Fonction exponentielle

Cours complet · mathématiques (première), chapitre 6 · première, spécialité mathématiques

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Existe-t-il une fonction qui croisse à la vitesse de sa propre valeur — comme un capital dont les intérêts sont réinvestis en continu, ou une population dont l'accroissement est proportionnel à l'effectif ? Cette question, née au XVII^e siècle des intérêts composés, définit la fonction la plus importante des mathématiques : l'exponentielle.

6.1 Définition

Définition 6.1Fonction exponentielle

On appelle fonction exponentielle, notée $exp$ , l'unique fonction dérivable sur $R$ vérifiant

$exp^{'} = exp et exp (0) = 1.$

L'existence et l'unicité de cette fonction sont admises (l'unicité est démontrée en approfondissement).

iRemarque

La condition $exp^{'} = exp$ signifie : en tout point, la pente de la tangente est égale à la valeur de la fonction. Plus la fonction est haute, plus elle grimpe vite — c'est le mécanisme de la croissance exponentielle. C'est notre première équation différentielle : une équation dont l'inconnue est une fonction, reliée à sa dérivée.

Proposition 6.2La relation

exp (x) exp (- x) = 1

Pour tout réel $x$ : $exp (x) exp (- x) = 1$ . En particulier, la fonction exponentielle ne s'annule jamais, et $exp (- x) = \frac{1}{exp ( x )}$ .

Démonstration. Posons $g (x) = exp (x) exp (- x)$ . Par la dérivée d'un produit et celle de $x \mapsto f (a x + b)$ (chapitre 4) :

$g^{'} (x) = exp (x) exp (- x) + exp (x) \times (- exp (- x)) = 0.$

La dérivée de $g$ est nulle sur l'intervalle $R$ : $g$ est constante (chapitre 5), et $g (0) = exp (0)^{2} = 1$ . Donc $exp (x) exp (- x) = 1$ pour tout $x$ ; un produit ne pouvant valoir $1$ avec un facteur nul, $exp$ ne s'annule jamais. $□$

6.2 Propriétés algébriques

◆Théorème 6.3Relation fonctionnelle

Pour tous réels $x$ et $y$ :

$exp (x + y) = exp (x) exp (y) .$

L'exponentielle transforme les sommes en produits. (Démonstration en approfondissement.)

Proposition 6.4Conséquences

Pour tous réels $x$ , $y$ et tout entier relatif $n$ :

$exp (- x) = \frac{1}{exp ( x )}, exp (x - y) = \frac{exp ( x )}{exp ( y )}, exp (n x) = (exp (x))^{n} .$

Définition 6.5Le nombre e et la notation

e^{x}

On pose $e = exp (1) \approx 2, 718$ . La relation $exp (n x) = (exp x)^{n}$ donne $exp (n) = e^{n}$ pour tout entier $n$ : par cohérence, on note pour tout réel $x$

$exp (x) = e^{x} .$

Les propriétés algébriques prennent alors la forme des règles sur les puissances :

$e^{x + y} = e^{x} e^{y}, e^{- x} = \frac{1}{e ^{x}}, e^{x - y} = \frac{e ^{x}}{e ^{y}}, (e^{x})^{n} = e^{n x} .$

Méthode : Transformer une expression

Réflexes de calcul : regrouper les exponentielles par la règle des sommes ; simplifier $e^{x} e^{- x} = 1$ ; réduire toute expression à une seule exponentielle quand c'est possible.

Exemple 6.6

$\frac{e ^{3 x} e ^{- x}}{e ^{x - 2}} = e^{3 x - x - (x - 2)} = e^{x + 2}$ .
$(e^{x} + e^{- x})^{2} - (e^{x} - e^{- x})^{2} = 4 e^{x} e^{- x} = 4$ (différence de carrés : $(A + B)^{2} - (A - B)^{2} = 4 A B$ ).
Résoudre $e^{2 x + 1} = e^{5 - x}$ : l'exponentielle prenant chaque valeur au plus une fois (stricte croissance, ci-dessous), $2 x + 1 = 5 - x$ , d'où $x = \frac{4}{3}$ .

6.3 La suite géométrique $(e^{na})$

Proposition 6.7Exponentielle et suites géométriques

Pour tout réel $a$ , la suite $u_{n} = e^{na}$ est géométrique de raison $q = e^{a}$ et de premier terme $1$ .

Démonstration. $u_{n + 1} = e^{(n + 1) a} = e^{na + a} = e^{na} e^{a} = e^{a} u_{n}$ : chaque terme s'obtient du précédent en multipliant par la constante $e^{a}$ . $□$

iRemarqueDu discret au continu

C'est le pont annoncé au chapitre 2 : une évolution géométrique à temps discret (valeurs $q^{n}$ aux instants entiers) se prolonge en une évolution exponentielle à temps continu $t \mapsto e^{k t}$ , qui passe par les mêmes points aux instants entiers dès que $e^{k} = q$ . Les modèles discrets (capital actualisé chaque année) et continus (désintégration radioactive) sont deux faces du même phénomène.

6.4 Signe, variations et courbe

◆Théorème 6.8Signe et variations

La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante sur $R$ .

Démonstration. Positivité : pour tout $x$ , la relation fonctionnelle donne

$e^{x} = e^{\frac{x}{2} + \frac{x}{2}} = (e^{x /2})^{2} \geq 0,$

et comme l'exponentielle ne s'annule jamais, $e^{x} > 0$ . Croissance : la dérivée est $exp^{'} = exp$ , strictement positive — donc $exp$ est strictement croissante (chapitre 5). $□$

La courbe de l'exponentielle : toujours au-dessus de l'axe, strictement croissante, passant par $(0; 1)$ avec une tangente de pente $exp^{'} (0) = 1$ , et par $(1; e)$ .

Proposition 6.9Équations et inéquations

La stricte croissance donne, pour tous réels $a$ et $b$ :

$e^{a} = e^{b} ⟺ a = b, e^{a} < e^{b} ⟺ a < b .$

6.5 Les fonctions $t \mapsto e^{k t}$ et $t \mapsto e^{- k t}$

Proposition 6.10

Soit $k > 0$ . La fonction $t \mapsto e^{k t}$ a pour dérivée $t \mapsto k e^{k t}$ (forme $g (a t + b)$ ) : elle est strictement croissante — modèle de croissance exponentielle. La fonction $t \mapsto e^{- k t}$ , de dérivée $- k e^{- k t} < 0$ , est strictement décroissante — modèle de décroissance exponentielle. Toutes deux valent $1$ en $t = 0$ .

Pour $k > 0$ : croissance explosive de $e^{k t}$ (capital à intérêts continus, population) ; décroissance amortie de $e^{- k t}$ vers $0$ (radioactivité, dilution, décharge d'un condensateur).

Exemple 6.11Décroissance radioactive

Une substance radioactive contient $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ noyaux à l'instant $t$ (loi de désintégration, $λ > 0$ ). Pour l'iode 131, $λ \approx 0, 0862$ j $^{- 1}$ : après $8$ jours,

$\frac{N ( 8 )}{N _{0}} = e^{- 0, 0862 \times 8} \approx e^{- 0, 69} \approx 0, 50 :$

la moitié des noyaux s'est désintégrée — $8$ jours est la demi-vie de l'iode 131. Aux instants $0, 8, 16, 24, \dots$ jours, les quantités $N_{0}, \frac{N _{0}}{2}, \frac{N _{0}}{4}, \dots$ forment une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ : on retrouve le pont discret-continu.

Exemple 6.12Capital à intérêts composés continus

Un capital $C_{0}$ placé à un taux continu de $3 %$ par an vaut $C (t) = C_{0} e^{0, 03 t}$ après $t$ années. Après $10$ ans : $C (10) = C_{0} e^{0, 3} \approx 1, 35 C_{0}$ , à comparer au placement discret $C_{0} \times 1, 0 3^{10} \approx 1, 344 C_{0}$ : les deux modèles coïncident presque, car $e^{0, 03} \approx 1, 0305$ .

6.6 Algorithmes

6.6.1 Construction par la méthode d'Euler

L'idée d'Euler : si $exp^{'} = exp$ , alors sur un petit pas $h$ , $exp (x + h) \approx exp (x) + h exp^{'} (x) = (1 + h) exp (x)$ . En partant de $exp (0) = 1$ et en itérant, on construit une ligne brisée qui approche la courbe :


def euler(h, n):
    # Ligne brisée d'Euler pour exp sur [0, n*h] :
    # y_{k+1} = (1 + h) * y_k, points (k*h, y_k)
    x, y = [0], [1]
    for k in range(n):
        x.append(x[-1] + h)
        y.append(y[-1] * (1 + h))
    return x, y

x, y = euler(0.1, 10)
print(y[-1])     # 2.5937... : approximation de exp(1) = e = 2.71828...
x, y = euler(0.001, 1000)
print(y[-1])     # 2.71692... : le pas diminue, l'approximation s'améliore

La ligne brisée d'Euler (orange) sous-estime la courbe (bleue), mais s'en approche quand le pas $h$ diminue.

6.6.2 Le nombre e par la suite $(1 + \frac{1}{n})^{n}$

Avec le pas $h = \frac{1}{n}$ , la méthode d'Euler atteint $x = 1$ en $n$ pas et donne $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ : cette suite tend vers $e$ .


for n in [10, 100, 1000, 10**6]:
    print(n, (1 + 1/n)**n)
# 10       2.5937424601
# 100      2.7048138294
# 1000     2.7169239322
# 1000000  2.7182804691   -> e = 2.718281828...

6.7 Un peu d'histoire

iRemarque

Les fonctions exponentielles apparaissent à la fin du XVII^e siècle pour traiter des croissances comparables à celles des intérêts composés : que devient un capital si l'on compose les intérêts chaque mois, chaque jour, à chaque instant ? Jacques Bernoulli étudie ainsi la limite de $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ ; Euler note $e$ cette limite (1727) et systématise l'usage de la fonction $e^{x}$ . La modélisation de ces situations fait naturellement apparaître la caractérisation moderne : l'exponentielle est la fonction vérifiant l'équation différentielle $y^{'} = y$ avec $y (0) = 1$ .

6.8 Approfondissements : les démonstrations

Proposition 6.13Unicité de la fonction exponentielle

Il existe au plus une fonction $f$ dérivable sur $R$ telle que $f^{'} = f$ et $f (0) = 1$ .

Démonstration. Soit $f$ une telle fonction. Le raisonnement de la section 1 (dérivée de $x \mapsto f (x) f (- x)$ nulle) montre $f (x) f (- x) = 1$ : $f$ ne s'annule jamais. Soit alors $g$ une autre solution ; posons $φ (x) = g (x) f (- x)$ . Sa dérivée vaut

$φ^{'} (x) = g^{'} (x) f (- x) - g (x) f^{'} (- x) = g (x) f (- x) - g (x) f (- x) = 0,$

donc $φ$ est constante, égale à $φ (0) = g (0) f (0) = 1$ . Ainsi $g (x) f (- x) = 1 = f (x) f (- x)$ , et comme $f (- x) \neq = 0$ : $g (x) = f (x)$ pour tout $x$ . $□$

Proposition 6.14Démonstration de la relation fonctionnelle

Pour tous réels $x, y$ : $exp (x + y) = exp (x) exp (y)$ .

Démonstration. Fixons $y$ et posons $ψ (x) = exp (x + y) exp (- x)$ . En dérivant (produit et $g (a x + b)$ ) :

$ψ^{'} (x) = exp (x + y) exp (- x) - exp (x + y) exp (- x) = 0.$

Donc $ψ$ est constante sur $R$ , égale à $ψ (0) = exp (y)$ . Ainsi $exp (x + y) exp (- x) = exp (y)$ ; en multipliant par $exp (x)$ et en utilisant $exp (x) exp (- x) = 1$ :

$exp (x + y) = exp (x) exp (y) . □$

iRemarque

La troisième démonstration proposée par le programme — stricte positivité et croissance — a été donnée dans le cours (section 4) : $e^{x} = (e^{x /2})^{2} > 0$ , puis $exp^{'} = exp > 0$ .

6.9 Quiz interactif style NotebookLM

Un quiz interactif d'auto-évaluation à choix multiples au format NotebookLM est disponible pour ce chapitre sur la plateforme en ligne (https://adloun.net/playground).

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Fonction exponentielle

6.1 Définition

6.2 Propriétés algébriques

Méthode : Transformer une expression

6.3 La suite géométrique (ena)

6.4 Signe, variations et courbe

6.5 Les fonctions t↦ekt et t↦e−kt

6.6 Algorithmes

6.6.1 Construction par la méthode d'Euler

6.6.2 Le nombre e par la suite (1+n1​)n

6.7 Un peu d'histoire

6.8 Approfondissements : les démonstrations

6.9 Quiz interactif style NotebookLM

6.3 La suite géométrique $(e^{na})$

6.5 Les fonctions $t \mapsto e^{k t}$ et $t \mapsto e^{- k t}$

6.6.2 Le nombre e par la suite $(1 + \frac{1}{n})^{n}$