Variations et courbes représentatives des fonctions

Cours complet · mathématiques (première), chapitre 5 · première, spécialité mathématiques

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Au chapitre précédent, la dérivée décrivait la courbe localement, point par point. Ce chapitre en tire l'outil le plus utile de l'analyse : le signe de $f^{'}$ détermine les variations de $f$ sur tout un intervalle. On en déduit les extremums, la résolution de problèmes d'optimisation, des inégalités et l'étude de positions relatives de courbes.

5.1 Du signe de la dérivée aux variations

L'intuition est simple : là où les tangentes montent ( $f^{'} > 0$ ), la courbe monte ; là où elles descendent ( $f^{'} < 0$ ), la courbe descend.

◆Théorème 5.1Lien variations -- signe de la dérivée (admis)

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $f^{'} (x) > 0$ pour tout $x$ de $I$ (sauf éventuellement en des points isolés où elle s'annule), alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .
Si $f^{'} (x) < 0$ dans les mêmes conditions, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$ .
Réciproquement, si $f$ est croissante sur $I$ alors $f^{'} (x) \geq 0$ sur $I$ ; si décroissante, $f^{'} (x) \leq 0$ .

Proposition 5.2Caractérisation des fonctions constantes

Une fonction dérivable sur un intervalle $I$ est constante sur $I$ si et seulement si $f^{'} (x) = 0$ pour tout $x$ de $I$ .

Les tangentes montent (vertes, $f^{'} > 0$ ) là où la courbe monte, descendent (orange, $f^{'} < 0$ ) là où elle descend : le signe de la dérivée pilote les variations.

iRemarque

« Sauf en des points isolés » : la fonction cube $f (x) = x^{3}$ a pour dérivée $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ , qui s'annule en $0$ mais reste positive partout ailleurs — $f$ est bien strictement croissante sur $R$ . Une annulation ponctuelle de $f^{'}$ ne casse pas la croissance stricte.

Méthode : Étudier les variations d'une fonction

Préciser l'ensemble d'étude et calculer $f^{'} (x)$ .
Étudier le signe de $f^{'} (x)$ (souvent : signe d'un trinôme, chapitre 3).
Dresser le tableau de variations : ligne du signe de $f^{'}$ , ligne des flèches de $f$ , avec les valeurs de $f$ aux changements de sens.

Exemple 5.3Étude complète d'une fonction du troisième degré

Soit $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ sur $R$ . On a $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ : trinôme de racines $- 1$ et $1$ , positif à l'extérieur (coefficient $3 > 0$ ).

$x f^{'} (x) f - \infty + ↗ - 1 03 - ↘ 10 - 1 + ↗ + \infty$

avec $f (- 1) = - 1 + 3 + 1 = 3$ et $f (1) = 1 - 3 + 1 = - 1$ .

La courbe de $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ : croissante, puis décroissante, puis croissante — et des tangentes horizontales (orange) là où $f^{'}$ s'annule en changeant de signe.

5.2 Extremums

Définition 5.4Extremum local

$f$ admet un maximum local en $a$ lorsque $f (x) \leq f (a)$ pour tout $x$ assez proche de $a$ (et un minimum local avec l'inégalité inverse). L'extremum est global si l'inégalité vaut sur tout l'ensemble d'étude.

◆Théorème 5.5Nombre dérivé en un extremum

Si $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et admet un extremum local en $a \in I$ , alors

$f^{'} (a) = 0 :$

la tangente à la courbe en ce point est horizontale.

iRemarqueDeux mises en garde

La réciproque est fausse : $f (x) = x^{3}$ vérifie $f^{'} (0) = 0$ sans extremum en $0$ (la courbe traverse sa tangente). Pour conclure à un extremum, il faut que $f^{'}$ change de signe en $a$ .
L'hypothèse « intervalle ouvert » compte : sur $[0; 2]$ , $f (x) = x$ atteint son maximum en $2$ alors que $f^{'} (2) = 1 \neq = 0$ — un extremum au bord n'annule pas la dérivée.

Le contre-exemple à connaître : en $0$ , la cubique a une tangente horizontale (orange)… qu'elle traverse. $f^{'} (a) = 0$ est nécessaire, pas suffisant (chapitre 1 !).

Méthode : Déterminer les extremums

Dresser le tableau de variations : les extremums locaux se lisent aux changements de sens des flèches (là où $f^{'}$ s'annule en changeant de signe). Dans l'exemple précédent, $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ admet un maximum local $3$ en $- 1$ et un minimum local $- 1$ en $1$ — mais pas d'extremum global sur $R$ .

5.3 Le second degré revisité par la dérivation

Proposition 5.6Variations de

f (x) = a x^{2} + b x + c

La dérivée $f^{'} (x) = 2 a x + b$ est une fonction affine qui s'annule en $α = - \frac{b}{2 a}$ en changeant de signe :

si $a > 0$ : $f^{'}$ passe du négatif au positif, $f$ décroît puis croît — minimum $f (α)$ en $α$ ;
si $a < 0$ : $f$ croît puis décroît — maximum $f (α)$ en $α$ .

On retrouve par le calcul différentiel les résultats du chapitre 3 : sommet en $α = - \frac{b}{2 a}$ , allure « vallée » ou « colline » selon le signe de $a$ .

Exemple 5.7

$f (x) = - 2 x^{2} + 8 x - 3$ : $f^{'} (x) = - 4 x + 8$ , nulle en $x = 2$ , positive avant, négative après. Maximum $f (2) = 5$ atteint en $2$ ; la parabole culmine au sommet $S (2; 5)$ .

5.4 Problèmes d'optimisation

Méthode : Résoudre un problème d'optimisation

Modéliser : choisir la variable $x$ , exprimer la grandeur à optimiser comme une fonction $f (x)$ , préciser l'intervalle d'étude (contraintes du problème).
Étudier $f$ : dérivée, signe, tableau de variations.
Conclure : lire l'extremum et revenir au contexte (valeur optimale, valeur de la grandeur).

Exemple 5.8La boîte de volume maximal

Dans une feuille carrée de côté $12$ cm, on découpe aux quatre coins des carrés de côté $x$ , puis on plie pour former une boîte sans couvercle.

Le volume est $V (x) = x (12 - 2 x)^{2}$ pour $x \in] 0; 6 [$ . Développons pour dériver : $V (x) = 4 x^{3} - 48 x^{2} + 144 x$ , donc

$V^{'} (x) = 12 x^{2} - 96 x + 144 = 12 (x^{2} - 8 x + 12) = 12 (x - 2) (x - 6) .$

Sur $] 0; 6 [$ , $V^{'} (x) > 0$ pour $x < 2$ et $V^{'} (x) < 0$ pour $x > 2$ : le volume est maximal pour $x = 2$ cm, et vaut $V (2) = 2 \times 8^{2} = 128$ cm $^{3}$ .

5.5 Inégalités et positions relatives de courbes

Méthode : Comparer $f$ et $g$ : étudier la différence

Pour étudier la position relative des courbes de $f$ et $g$ (ou établir l'inégalité $f (x) \leq g (x)$ ), on pose $d = g - f$ et l'on étudie le signe de $d$ — au besoin via ses variations : si $d$ atteint un minimum positif ou nul, alors $d \geq 0$ partout, c'est-à-dire $g \geq f$ .

Exemple 5.9Une inégalité classique

Montrons que pour tout $x > 0$ : $x \leq \frac{x + 1}{2}$ . Posons $d (x) = \frac{x + 1}{2} - x$ sur $] 0; + \infty [$ :

$d^{'} (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x} = \frac{x - 1}{2 x} .$

Le signe de $d^{'}$ est celui de $x - 1$ : négatif sur $] 0; 1 [$ , positif au-delà. Donc $d$ décroît puis croît, et atteint son minimum en $x = 1$ : $d (1) = 1 - 1 = 0$ . Ainsi $d (x) \geq 0$ pour tout $x > 0$ , ce qui prouve l'inégalité — avec égalité seulement en $x = 1$ . Géométriquement : la courbe de $x$ reste sous la droite $y = \frac{x + 1}{2}$ , qui est sa tangente en $1$ .

La droite (orange) est tangente à la courbe (bleue) en $(1; 1)$ et reste au-dessus partout ailleurs : c'est la traduction graphique de l'inégalité.

5.6 Algorithme : la méthode de Newton

Comment résoudre $f (x) = 0$ quand aucune formule n'existe ? La méthode de Newton suit les tangentes : partant de $x_{0}$ , on trace la tangente en $x_{0}$ , on prend son intersection $x_{1}$ avec l'axe des abscisses, et l'on recommence. L'équation de la tangente (chapitre 4) donne la récurrence :

$x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )} .$

Deux pas de Newton pour $f (x) = x^{2} - 2$ : chaque tangente « glisse » vers la racine $2$ . Les itérés $2, 8 \to 1, 76 \to 1, 448 \to 1, 4143 \dots$ convergent très vite.


def newton(f, fprime, x0, n):
    # n itérations de la méthode de Newton à partir de x0
    x = x0
    for i in range(n):
        x = x - f(x) / fprime(x)
    return x

def f(x):
    return x**2 - 2

def fprime(x):
    return 2*x

print(newton(f, fprime, 2.8, 5))   # 1.4142135623730951   racine de 2

iRemarque

Pour $f (x) = x^{2} - a$ , la récurrence de Newton s'écrit $x_{n + 1} = \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{a}{x _{n}})$ : c'est exactement la méthode de Héron d'approximation de $a$ rencontrée au chapitre 2 — dix-huit siècles avant Newton ! On se limite en première à des cas favorables (fonction bien croissante ou décroissante près d'une racine simple).

5.7 Quiz interactif style NotebookLM

Un quiz interactif d'auto-évaluation à choix multiples au format NotebookLM est disponible pour ce chapitre sur la plateforme en ligne (https://adloun.net/playground).

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Variations et courbes représentatives des fonctions

5.1 Du signe de la dérivée aux variations

Méthode : Étudier les variations d'une fonction

5.2 Extremums

Méthode : Déterminer les extremums

5.3 Le second degré revisité par la dérivation

5.4 Problèmes d'optimisation

Méthode : Résoudre un problème d'optimisation

5.5 Inégalités et positions relatives de courbes

Méthode : Comparer f et g : étudier la différence

5.6 Algorithme : la méthode de Newton

5.7 Quiz interactif style NotebookLM

Méthode : Comparer $f$ et $g$ : étudier la différence