Dérivation

Cours complet · mathématiques (première), chapitre 4 · première, spécialité mathématiques

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Quelle est la vitesse à cet instant précis ? Quelle est la pente de la courbe en ce point ? La dérivation répond à ces questions locales : c'est l'outil le plus puissant du cycle terminal. Ce chapitre distingue le point de vue local (nombre dérivé, tangente) et le point de vue global (fonction dérivée, formules de calcul), avec les cinq démonstrations du programme.

4.1 Taux de variation et sécantes

Définition 4.1Taux de variation

Soit $f$ une fonction et $a \neq = b$ deux réels de son ensemble de définition. Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est le quotient

$τ = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} .$

En posant $b = a + h$ ( $h \neq = 0$ ) : $τ (h) = \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ .

Proposition 4.2Interprétation graphique : la sécante

Le taux de variation entre $a$ et $b$ est la pente (coefficient directeur) de la sécante $(A B)$ , la droite joignant les points $A (a; f (a))$ et $B (b; f (b))$ de la courbe.

La sécante $(A B)$ (orange) a pour pente le taux de variation : $\frac{d e ˊ placement vertical}{d e ˊ placement horizontal} = \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ .

Exemple 4.3Vitesse moyenne

Un mobile parcourt $d (t) = 5 t^{2}$ mètres en $t$ secondes. Entre $t = 2$ et $t = 3$ :

$τ = \frac{d ( 3 ) - d ( 2 )}{3 - 2} = \frac{45 - 20}{1} = 25 m/s .$

Le taux de variation d'une distance par rapport au temps est une vitesse moyenne.

4.2 Nombre dérivé : le point de vue local

Que devient le taux de variation lorsque $h$ se rapproche de $0$ ? Observons pour $f (x) = x^{2}$ en $a = 1$ :

$h \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} 0, 1 2, 1 0, 01 2, 01 0, 001 2, 001 - 0, 001 1, 999 - 0, 01 1, 99$

Les taux s'accumulent vers $2$ : on dit qu'ils tendent vers $2$ quand $h$ tend vers $0$ .

Définition 4.4Nombre dérivé

Soit $f$ définie sur un intervalle contenant $a$ . Lorsque le taux de variation $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ tend vers un réel $ℓ$ quand $h$ tend vers $0$ , on dit que $f$ est dérivable en $a$ , et $ℓ$ est le nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté

$f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} .$

Exemple 4.5Calcul à partir de la définition : la fonction carré

Pour $f (x) = x^{2}$ en un réel $a$ quelconque :

$\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} = \frac{( a + h ) ^{2} - a ^{2}}{h} = \frac{2 ah + h ^{2}}{h} = 2 a + h .$

Quand $h$ tend vers $0$ , ce taux tend vers $2 a$ : la fonction carré est dérivable en tout réel $a$ , et $f^{'} (a) = 2 a$ . (Pour $a = 1$ on retrouve la valeur $2$ observée numériquement.)

Exemple 4.6Calcul à partir de la définition : la fonction inverse

Pour $f (x) = \frac{1}{x}$ en $a \neq = 0$ :

$\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} = \frac{1}{h} (\frac{1}{a + h} - \frac{1}{a}) = \frac{1}{h} \times \frac{a - ( a + h )}{a ( a + h )} = \frac{- 1}{a ( a + h )} .$

Quand $h$ tend vers $0$ , ce taux tend vers $- \frac{1}{a ^{2}}$ : la fonction inverse est dérivable en tout $a \neq = 0$ et $f^{'} (a) = - \frac{1}{a ^{2}}$ .

iRemarqueInterprétations du nombre dérivé

Selon le contexte, $f^{'} (a)$ s'interprète comme :

la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ (géométrie, ci-dessous) ;
la vitesse instantanée à l'instant $a$ , limite des vitesses moyennes (cinématique) ;
le coût marginal pour une fonction de coût : coût approché d'une unité supplémentaire (économie).

En sciences, on note aussi $\frac{Δ y}{Δ x}$ un taux de variation et $\frac{d y}{d x}$ la dérivée : si $y = f (x)$ , alors $\frac{d y}{d x} = f^{'} (x)$ (et de même $\frac{d q}{d t}$ si $q = f (t)$ ).

4.3 Tangente à une courbe

Fixons $A (a; f (a))$ et faisons glisser $B$ vers $A$ le long de la courbe : les sécantes $(A B)$ pivotent autour de $A$ et se rapprochent d'une position limite.

Quand $B$ glisse vers $A$ , les sécantes (grises, puis orange) pivotent vers une position limite : la tangente (verte), de pente $f^{'} (a)$ .

Définition 4.7Tangente

Si $f$ est dérivable en $a$ , la tangente à la courbe de $f$ au point $A (a; f (a))$ est la droite passant par $A$ et de pente $f^{'} (a)$ — la « limite des sécantes ».

◆Théorème 4.8Équation de la tangente

La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation

$y = f (a) + f^{'} (a) (x - a) .$

Démonstration (exigible). La tangente est la droite de pente $m = f^{'} (a)$ passant par $A (a; f (a))$ . Son équation réduite s'écrit $y = f^{'} (a) x + p$ ; le point $A$ appartient à la droite, donc

$f (a) = f^{'} (a) a + p, d’o u ˋ p = f (a) - a f^{'} (a) .$

Ainsi $y = f^{'} (a) x + f (a) - a f^{'} (a) = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$ . $□$

Exemple 4.9

Tangente à la parabole $f (x) = x^{2}$ en $a = 1$ : $f (1) = 1$ , $f^{'} (1) = 2$ , donc

$y = 1 + 2 (x - 1) = 2 x - 1.$

Méthode : Lire et construire graphiquement

Lire $f^{'} (a)$ : c'est la pente de la tangente tracée — partir du point de tangence, se déplacer de $1$ vers la droite : la variation verticale lue est $f^{'} (a)$ .
Construire la tangente connaissant $f^{'} (a)$ : placer $A (a; f (a))$ , puis le point $A + (1; f^{'} (a))$ , et tracer la droite passant par ces deux points.
Une tangente horizontale correspond à $f^{'} (a) = 0$ .

Lecture de la pente : un pas de $1$ vers la droite le long de la tangente fait monter (ou descendre) de $f^{'} (a)$ .

4.4 Fonction dérivée et dérivées usuelles

Définition 4.10Fonction dérivée

Une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si elle est dérivable en tout réel de $I$ . La fonction qui à chaque $x$ de $I$ associe $f^{'} (x)$ est la fonction dérivée de $f$ , notée $f^{'}$ .

ImportantDérivées des fonctions usuelles

$f (x)$	$f^{'} (x)$	dérivable sur
$k$ (constante)	$0$	$R$
$x$	$1$	$R$
$x^{2}$	$2 x$	$R$
$x^{3}$	$3 x^{2}$	$R$
$x^{n}$ ( $n \in Z$ )	$n x^{n - 1}$	$R$ (ou $R^{*}$ si $n < 0$ )
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x ^{2}}$	$] - \infty; 0 [$ et $] 0; + \infty [$
$x$	$\frac{1}{2 x}$	$] 0; + \infty [$ (pas en $0$ !)

iRemarque

La formule $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ vaut pour tout entier relatif $n$ : pour $n = - 1$ elle redonne $(\frac{1}{x})^{'} = - x^{- 2} = - \frac{1}{x ^{2}}$ ; pour $n = - 2$ , $(\frac{1}{x ^{2}})^{'} = - \frac{2}{x ^{3}}$ .

◆Théorème 4.11La racine carrée n'est pas dérivable en

0

La fonction $f (x) = x$ , définie sur $[0; + \infty [$ , n'est pas dérivable en $0$ .

Démonstration (exigible). Formons le taux de variation en $0$ , pour $h > 0$ :

$\frac{f ( 0 + h ) - f ( 0 )}{h} = \frac{h}{h} = \frac{1}{h} .$

Quand $h$ tend vers $0^{+}$ , $h$ tend vers $0^{+}$ , donc $\frac{1}{h}$ devient aussi grand que l'on veut : le taux de variation tend vers $+ \infty$ et non vers un réel. La fonction n'est donc pas dérivable en $0$ . $□$

La courbe de $x$ « démarre verticalement » en $0$ : pente infinie, pas de nombre dérivé.

4.5 Opérations sur les fonctions dérivables

◆Théorème 4.12Opérations

Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ , et $k$ un réel.

fonction	dérivée
$u + v$	$u^{'} + v^{'}$
$k u$	$k u^{'}$
$u v$	$u^{'} v + u v^{'}$
$\frac{1}{v}$ ( $v \neq = 0$ sur $I$ )	$- \frac{v ^{'}}{v ^{2}}$
$\frac{u}{v}$ ( $v \neq = 0$ sur $I$ )	$\frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$
$x \mapsto g (a x + b)$ ( $g$ dérivable)	$x \mapsto a g^{'} (a x + b)$

En particulier, la dérivation est linéaire : la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, et un facteur constant se conserve. Autrement dit $(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$ et $(k u)^{'} = k u^{'}$ ; on dérive donc un polynôme terme à terme. Les deux formules à ne pas confondre sont celles du produit, $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ (un plus), et du quotient, $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ (un moins, et un dénominateur $v^{2}$ ).

Démonstration de la formule du produit (exigible). Fixons $a$ dans $I$ et formons le taux de variation de $uv$ entre $a$ et $a + h$ . L'astuce consiste à intercaler $u (a + h) v (a)$ :

$\frac{u ( a + h ) v ( a + h ) - u ( a ) v ( a )}{h} = \frac{u ( a + h ) v ( a + h ) - u ( a + h ) v ( a ) + u ( a + h ) v ( a ) - u ( a ) v ( a )}{h} = u (a + h) \frac{v ( a + h ) - v ( a )}{h} + \frac{u ( a + h ) - u ( a )}{h} v (a) .$

Quand $h$ tend vers $0$ : $u (a + h)$ tend vers $u (a)$ (la dérivabilité de $u$ en $a$ entraîne sa continuité), le premier quotient tend vers $v^{'} (a)$ et le second vers $u^{'} (a)$ . Le taux de variation tend donc vers

$u (a) v^{'} (a) + u^{'} (a) v (a),$

ce qui prouve que $uv$ est dérivable en $a$ avec $(uv)^{'} (a) = u^{'} (a) v (a) + u (a) v^{'} (a)$ . $□$

Exemple 4.13Calculs types

$f (x) = 3 x^{2} - 5 x + 7$ : somme et multiples, $f^{'} (x) = 6 x - 5$ .
$g (x) = x^{2} x$ sur $] 0; + \infty [$ : produit, $g^{'} (x) = 2 x x + x^{2} \times \frac{1}{2 x} = \frac{5}{2} x x$ .
$h (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ sur $] 3; + \infty [$ : quotient,

$h^{'} (x) = \frac{2 ( x - 3 ) - ( 2 x + 1 )}{( x - 3 ) ^{2}} = \frac{- 7}{( x - 3 ) ^{2}} .$

$k (x) = (5 x - 2)^{3}$ : forme $g (a x + b)$ avec $g (t) = t^{3}$ , $a = 5$ : $k^{'} (x) = 5 \times 3 (5 x - 2)^{2} = 15 (5 x - 2)^{2}$ .

4.6 La fonction valeur absolue

Proposition 4.14Courbe et dérivabilité de

x \mapsto ∣ x ∣

La fonction valeur absolue coïncide avec $x \mapsto x$ sur $[0; + \infty [$ et avec $x \mapsto - x$ sur $] - \infty; 0]$ : sa courbe est un « V ». Elle est dérivable sur $] - \infty; 0 [$ (dérivée $- 1$ ) et sur $] 0; + \infty [$ (dérivée $1$ ), mais pas en $0$ .

Démonstration. En $0$ , le taux de variation vaut $\frac{∣ h ∣}{h}$ : il vaut $1$ pour $h > 0$ et $- 1$ pour $h < 0$ . Selon le côté, les taux tendent vers deux valeurs différentes ( $1$ et $- 1$ ) : ils ne tendent pas vers un réel unique, la fonction n'est pas dérivable en $0$ . $□$

Le « V » de la valeur absolue : deux demi-tangentes de pentes $- 1$ et $+ 1$ se rencontrent en $0$ — pas de tangente unique, pas de nombre dérivé.

4.7 Algorithme : pentes des sécantes

L'algorithme du programme dresse la liste des coefficients directeurs des sécantes issues de $a$ , pour un pas $h$ de plus en plus petit — il « montre » la convergence vers $f^{'} (a)$ :


def f(x):
    return x**2

def pentes_secantes(a, h, n):
    # Liste des pentes des sécantes entre a et a + h, h/2, h/4, ..., h/2^(n-1)
    L = []
    pas = h
    for i in range(n):
        taux = (f(a + pas) - f(a)) / pas
        L.append(taux)
        pas = pas / 2
    return L

print(pentes_secantes(1, 1, 8))
# [3.0, 2.5, 2.25, 2.125, 2.0625, 2.03125, 2.015625, 2.0078125]
# -> les pentes tendent vers f'(1) = 2

4.8 Un peu d'histoire

iRemarqueNewton, Leibniz et les infiniment petits

Le calcul différentiel s'impose au XVII^e siècle par sa capacité à résoudre simplement des problèmes d'origines très variées : cinématique, mécanique, géométrie des tangentes, optimisation. Newton et Leibniz l'élaborent indépendamment, en s'appuyant sur l'hypothèse que les phénomènes naturels évoluent linéairement sous de petites variations — mais leurs « infiniment petits » restent des notions intuitives et floues. C'est seulement au XIX^e siècle que la notion de limite, qui fonde l'exposé actuel, est clarifiée (Cauchy, Weierstrass). La notation $\frac{d y}{d x}$ , toujours utilisée en sciences, est celle de Leibniz.

4.9 Quiz interactif style NotebookLM

Un quiz interactif d'auto-évaluation à choix multiples au format NotebookLM est disponible pour ce chapitre sur la plateforme en ligne (https://adloun.net/playground).

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