Variations et courbes représentatives des fonctions

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Un tableau de variations : le signe de la dérivée et les flèches de variation de la fonction.

Au chapitre précédent, la dérivée décrivait la courbe localement, point par point. Ce chapitre en tire l'outil le plus utile de l'analyse : le signe de $f^{'}$ détermine les variations de $f$ sur tout un intervalle. On en déduit les extremums, la résolution de problèmes d'optimisation, des inégalités et l'étude de positions relatives de courbes.

5.1 Du signe de la dérivée aux variations

L'intuition est simple : là où les tangentes montent ( $f^{'} > 0$ ), la courbe monte ; là où elles descendent ( $f^{'} < 0$ ), la courbe descend.

◆Théorème 5.1Lien variations -- signe de la dérivée (admis)

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $f^{'} (x) > 0$ pour tout $x$ de $I$ (sauf éventuellement en des points isolés où elle s'annule), alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .
Si $f^{'} (x) < 0$ dans les mêmes conditions, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$ .
Réciproquement, si $f$ est croissante sur $I$ alors $f^{'} (x) \geq 0$ sur $I$ ; si décroissante, $f^{'} (x) \leq 0$ .

Proposition 5.2Caractérisation des fonctions constantes

Une fonction dérivable sur un intervalle $I$ est constante sur $I$ si et seulement si $f^{'} (x) = 0$ pour tout $x$ de $I$ .

Les tangentes montent (vertes, $f^{'} > 0$ ) là où la courbe monte, descendent (orange, $f^{'} < 0$ ) là où elle descend : le signe de la dérivée pilote les variations.

iRemarque

« Sauf en des points isolés » : la fonction cube $f (x) = x^{3}$ a pour dérivée $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ , qui s'annule en $0$ mais reste positive partout ailleurs — $f$ est bien strictement croissante sur $R$ . Une annulation ponctuelle de $f^{'}$ ne casse pas la croissance stricte.

Méthode : Étudier les variations d'une fonction

Préciser l'ensemble d'étude et calculer $f^{'} (x)$ .
Étudier le signe de $f^{'} (x)$ (souvent : signe d'un trinôme, chapitre 3).
Dresser le tableau de variations : ligne du signe de $f^{'}$ , ligne des flèches de $f$ , avec les valeurs de $f$ aux changements de sens.

Exemple 5.3Étude complète d'une fonction du troisième degré

Soit $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ sur $R$ . On a $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ : trinôme de racines $- 1$ et $1$ , positif à l'extérieur (coefficient $3 > 0$ ).

$x f^{'} (x) f - \infty + ↗ - 1 03 - ↘ 10 - 1 + ↗ + \infty$

avec $f (- 1) = - 1 + 3 + 1 = 3$ et $f (1) = 1 - 3 + 1 = - 1$ .

Exercices du chapitre

Étudier les variations de sur corrigé
Montrer que la fonction est strictement croissante sur corrigé
La fonction admet-elle des extremums locaux corrigé
Soit la fonction définie sur par corrigé
Un éleveur dispose de 60 m de clôture pour un enclos rectangulaire… corrigé
On veut fabriquer une boîte cylindrique fermée de volume 1 litre (1000… corrigé

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