'écrit sous la forme

$f (x) = a (x - α)^{2} + β avec α = - \frac{b}{2 a} et β = f (α) = - \frac{Δ}{4 a},$

où $Δ = b^{2} - 4 a c$ est appelé le discriminant de $f$ .

Démonstration. Factorisons par $a$ puis complétons le carré :

$f (x) = a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c = a [(x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}}] + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a} .$

On reconnaît $α = - \frac{b}{2 a}$ et $β = - \frac{Δ}{4 a}$ . $□$

◆Théorème 3.9Résolution de l'équation du second degré

Soit l'équation $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq = 0$ ), de discriminant $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

Si $Δ > 0$ : deux solutions réelles distinctes

$x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a} et x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a},$

et $f$ se factorise : $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Si $Δ = 0$ : une solution unique (racine double) $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ , et $f (x) = a (x - x_{0})^{2}$ .
Si $Δ < 0$ : aucune solution réelle, et $f$ ne se factorise pas dans $R$ .

Démonstration (exigible). D'après la forme canonique, l'équation $f (x) = 0$ s'écrit

$a (x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{Δ}{4 a}, soit (x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{Δ}{4 a ^{2}} .$

Le membre de gauche est un carré, donc positif ou nul ; le dénominateur $4 a^{2}$ est strictement positif. On raisonne par disjonction des cas selon le signe de $Δ$ :

Si $Δ < 0$ : le membre de droite est strictement négatif, un carré ne peut pas l'égaler : aucune solution.
Si $Δ = 0$ : l'équation devient $(x + \frac{b}{2 a})^{2} = 0$ , d'où l'unique solution $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ .
Si $Δ > 0$ : les solutions vérifient $x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{Δ}{2 a}$ , c'est-à-dire

$x = \frac{- b \pm Δ}{2 a} :$

ce sont les deux valeurs annoncées. La factorisation s'obtient alors par la propriété somme-produit (ou en refaisant la différence de deux carrés dans la forme canonique). $□$

Le discriminant compte les intersections de la parabole avec l'axe des abscisses : deux, une (tangence) ou aucune.

Exemple 3.10

Résoudre $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ . Ici $Δ = 25 + 24 = 49 = 7^{2} > 0$ :

$x_{1} = \frac{5 - 7}{4} = - \frac{1}{2}, x_{2} = \frac{5 + 7}{4} = 3,$

et $2 x^{2} - 5 x - 3 = 2 (x + \frac{1}{2}) (x - 3)$ . Vérification par somme et produit : $x_{1} + x_{2} = \frac{5}{2} = - \frac{b}{a}$ ✓ et $x_{1} x_{2} = - \frac{3}{2} = \frac{c}{a}$ ✓.

Proposition 3.11Signe d'une fonction polynôme du second degré (cas général)

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ est toujours du signe de $a$ , sauf entre ses racines lorsqu'elles existent :

si $Δ < 0$ : $f (x)$ est du signe de $a$ pour tout réel $x$ ;
si $Δ = 0$ : du signe de $a$ pour tout $x \neq = x_{0}$ (et nul en $x_{0}$ ) ;
si $Δ > 0$ : du signe de $a$ à l'extérieur de $[x_{1}; x_{2}]$ , du signe contraire entre les racines.

Méthode : Choisir la bonne stratégie de factorisation

Avant de calculer $Δ$ , examiner :

racine apparente ( $f (1)$ , $f (- 1)$ , $f (0)$ , $f (2)$ … nuls ?) — notamment $a + b + c = 0 \Rightarrow x = 1$ ;
coefficient $b$ nul : $a x^{2} + c = 0$ se résout directement ( $x^{2} = - c / a$ ) ;
coefficient $c$ nul : $a x^{2} + b x = x (a x + b)$ , racines $0$ et $- b / a$ ;
somme et produit pour des racines entières simples ;
sinon, les formules générales avec $Δ$ .

3.4 Variations et allure ; lien avec les translations

Proposition 3.12Variations

$f (x) = a (x - α)^{2} + β$ atteint en $x = α$ son extremum $β$ :

si $a > 0$ : $f$ décroît sur $] - \infty; α]$ puis croît — $β$ est le minimum ;
si $a < 0$ : $f$ croît puis décroît — $β$ est le maximum.

Le sommet $S (α; β)$ est sur l'axe de symétrie vertical $x = α$ de la parabole. Les racines, lorsqu'elles existent, sont symétriques par rapport à $α$ : $α = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ .

iRemarqueLa courbe de

x \mapsto f (x - m)

La courbe de $x \mapsto f (x - m)$ se déduit de celle de $f$ par translation horizontale de $m$ (vers la droite si $m > 0$ ). Ainsi la parabole de $a (x - α)^{2} + β$ n'est autre que celle de $a x^{2}$ translatée de $α$ horizontalement et de $β$ verticalement — c'est le sens géométrique de la forme canonique. Ce principe sera réutilisé en probabilités : la variance est un minimum de fonction du second degré (chapitre 11).

La parabole de $a (x - α)^{2} + β$ (bleu) est la translatée de celle de $a x^{2}$ (gris) ; l'axe de symétrie $x = α$ porte le sommet $S$ .

3.5 Un peu d'histoire

iRemarqueDe Diophante à Al-Khwârizmî

On trouve chez Diophante (III^e siècle), puis chez Al-Khwârizmî (IX^e siècle, Bagdad), des méthodes de résolution des équations du second degré. Le travail novateur d'Al-Khwârizmî — dont le titre du traité, al-jabr, a donné le mot « algèbre » — utilise des découpages géométriques équivalents à notre complétion du carré : faute de notation algébrique et de nombres négatifs, chaque type d'équation y est traité par une figure. Les formules actuelles avec $Δ$ sont l'aboutissement de ce long cheminement vers un formalisme concis.

3.6 Approfondissements

Exemple 3.13Factoriser un polynôme du troisième degré ayant une racine

Soit $P (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ . On repère la racine $x = - 1$ ( $P (- 1) = - 1 - 4 - 1 + 6 = 0$ ), donc $P (x) = (x + 1) (x^{2} + b x + c)$ : en développant et en identifiant, $x^{2}$ donne $b + 1 = - 4$ soit $b = - 5$ , et le terme constant donne $c = 6$ . Ainsi

$P (x) = (x + 1) (x^{2} - 5 x + 6) = (x + 1) (x - 2) (x - 3)$

(somme $5$ , produit $6$ : racines $2$ et $3$ ). L'équation $P (x) = 0$ a pour solutions $- 1$ , $2$ et $3$ .

Proposition 3.14Factorisations de référence

Pour tout entier $n \geq 1$ et tous réels $x$ , $a$ :

$x^{n} - 1 = (x - 1) (x^{n - 1} + x^{n - 2} + \dots + x + 1),$

$x^{n} - a^{n} = (x - a) (x^{n - 1} + a x^{n - 2} + \dots + a^{n - 1}) .$

(La première se vérifie en développant — on retrouve la somme géométrique du chapitre 2 : pour $x \neq = 1$ , $1 + x + \dots + x^{n - 1} = \frac{x ^{n} - 1}{x - 1}$ .)

Exemple 3.15Deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Trouver deux réels de somme $s = 10$ et de produit $p = 21$ : ce sont exactement les racines de $x^{2} - s x + p = x^{2} - 10 x + 21$ , soit $3$ et $7$ ( $Δ = 100 - 84 = 16$ ). En général, de tels nombres existent si et seulement si $Δ = s^{2} - 4 p \geq 0$ .

3.7 Quiz interactif style NotebookLM

Un quiz interactif d'auto-évaluation à choix multiples au format NotebookLM est disponible pour ce chapitre sur la plateforme en ligne (https://adloun.net/playground).

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