Fonction exponentielle

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Existe-t-il une fonction qui croisse à la vitesse de sa propre valeur — comme un capital dont les intérêts sont réinvestis en continu, ou une population dont l'accroissement est proportionnel à l'effectif ? Cette question, née au XVII^e siècle des intérêts composés, définit la fonction la plus importante des mathématiques : l'exponentielle.

6.1 Définition

Définition 6.1Fonction exponentielle

On appelle fonction exponentielle, notée $exp$ , l'unique fonction dérivable sur $R$ vérifiant

$exp^{'} = exp et exp (0) = 1.$

L'existence et l'unicité de cette fonction sont admises (l'unicité est démontrée en approfondissement).

iRemarque

La condition $exp^{'} = exp$ signifie : en tout point, la pente de la tangente est égale à la valeur de la fonction. Plus la fonction est haute, plus elle grimpe vite — c'est le mécanisme de la croissance exponentielle. C'est notre première équation différentielle : une équation dont l'inconnue est une fonction, reliée à sa dérivée.

Proposition 6.2La relation

exp (x) exp (- x) = 1

Pour tout réel $x$ : $exp (x) exp (- x) = 1$ . En particulier, la fonction exponentielle ne s'annule jamais, et $exp (- x) = \frac{1}{exp ( x )}$ .

Démonstration. Posons $g (x) = exp (x) exp (- x)$ . Par la dérivée d'un produit et celle de $x \mapsto f (a x + b)$ (chapitre 4) :

$g^{'} (x) = exp (x) exp (- x) + exp (x) \times (- exp (- x)) = 0.$

La dérivée de $g$ est nulle sur l'intervalle $R$ : $g$ est constante (chapitre 5), et $g (0) = exp (0)^{2} = 1$ . Donc $exp (x) exp (- x) = 1$ pour tout $x$ ; un produit ne pouvant valoir $1$ avec un facteur nul, $exp$ ne s'annule jamais. $□$

6.2 Propriétés algébriques

◆Théorème 6.3Relation fonctionnelle

Pour tous réels $x$ et $y$ :

$exp (x + y) = exp (x) exp (y) .$

L'exponentielle transforme les sommes en produits. (Démonstration en approfondissement.)

Proposition 6.4Conséquences

Pour tous réels $x$ , $y$ et tout entier relatif $n$ :

$exp (- x) = \frac{1}{exp ( x )}, exp (x - y) = \frac{exp ( x )}{exp ( y )}, exp (n x) = (exp (x))^{n} .$

Définition 6.5Le nombre e et la notation

e^{x}

On pose $e = exp (1) \approx 2, 718$ . La relation $exp (n x) = (exp x)^{n}$ donne $exp (n) = e^{n}$ pour tout entier $n$ : par cohérence, on note pour tout réel $x$

$exp (x) = e^{x} .$

Les propriétés algébriques prennent alors la forme des règles sur les puissances :

$e^{x + y} = e^{x} e^{y}, e^{- x} = \frac{1}{e ^{x}}, e^{x - y} = \frac{e ^{x}}{e ^{y}}, (e^{x})^{n} = e^{n x} .$

Exercices du chapitre

Démontrer que pour tout réel corrigé
Résoudre l'équation. Indication: poser corrigé
Résoudre dans: (a); (b); (c) corrigé
Soit f(x) = (x + 2) eˣ sur ℝ. Calculer f'(x), étudier son signe et… corrigé
Montrer que pour tout réel corrigé
n° 6 corrigé

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