Dérivation

Le taux de variation entre $a$ et $b$ est la pente (coefficient directeur) de la sécante $(AB)$, la droite joignant les points $A(a;f(a))$ et $B(b;f(b))$ de la courbe.

Un mobile parcourt $d(t)=5t^2$ mètres en $t$ secondes. Entre $t=2$ et $t=3$ :

$$\tau =\frac{d(3)-d(2)}{3-2}=\frac{45-20}{1}=25\text{m/s}.$$

Le taux de variation d'une distance par rapport au temps est une vitesse moyenne.

Pour $f(x)=x^2$ en un réel $a$ quelconque :

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{(a+h{)}^2-a^2}{h}=\frac{2ah+h^2}{h}=2a+h.$$

Quand $h$ tend vers $0$, ce taux tend vers $2a$ : la fonction carré est dérivable en tout réel $a$, et $f^{\prime }(a)=2a$. (Pour $a=1$ on retrouve la valeur $2$ observée numériquement.)

Pour $f(x)=\frac{1}{x}$ en $a\ne 0$ :

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{1}{h}\left(\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{h}\times \frac{a-(a+h)}{a(a+h)}=\frac{-1}{a(a+h)}.$$

Quand $h$ tend vers $0$, ce taux tend vers $-\frac{1}{a^2}$ : la fonction inverse est dérivable en tout $a\ne 0$ et $f^{\prime }(a)=-\frac{1}{a^2}$.

Selon le contexte, $f^{\prime }(a)$ s'interprète comme :

• la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ (géométrie, ci-dessous) ;
• la vitesse instantanée à l'instant $a$, limite des vitesses moyennes (cinématique) ;
• le coût marginal pour une fonction de coût : coût approché d'une unité supplémentaire (économie).

En sciences, on note aussi $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ un taux de variation et $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ la dérivée : si $y=f(x)$, alors $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f^{\prime }(x)$ (et de même $\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$ si $q=f(t)$).